电磁波或光（其中没有自由电荷或电流）
作用于接收天线的自由电荷第3 5卷第6期
2 006年1 2月
上海师范大学学报(自然科学版)
Journal of Shanghai Normal University(Natural Sciences)
Vo1．35．No．6
2 006，Dec．
电磁场的能量和动量
黄 辉，涂 泓，朱炯明
(上海师范大学数理信息学院，上海200234)
摘要：通过分析匀强磁场中平行板电容器内导体棒的运动，把电磁场的能量和动量这两个
较为抽象的概念具体化．运用这一简单的模型分析并论证了电磁场具有能量和动量，且可与机
械动能和动量相互转换，在转换过程中遵循守恒定律．
关键词：电磁场；能量；动量；平行板电容器
中图分类号：O441．3 文献标识码：A 文章编号：1000．5137(2006)06-0049-04
0 引 言
天线辐射电磁波，电磁能量随着电磁波的传播不断地从天线传向远方．电磁场作用于接收天线的自
由电荷，引起天线上的电流，电磁波的一部分能量即转化为接收系统上的电磁能量．在空间各点上，用接
收器都可以接收到电磁波的能量．电磁场具有能量，而且可以和其他形式的能量相互转换 I2 J．那电磁
场有没有动量?是否也可以互相转化?不同于一般的实物，由于电磁场的概念比较抽象，初学者对于电
磁场的能量理解不深，对于电磁场的动量更是难理解．物理工作者对此的相关研究见文[3，4]．
世界是客观存在的物质世界，作为物质的一种特殊形态——电磁场，它当然也应该遵循自然界一切
物质运动的普遍法则——能量守恒和动量守恒定律 ]．本文即研究一导体棒在处于匀强磁场中的平行
板电容器内的运动这一非常简单常见的物理模型．通过定性分析和较简单的定量计算，论证电磁场具有
能量和动量，它们不仅可以与机械动能和动量相互转换，而且在转换过程中确实满足能量守恒和动量守
恒定律．这一模型让初学者对电磁场的能量和动量有一个简单、直观的感受，从而能更好地理解电磁场
及它的这两个重要物质属性．
1 匀强磁场中的平行板电容器
+D
一个电容量为C，两导体板相距为 ～
的平行板电容器，处在匀强磁场中．磁场的
方向与导体板平行，大小为 ．将平行板
电容器充电，使两极板所带的电量为Q0． 一Q
然后将一质量为rf／,，电阻为R，长度为
的导体棒垂直放在电容器的两板之间
(如图1)．
× × × × × ×
× × × × l × ×
埘 E
× × × × r × ×
× × × ×
图1 匀强磁场中的平行板电容器
收稿日期：2006．06 30
基金项目：上海市教委电磁学课程建设项目(K135)．
作者简介：黄辉(1982一)，男，上海师范大学课程与教学论硕士研究生；朱炯明(1948一)，男，上海师范大学数理信
息学院教授．
『
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上海师范大学学报(自然科学版) 2006拄
开始的瞬间，导体棒中有电流
受到安培力
，o=警= ，
，0=
的作用开始加速运动，初始加速度为
BLQ0
口o 。
但导体棒上的电流导致电容器两极板上的电量减少，使得板间电场减小；另外，根据楞次定律，导体棒运
动时产生感应电动势，电动势方向也与板间电场相反．所以，导体棒上的电流会逐渐变小，安培力和加速
度也随之减小．然而在加速度减小为零之前，导体棒的速度还在变大，感应电动势继续变大，电流继续变
小，直到电容器极板上的剩余电量产生的电压与感应电动势相等，彼此平衡+此时，导体棒上的电流为
零，电容器极板上的电量为Q i ，不再改变，板间电场也不再变化，导体棒所受的安培力和导体棒的加
速度均为零，导体棒的速度达到最大，并以此速度 作匀速运动．即：
BLv = ． (1)
由导体棒的运动方程
m ： ： 一 己 (2)
可知：速度的变化率直接正比于电荷的变化率，因此
my =BL(Q0一Q i )． (3)
联立式(1)和式(3)可求出
=
m
㈩
+ L L
和
Q == ～m _ ．． (5)
+ L L
开始时，导体棒是静止的，没有动量，也没有动能；最后，电容器的电量变为Q i ，导体棒获得的速度为
，导体棒作匀速直线运动，动量是my ，动能是÷m
2 电磁场的能量和动量
导体棒的动能和动量是哪里来的?当我们把导体棒作为研究对象时，我们会说，是磁场作用于导体
棒的安培力的冲量改变了导体棒的动量，安培力作的功改变了导体棒的动能．但当我们把导体棒和电容
器以及磁场看作一个整体系统时，我们发现，并没有任何外力作用于这个系统，而导体棒却获得了动能
和动量．唯一可能的解释就是，在系统内一定有另一个对象，它失去了相等数量的能量和动量．电容器的
极板始终未动，所以，失去能量和动量的就只能是电磁场．
由(4)式得，导体棒最后获得的动量是
mBLQ0 ， 、
P —
m 十 ；丽L L 。 (o)
电容器极板的电量减少了，板间的电场也发生了变化
△E= 一瓦Qo
= 一 一 等两． (7)
利用平行板电容器公式：C= 。S／L，对比(5)式和(6)式，不难发现
P=△E·BCL = 一△(占0 EBSL)． (8)
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第6期 黄辉。涂泓，朱炯明：电磁场的能量和动量
式中SL=V是电场所在区域的体积．等式的左边是导体棒获得的动量，等式右边自然应该是电磁场动
量的减少．由此不难得出，在电场强度为 ，磁感应强度为 的电磁场中单位体积电磁场的动量为
s。EB，由图1所示各物理量的方向可以确定电磁场动量的方向，即 。E X B．
再来看电磁场的能量，由(4)式得，导体棒最后获得的动能是
1 2 mB L Q ⋯
0 舢 ‘丽～，， b 1_u Z u，
另外，由于导体棒在加速运动过程中一直流有电流，从而不断产生焦耳热．回路中的电流遵从欧姆定律
两边取微分，得
将(2)式代人上式，可得
由，： 一 At ，得
u
分离变量得
IR =Qc — B ．
删= 峨
删= dQ．
删+ -dz ： o，
m L
， = e 一 ¨／～ = 一 脚 ～
．
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
积分得整个过程中产生的焦耳热
．f t=嚣 ⋯ )f／枷 ． (15)
将(9)式和(15)式相加，并对照(7)式，不难得出
2C ( ： 一△( 。EzSL)。 )
m + C) ⋯ 2 、
等式左边是导体棒获得的动能与整个过程的焦耳热之和，右边是电磁场能量的减少．由于在整个过程
中，磁场未发生变化，所以只有电场的能量减少了+考虑到等式右边SL=V是电场所在区域的体积，所
以单位体积电场的能量为— 。E ，这是我们很熟悉的结果．
3 对电磁场的能量和动量的进一步分析
从以上分析可以看出电磁场确实具有动能和动量，而且可以转化为机械动能和动量．我们还可以进
一步分析，电磁场的动能和动量又是哪里来的呢?是不是可以在电磁场的建立过程中由其他形式的动
量和动能转化而来呢?
可以设想这样一个过程：开始时，在磁场中的平行板电容器的两块极板是重合在一起的，正负电荷
抵消，因而没有电场，也就没有动能和动量．然后以垂直于极板方向的外力，缓慢地将一个极板拉开到
的距离，同时保持另一个极板不动．在此过程中，极板受到洛沦兹力的作用
= Q0tJ×B， (17)
式中Q。为极板所带的电量， 为极板的运动速度，洛沦兹力的方向垂直于 ，为了不让极板侧向移动，在
拉开极板过程中必须施加一个与洛沦兹力方向相反的外力．拉开极板过程中，这一外力作用于电容器系
统的冲量为
，=f fat=f—Q0 Bvdt=一Q0 Bfdl=一Qo BL=△P (18)
负号表示冲量方向与洛沦兹力相反．外力冲量的作用并没有使得系统内任何物体获得机械动量，而是将
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动量储存在电磁场中了．电磁场的动量
A P =Qo BL= cL =(80 Eo B)SL． (19)
在拉开极板的过程中，拉力做的功为
= 』 =』 出= 1。Q。￡= 1。2 c =( 。EI)S￡ (2o)
由此可见，在建立电磁场的过程中，外力作用于电容器的冲量转化为电磁场的动量|夕p力做的功转化为
电场的能量．而放入导体棒使之运动后这些能量和动量的一部分又转化为导体棒的机械动能和动量及
焦耳热．这又一次说明电磁场确实具有能量和动量．
4 结论
通过分析处于匀强电磁场中的平行板电容器中导体棒的运动，从一个侧面论证了电磁场的确具有
能量和动量，并且可以与其他形式的能量和动量相互转换，在转换过程中遵循能量守恒和动量守恒定
律．这一简单的模型使得原本抽象的概念变得具体化，有利于初学者对电磁场的这一重要属性的理解．
进一步分析这个模型发现，电磁场的能量不可能全部转化为导体棒的动能，一部分要转化为焦耳
热，一部分仍留在电磁场中．电磁场的能量转化为导体棒的动能的部分所占的比例为
叼叼 = = ≤≤ }’． (21)
当m=B L：C t{，田=÷．
可见导体棒获得的动能最多为电场能量的1／4，此时Q i =Q。／2，即电容器极板剩余电量为原来
的1／2，而剩余的电场能量为原来的1／4，其余的1／2能量则以焦耳热的形式损耗了．
参考文献：
[1] 郭硕鸿．电动力学(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1997．
[2] 程守诛，江之永．普通物理学2(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1998．
[3] 刘艳秋，朱炯明．从一个实例分析电磁场的角动量[J]．上海师范大学学报(自然科学板)，2002，31：94—97
[4] 王忠亮，封小超．电磁学讨论[M]．成都：四川教育出版社，1988．
[5] 马西奎．电磁场理论与应用[M]．西安：西安交通大学出版社，2000．
The energy and momentum in electromagnetic fields
HUANG Hui，TU Hong，ZHU Jiong-ming
(Mathmatics and Sciences College，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China)
Abstract：The abstraction of energy and momentum in electromagnetic fields is concretized through analyzing the movement of
conducting rod in parallel plate capacitor in a uniform magnetic field．It Can be shown that energy and momentum exist indeed in
electromagnetic fields an d can be transformed into or from kinetic energy and mechanical momentum．And the conservation law is
obeyed during the process of transformation．
Key words：electromagnetic field；energy；momentum ；parallel plate capacitor
(责任编辑：昊澄)
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