在齐次问题中没有了激励源，不需要实实在在地研究连续的场和局域分布的实物之间的相互作用问题

前言回到顶部↑本书是现代电磁场理论研究总计划中的一个组成部分．这一研究工作是在国家自然科学基金委员会基金项目的资助下进行的．从1997年起到2003年我们获得了国家自然科学基金委员会的下列三个面上基金项目的资助，每个项目的研究成果都以一部学术专著来表述：①电磁场的算子理论与三维场计算，1997．01～1999．12．这一项目已完成．作为项目的主要成果，1999年由科学出版社出版了学术专著《矢量偏微分算子：现代电磁场理论的数学基础》．②电磁场数值方法的理论基础与应用，1999．01～2001．12．这一项目已基本完成，其主要成果就是现在的这本书《电磁波基本方程组：现代电磁场理论的工程应用基础》．③现代电磁场理论中电磁波动量与传播，2001．01～2003．12．这一工作正在进行中，计划也出一本学术专著"电磁波波束与波速：现代电磁场理论的物理探索"．本书就是其中的第二本专著．
我们对电磁场基础理论工作的关注还是20世纪70年代末，戴振铎教授到国内讲学《电磁理论中的并矢格林函数》时开始的。在美国期间我曾得到戴振铎教授的热情指导，回国后在中国科学院电子研究所当时的所长吕保维教授的支持下，进一步开展了应用算子理论来分析和研究电磁场的并矢格林函数的工作，并于1991年出版了我的第一本学术专著《并矢格林函数与电磁场的算子理论》．
中国科学院电子学研究所高功率微波与电磁辐射开放研究实验室成立后，根据近30年在电磁场理论与应用研究工作的体验，我们深感有必要对经典电磁场理论进行进一步的、系统的研究，从而确定了从数学、工程应用和物理学三个方面来对经典场论进行深入研究的计划．当然，真正的研究内容主要并不是在研究之前所确定的，而是在研究过程中自然形成的．这从基金的题目与专著的名称之间的差别就可以看出来．把关于经典电磁场理论中的数学问题最后归结为矢量偏微分算子理论，这是我们原先并没有想到的．同样，把电磁场的工程应用基础最后归结为电磁波基本方程组，这也是在工作过程中逐步形成的．
麦克斯韦在19世纪70年代提出了关于存在电磁波以及光就是电磁波这样一个科学史上最大胆的预言，但是正如在本书第一章中所指出的，麦克斯韦所提出的关于电磁场的统一的方程组实际上是无法求解的．他指出了科学发展的方向，而把如何求解电磁场这样的细节问题留给了后人．赫兹在20世纪初证明了电磁波的存在，并把麦克斯韦所提出的方程组简化为现在常用的方程组的形式，并把它称为麦克斯韦方程组．但是当时同样无法对这样的方程组进行求解．所能够证明的只是，从当时已经掌握的标量波动方程的理论和求解方法可以求得麦克斯韦方程组的某些特殊情况下的解．他同样把精确、普遍地求解这一方程组的问题留给了后人．从这一方程组的建立到现在也有一个多世纪了．一个多世纪以来人们一直致力于对麦克斯韦方程组的精确求解方法的研究，但是经过一个世纪的努力，这个问题一直没有得到完善的解决．看起来，在经典数学的基础上是不可能完善地解决宏观电磁场理论问题的．因此，应用矢量函数空间和矢量偏微分算子理论把麦克斯韦方程组的数学基础从经典数学发展为现代数学，用现代数学的方法从麦克斯韦方程组推导出用两个标量函数表示的数学上自洽的、能够完全消除无旋场干扰的电磁波基本方程组就是从根本上解决经典电磁场理论中数学上的不自洽性和物理上的经典的力学类比所遗留的近似性的途径．电磁波基本方程组实际上就是麦克斯韦方程组中对于纯旋量场(即电磁波的场)的方程组．有了这个方程组，闭域内电磁波的齐次和非齐次的各种工程问题，即无源的微波技术中的本征问题和网络参数问题都可以得到严格的、以解析为基础的精确解．有了这个方程组和相应的解析和数值方法，这类问题应该说从理论上已经得到了完善的解决，所以，我们把它作为电磁波工程应用的理论基础．虽然在这本书中，我们没有讨论开放空间的问题、有源的问题和非线性介质的问题，但是正如本书中所讲的：所有理想导体边界和理想介质中的电磁波的问题最终都可以用两个我们称为"态函数"的标量函数来解决．而且用这两个态函数所组成的电磁波基本方程组来解决电磁波的那些问题时，其解在数学上都是严格的、一致收敛的．这不能不使我们考虑这样一个问题，这就是到底哪一个量能够真正反映电磁波的物理实质，是两个独立的态函数还是经典场论中电磁场在欧氏空间中的三个投影．如果态函数确实比经典场论中的电磁场在欧氏空间中的投影更深刻地反映了电磁波的物理实质，我们自然希望这个方程组能够逐步代替经典场论中对于麦克斯韦方程组的各种规范下的近似形式，成为更广泛领域中电磁波工程应用的理论基础．赫兹所建立的麦克斯韦方程组已经沿用了一个多世纪，但是一直无法解决这一方程组的数学上的自洽性，在新的世纪里应该到了有所发展的时候了．
当然这一工作仅仅只是开始，本书中所涉及的问题只是理想的电磁谐振腔和理想无损微波网络问题．但是我们相信这一理论和方法同样可以应用在开放空间的电磁波问题中和存在理想介质的情况下，这就是我们目前正在进行的工作．我们相信这一工作的进展一定会有助于人们更好地理解电磁波的波束形状和电磁波波速的合理表达形式．当然，探索宏观状态下反映电磁波群体特性的态函数与单个光量子的态函数之间的关系(它们自然应该有密切的联系)，将是与现代物理学紧密相关的另一个具有挑战性的问题．尽管对这些问题的探索是困难的，对于这些与现代物理学中的核心问题密切相关问题的探索是需要谨慎的，但是我们相信现代物理从其本质上来讲是与人们对于光(电磁波)这一特殊物质属性的了解紧密地联系在一起的，研究宏观的电磁波理论就不能不涉及这些问题．
宋文淼
2003年1月


4.2.3 从本征函数、delta函数、格林函数到算子理论的讨论
4.2.3 从本征函数、delta函数、格林函数到算子理论的讨论
我们说波动方程由于涉及了时间和空间的理念问题，实际上直到现在也没有一个对于非奇次方程的逻辑自洽的解，只有建立了映射意义上“相等”的理念后我们才可能在逻辑上理解那个非齐次方程的自洽解。这需要有一个很长的历史过程。对于一维波动方程实际上早在麦克斯韦理论以前就有广泛的研究了，它来自力学波问题的研究，特别是声波的研究。但是对于力学波由于非齐次的激励问题比电磁波更加复杂，要想解决力学波的非齐次问题的逻辑解，就更加困难了，所以长期以来，人们致力于对应的齐次问题的解，在齐次问题中，由于没有了激励项，也就没有了使源空间上的激励量和场空间上的场量如何相等的问题。所以很长时间以来，在力学问题中人们总是研究本征问题的解，得到基模和高次模的本征频率和本征模式(函数)。但是人们也知道那些本征函数并不是实际的振荡形式，虽然实际的振荡形式一般都接近某一个谐振模式，或几个谐振模式，但是实际的振荡到底发生在那个谐振模式附近，还是要看激励的具体形式。
这也就是说，在波动方程中，物理实在的基础在于“激励源”f(x’)，当然既然是相互作用，场的产生条件同样也是重要的，激励源要通过场空间的条件(即一定的边界条件)才能够产生真实的电磁波。但是归根结底，场是由院所产生的。在量子理论诞生的时代，人们根本没有认识激励电流和电磁波相互作用的条件，对于相互作用中产生(或吸收)的概念还没有建立起来，任何一个概念没有实践基础时是不可能产生的。所以那个时候不可能研究相互作用问题，所能够研究的只是齐次问题，因为在齐次问题中没有了激励源，不需要实实在在地研究连续的场和局域分布的实物之间的相互作用问题。量子力学在科学发展中的意义和作用也就是在这一点上，他们对本征问题的研究在物理观念上提出了很多对于以后研究实际的实物和电磁波的相互作用问题是很有用处的概念，我们在现代电磁场理论上所用的数学方法不是凭空的产生的，而是来自理论物理和现代数学两个方面，有了这两个方面的知识，就可以去探索真正的实物和电磁波的相互作用过程的数理逻辑问题，去解决电磁波的激励问题。量子力学的意义只能在这一步，早期的量子力学家的基本的局限性就是他们只能研究本征问题，他们的后继者的根本问题则是把他们的那些并不是物理实在问题的思维方法研究当成了世纪的误了你的研究，把本征函数当成了一种物理实在，并用它来表示实物在空间可以测量到的几率，这就一点物理实在的合理性也不会有了，他们不知道那个到底代表着什么？是实物电子的，还是电磁波，即他们所认为的光子的，因为对于齐次问题他们也没有建立起真正的数学演绎的体系，算不出却使得本征函数，近百年来一直采用着向蒙昧时代的巫师所用的那样的没有数学内涵的符号。这些当然只能否定，我们的工作首先就是要说清楚，早期量子力学家的波方程、本征函数等等和现代数学家们的算子和映射一样，都仅仅只是一种欧阳先生所说的“格数”，在那里没有“物”。说现代数学的那些理论中只有数，没有物，是谁都可以接受的，但是说现代物理学家们所搞得也都是只有数没有物，可不容易被接受了。但是实际就是这样，不管我国的院士在研究的“薛定鄂猫”，还是霍金所研究的“黑洞”都不是物理，都是与古希腊哲学家的宇宙天幕上的“水晶球”一模一样的东西。他们只能够提供一种形象，而不能提供逻辑的运算，就像现代数学能够提供演绎，但是失去了物理形象一样，在一定时期对于人们的思维是很有帮助的，我们就要用他们的形象和演绎方法去研究和解决工程技术中的实际问题，只有在解决工程技术的实际问题中来否定它们的不合理的那些概念，才能够真正地在继承的基础上发展。
所以在电磁场理论中研究的电磁波的问题与理论物理中的波动方程和纯数学中的齐次和非齐次的映射问题的研究中的一个最大的差别就是，在电磁场理论中，不管在任何情况下，读必须把握数学理论与物理实在之间的合理关系。哪怕在只有很少的实践经验和数学知识的情况下，哪些是理论结果，哪些是实验事实总是要搞清楚的，理论界过一定要有明确性(唯一性)，实验室是要有可靠性，虽然那种明确性和可靠性也都是一定历史条件下的，但是必须是那个历史条件下，人人可以感受到的。这就是我们现在来讨论和比较波理论中的，从本征问题，d函数，格林函数到非齐次问题，在理论物理、现代数学和现代电磁场理论中所反映的不同的形式和结果，首先就是为了搞清楚那个问题的逻辑本质。当然在方法上有一个差别：电磁场理论或者所有的工程和应用物理理论都是从及其狭窄的范围内开始的，然后一步一步地扩大他们的应用范围和精度，任何时候都把保持两者的合理关系放在第一位；而理论物理和现代数学一个在理论体系的前提上，一个在演绎方法的应用范围上都是“普遍”的，而两者之间的比较总是说不清楚的。当理论物理和数学本身能够认识到他们的理论和物理实在的可比较性存在问题的时候，他们都是科学发展的推进者，可以与工程和应用物理结合中共同发展，数学家一般都能够看到他们在物理实在的把握中所存在的问题，所以总是存在着与工程技术相结合的条件，理论物理一旦把自己看成已经是一个普遍的理论的时候，就必然地会成为人类实践和思维发展的障碍。这就是牛顿、爱因斯坦和所有的真诚的理论物理学家和霍金、欧文·拉茨格等现代物理学家和现代哲学家之间的一个根本的差别。当一个科学家学会了吹嘘和赌博的时候，他就不可能在是一个科学家了。
经典电磁场理论也是首先从齐次问题的讨论入手，他的发展的关键的一步也是来自理论物理学的那些形象的概念：但是在那里对于那些是思维的方法，那些是真实的物理实在的测量，对于大多数工程师来说总是要搞清楚的，所以他们从齐次问题(本征问题)、本征值和本征函数(本征频率和本征模式)、经过狄拉克的d函数合格林函数，最后进入了非齐次问题的求解，进入了实物(电子或带电粒子)和场(保守场和电磁波)并存和相互作用的物理世界。工程和应用物理在进入了超越理论物理所能提供合理概念的范围以后，理论物理实际上就成了科学发展的障碍，而数学依然是工程和应用物理学家在科学技术发展中所不可缺少伴侣。经典电磁场理论中开始了对于本征函数展开和在此基础上求解非齐次方程的研究中，在这方面华裔科学家戴振铎做出了最杰出的贡献。但是那些工作显然还是没有摆脱牛顿逻辑框架的束缚，在数学上无法建立实物与场函数变换过程中的“相等”的逻辑理念，在数学运算上也就没有严格的逻辑规则。关于经典数学上的格林函数到算子理论的映射和逆映射的发展过程，可以参阅《并矢格林函数和电磁场的算子理论》这里不再重复。总之，要真正讨论电磁场的产生和湮灭的问题，必须讨论实物和场并存和相互作用的世界，必须研究非齐次的波动方程问题，必须面对空间和时间的逻辑问题，必须讨论和研究“时空连续区”。连续和局域分布的实物和场的数学分析和计算的问题。从科学发展的历史进程来看，这些研究是从格林函数和d函数开始的，先要引入一个d函数的概念：
这里 表示单位电荷，扩大到普通源的情况，就得：
这个特殊函数的引入，最特别的地方就是在一个方程式中引入了两个与空间有关的形式参量：x和x’。而格林函数G(x,x’)，这又是一个更加特殊的函数，实际上它已经不是牛顿数学规则中的函数，因为必须对于x和x’必须用不同的方式来描述这个函数的性质。这样特殊函数的引入为讨论非齐次方程的解提供了一种手段，但是那不是严格意义上的数学分析，它不与牛顿的数学原理的逻辑保持自洽性。所以那种格林函数方法并没有从逻辑上解决电子和电磁波的相互作用问题，而是把麦克斯理论纳入了牛顿框架的轨道。但是经典数学中引入了d函数和格林函数确实给了人们以启发去进一步发展波动方程非齐次问题解的数理逻辑问题，但是经典数学下的格林函数形式只能解决少量的特殊形式下的一维波动方程非齐次问题，而不能解决电磁场非齐次的普遍问题。
下面我们介绍一下用映射和算子理论求解非齐次波动方程的一般问题的一般过程和结果，先来说明现代分析从逻辑上对与牛顿数学的发展：
一、首先，现代数学分析的对象不仅是数域与函数的关系，而是要把进一步分析牛顿数学中的函数，它先给出了对于函数的边界条件，把满足边界条件的函数整体地作为一个分析的对象，每一个函数都称为一个“元素”，而把那些元素的集合称作“函数空间”，在两个函数空间之间建立映射关系：
g=Lf.
这里L称为算子，由它来给出函数集合g和f之间的分析关系，从描述物质运动的意义上来说，这个映射关系就包含了比牛顿数学体系丰富的多的内涵：这里的f和g在物理问题上都是空间和时间的函数，即f(r,t)和g(r,t)。时间和空间的那一层逻辑关系已经隐含在函数的形式参量r和t中了，而函数f和g则可以表示建立在时间和空间上的两个与物质运动有关的深一层的实际的物理量，而算子和边界条件则用来表示这两类物质量之间发生相互作用的条件。
二、在实际物理问题上，f和g并不能直接和“数字”联系在一起，所以对这两个函数再一次地进行了分析(映射)时，还需要寻找它们与数字之间的关系，这通常就是“范数”，“范数”在影射中常常起着比“元素”更直接的作用，从这个范数中我们应该可以进一步界定出物质运动中，比时间和空间更深入一个层次的“逻辑基元”。
三、现代数学建立的是两个物理量之间的相互作用关系，所以那个和算子L联系在一起的等号。已经不是欧几里德的反映古代人的丈量土地时所获得得直线相重合表示相等的理念，也不是牛顿的表示运动的瞬时速度相等的那个理念，自然地应该是一个与物质间的相互作用相联系的相等的理念。
四、最重要的一点就是必须找到那种数学方法与大自然的物质运动规律之间的合理关系。也就是说，现代数学有一个最大的特点就是一般说来，它们不对具体的方程式和函数感兴趣，而只对具有抽象性质的函数来进行讨论，这就提供了一种很宽阔意义上的数学工具，而它的真正的应用，还是要回到具体的物理问题上来，回到特定的方程式和函数形式上来。在把算子理论用于物理问题时，必须对算子也作严格的限定，只有正定算子才能够有逻辑上的合理性，对于函数也作了严格的限定。这并不是说超过那些限定的就不行，作为人类思维的形式，和无限大的大自然那样，很难说必须做什么样的限定，但是作为一定历史条件下的科学家来说，应该能够清楚我们这一代人所承担的历史使命，而不是漫无边际的讨论与我们时代的人类实践能力无关的问题。所以数学家也好，理论物理学家也好，最终都不应该脱离时代的工程技术和人类生产发展。我们也只有在针对某个工程技术的物理实在问题时，才有可能真正的说清楚数学理论与物理实在的关系。