牛顿逻辑量时间和空间 电子的运动过程中，时间是作为逻辑量的，而电子对于电磁场的激励中场是作为逻辑量的，也就是说空间是作为逻辑量的

能量是逻辑量，运动平衡系统（场）现代物理逻辑量

4.4.1 数学分析的无限性和数学计算的有限性
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4.4.1 数学分析的无限性和数学计算的有限性
一次和我的一个朋友讨论现代数学，我说了十九世纪数学家所给出的“实数”概念，所依据的用“无理数把有理数之间的空隙填满”是一个逻辑悖论的概念，听了我的陈述以后，他没有表示反对，但是提出了这样一个问题，这样的实数概念到底有什么不好，会产生什么问题呢？难道建立在实数概念基础上的整个现代数学都必须推翻吗？这个问题对我的冲击就像进入现代物理领域时,听到杨本洛否定相对论和量子力学的观点时一样大。其根本原因是我也用了很多现代数学的方法来进行对于电磁场理论的分析和计算，有用的东西总是不可能被完全否定的。这就成了我们进一步研究和分析现代数学的一个新开端。
我们之所以把实数空间的概念和对于牛顿运动方程中的数学逻辑看得那么重要，因为这个问题在数学发展的历史中所占的地位实在太重要了。现在已经似乎为数学界所公认的那些与数学的逻辑结构相联系的观念，实际上并不是原来就有的，而是建立了实数空间的概念后才发展起来的。在微积分出现以前，所谓数学实际上就是初等数学，最根本的是没有极限的概念，极限概念是数学逻辑发展中的关键性的一步。牛顿-莱布尼茨的极限概念和微积分的数学方法的建立，标志着人类第一次获得了用“有限论域”下的明确的方式来描述“无限”的能力，在这之前，在初等数学中，凡是与无限相联系的概念都只能定性地讨论，而不能定量的描述。在实数空间概念建立以后，数学的发展一方面大大加速了，另一方面在逻辑上也越来越混乱了。这种情况与理论物理学大致上是一致的，首先是麦克斯韦的电磁场理论的出现，为物理学的新发展开辟了道路。相对论和量子力学的出现，一方面极大地促进了应用物理学的发展，另一方面也同样造成了逻辑的混乱。只是数学作为一种方法或工具，它与物理实在的关系比理论物理学要隐蔽得多，问题产生的时间要早得多，而真正被重视和引起关注要晚得多，解决起来也会困难得多。但是从其本质来说，应该说是一样的。所以在现代物理学、现代数学和现代哲学的体系上，现代数学就成了最难以攻克的堡垒。我们国家每次为了表明科学治国的决心，要表彰基础理论科学家工作的时候，在理论物理上总是难以找到合适的人选，最后总是选择了一位以纯数学为主的数学家，来作为全民的楷模。这种做法也是可以理解的，但是由此所造成的社会上的种种争议更是自然的事。
关于用无理数把有理数之间的空隙填满而建立起来的“实数空间”的方法或说法，在逻辑上是不合理的，是个确确实实的逻辑悖论，但是这并不妨碍数学的发展。因为实际上那个逻辑悖论并不是建立数学分析体系的必要前提，而只是对于牛顿的极限的逻辑理念的内涵的认识还不充分所产生的曲解。在那个年代，连牛顿和莱布尼茨两个齐名的微积分的创立者之间还进行着关于时间和空间的逻辑内涵的激烈的争论，一般人那里能够搞得清楚呢？在一个自然哲学的数学原理的体系中，逻辑内涵总是最难以被正确理解的，因为它实际上还要随着人类实践的新发展而不断发展的，逻辑内涵的理解往往也会有一个否定与再否定的辩证的过程。现在我们同样也是可以用古希腊的“点与空白”的概念来建立实数空间，把像牛顿所定义的时间那样性质的“数”，即可以进行任意的分割，以致分割到你需要它多么小，它就有多么小，把这样的数作为分析的基础，同样也可以建立起19世纪数学家所建立在把有理数的间隙填满的“实数空间”，并在此基础上建立起更加容易理解的那些数学分析。
19世纪数学家建立数学分析的最基本的内容实际上是对于函数的“连续性”的讨论。要建立严格的定积分的数学逻辑，函数也需要像牛顿对于时间(在数学体系中更普遍地被称为形式参量)所给出的那样的极限的概念。没有函数的连续性，牛顿-莱布尼茨的定积分公式是给不出来的。但是，在牛顿的运动方程中，把函数(空间位置)和形式参量(时间)都看作是可以无限分割的量在逻辑上是不合理的，实际上那样就要直接去描述一个真正的“无限”概念，而人类是无法用有限的语言去直接地、明确地描述“无限”的。我们所能描述的“无限”都是有限论域下的“无限”，就像在解决牛顿极限下的数学方程式的计算时所标明的那样，为了给出明确的解，在计算过程中，必须给函数的误差以明确的限制，不能把函数的误差也像自变量那样，要多么小就可以多么小，那样一来，计算是无法自动到达终点的。但是这并不妨害我们在定积分中所建立的那种函数和自变量都是“连续”的数学体系。那个数学体系要有明确的解，同样要有一个“有限论域”的限制，这个限制不是函数的误差，函数在这里与自变量一样是独立的，对于那个数学体系的限制是定积分值的误差限制。所以从逻辑上来说，或者说从计算过程来说，逻辑量是不必设置固定的“误差”限制的，它的限制是在计算中自动达到的，而观察量则是有限论域内的量，所以必须给以人为的误差限制。逻辑量在计算中是不必设定人为限制的，在计算过程中，它总是可以由对于物理实在量所给出的人为限制中间接地达到计算的自动终止。从逻辑上说，一个数学体系如果与一个物理系统有对应关系，并只有一个与有限论域下的观察精度相联系的观察量，来控制计算的过程，这样的数学体系是简单的分析体系。实际上牛顿的数学体系就是简单的数学分析体系。
牛顿的数学分析体系中，与无限相联系的量实际上有两个：时间和空间位置。但是时间和空间位置是以牛顿的运动方程联系在一起的，虽然运动方程中的力，还反过来决定于由运动方程所给出的空间位置，但是那个关系是纯粹的初等数学的关系，与无限没有直接的联系，可以不需要分析，直接由四则运算求出来。所以牛顿力学问题是初值问题，可以由给定的初始条件，一步一步地向前计算，每一步计算中，只有一个是有限论域下的观察量，它的精度是人为给定的。那也就是我们前面所反复讲到的谷第·布里赫20多年的行星测量中所达到的2”的精度。时间是无限的，它是逻辑量，只是说时间的精度应该超过行星空间位置测量的精度，逻辑上是无限的，你要多么小就可以多么小，但是实际上只要计算中达到的行星位置值满足了与测量结果的合理关系，时间的计算精度也就自动达到了。我们说，把一个物理量作为一个思维量(或逻辑量)是什么意思呢，并不是说它就是不真实的物理量，而是说我们可以把它看作有任意小的误差的量。就像常说的连续量那样，其实我们并不知道连续量是什么样的，但是连续量就是达到的间隔误差比观察量精确得多的那个量，我们其实也并不知道“时间”的结构是什么样的？空间间隔在另一些问题上同样可以看作逻辑量，这就是我们下面讨论的定积分问题的数学逻辑，因为那里所面对的物理问题变了，时间和空间的逻辑属性也就变了。这也就是我们对爱因斯坦的“时空连续区”的新理解。如果时间和空间都是连续的，那么我们必须面对一个“无限”的物理实在，那是人类思维的能力所无法承担的。
在波动方程的分析中，就复杂一些，它的数学体系是定积分的数学体系。在计算一个谐振体系的振荡频率时，频率的测量精度是一个有限论域中的观察量。所以这个数学体系的真实内涵，或者说数学理论体系与物理实在有没有合理关系，只有人们能够测量到足够精度的单频振荡频率时，才有了讨论的条件。在这以前，所有关于洛伦茨规范的讨论，相对论时空关系或量子假设，都只是人们的一种猜测，就像中国的盖天说和亚里斯多德对于太阳系的星体运动的描述一样，只是一种猜测。当有了足够多的单频谐振频率的足够精度的测量结果后，我们就可以考察那个电磁场的本征问题的数学体系了。在那个数学体系里，时间已经转换成频率(本征值)了，我们可以用一个对于某个方程中的数学量的三维的空间的定积分的值来表示振荡频率，它的误差就有我们现在所达到的测量精度，用那个与测量相一致的误差值来作为计算终止的限定，而网格的分割实际上代表了场在空间的分隔，在这个数学体系中则是作为逻辑量，我们不必对此作出限定，它是由观察量(本征值或谐振频率)的误差间接地决定的。当然实际问题上要复杂得多，在实际计算中，空间网格的划分也是要先有人为给定，然后如果频率计算达到了需要的精度，就不必改变了，如果在那个网格分割下达不到频率的精度，则必须继续细分网格，直到达到频率精度要求计算才停止。因为实际计算中，还有一个空间的场量是求频率的中间量，所以也与频率一样是需要人为给定的，而且对于频率的影响比空间划分更敏感，所以更要反复多次迭代，但是最终的计算则必须以频率为误差为准。这样的计算虽然比较复杂些，但是基本上也是一个层面上的计算，只是时间和空间的逻辑关系交换了，时间还变换为频率，所以也可列入牛顿数学框架的范围。对于更复杂些的问题，如真正要计算电磁波与运动电子的相互作用，就不是一个层面上所能够完成的了。在前面的计算中，时间和空间有一个是作为物理观察量的，只有一个作为逻辑量，所以时间和空间是独立的，这是数学计算能够在一个层面上完成的根本条件。在运动电子与电磁波之间的相互作用中，电子的运动过程中，时间是作为逻辑量的，而电子对于电磁场的激励中场是作为逻辑量的，也就是说空间是作为逻辑量的。这样，对于整个体系来说，时间和空间都需要作为逻辑量，也就是爱因斯坦所说的“时空连续区”的问题。时空连续区是不可能用四维时空来解决的，因为那种数学体系与电子在场激励下的运动和场受到电子的作用而被激励的的物理过程没有一点实在的联系。时间、空间的独立性并不是一种对于那些量的物理性质的任何强制，而是为了表达的明确性而采用的分层次的方法的一种体现而已。实际上这个问题时间和空间的联系是可以通过对于这一对相互作用的过程，进行反复迭代计算来获得明确结果的。当然，如我们前面讨论电磁波激励的物理问题的逻辑时所指出的，还有一个问题：那就是反映电子运动的量(电流)和电子所激励的场，是不能直接通过麦克斯韦方程的形式相等的。这在前面已经讲过，那种相等是“映射意义”上的相等。这个例子只是说明物质世界的运动是无限复杂的，我们必须有一个能够不断发展的思维的形式去与之适应。那些问题不可能在这里讲清楚，也许会在第四卷中作更加详细的讨论。
上面讨论只是说明，数学逻辑与物理实在的联系，数学发展的源泉只能来自大自然。