J(x)中的x，与表示场的空间V(x)中的x，是完全不同的两个概念：电流所在的区域是极其窄小的，只是微波器件中的电子与电磁波相互

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一维波动方程所对应的分布电流激励均匀传输线

4.2.2 简振条件下波动方程非齐次问题的逻辑讨论
上面小节所讨论的现代数学的逻辑本质，想说的就是最后一段的这句话：这个映射意义上的相等，实在包含了太丰富的内涵。它的数学内涵只有在物理实在的支持下才能够看得清楚，同样也只有在现代分析数学框架下，那些有关电磁波的数学方程才有明确的演绎规则。要说清楚这一点实际上就是要去建立一个和牛顿的数学物理体系相平行的体系，在这个体系中，尽可能的把牛顿引力给排除掉，只考虑由带电粒子及电磁场所产生的物质运动的规律。建立起类似牛顿数学原理的对于电物质及场与波的数学原理。当然这个数学原理比牛顿的要复杂得多了。牛顿理论体系中只有一类相吸的同性粒子，因而也只有一类场(保守场)，而带电粒子由两类相反的粒子组成(正负电子)，因而有两类场(保守场和电磁波)，而且中子有不可避免的掺和在一起。所以讨论那样一个复杂体系的逻辑关系，也只能一步一步得来。先讨论更小的有限论域，然后一步一步的扩大。
那末这个最小的有限论域是什么呢？牛顿的机械运动的工业社会以后，最有影响的就是电气化的社会，那个列宁所说过的和共产主义联系在一起的全国电气化社会，其实那个电气化社会的数理逻辑问题还并没有真正解决清楚，人类就进入了信息社会，信息社会的数理逻辑问题同样好没有搞清楚，人类就有可能要进入后信息社会了。这就是带电粒子及电磁场所带来的问题的复杂性。当然带电粒子及牛顿的引力物质结合在一起的那个物质运动体系就更加复杂了，而人类实际上接触到的真正大自然的问题，又都是比它更复杂的问题。如所有的“天、地、人、生”的问题，或者说与人类生存直接相关的资源、环境和自然灾害的问题，都属于比那个我们有可能去讨论其数理逻辑的牛顿物质和电磁物质的问题要复杂得多的问题。牛顿物质与电磁物质不可分割地联系在一起的力学、力学波以及“涡”的问题，不同物质形态下的群体物质的运动问题，更不要说生物体的问题，宇宙的问题，都是复杂到远远不可能用严格的数字体系可以表示的问题。这些就说明在大自然面前人类永远只能获得极小的一部分理性的知识，我们要建立理性和逻辑的那部分的工作总是在很窄的有限的论域下的工作，但是对于人类来说，那部分工作又是有极重要意义的，它是其他领域的科学发展的基础。
所以我们的讨论还是要从电气化社会所遗留的最简单的电磁波运动形式入手，那就简振条件下波动方程非齐次问题。这个问题也就是当年爱迪生反对交流电系统时，所争论的问题。这个问题从实践上是解决了，但是在数理逻辑上并没有完全解决。人类知识的积累就走过复杂的道路：大部分时候实践总是走在了理论的前面，但是没有理论的引导和支持，实践走过一段以后就会走不下去。一个僵化的错误的理论会把实践引向死路，科学技术就要等待新的理性和逻辑之路。
现在就让我们来看一看作为整个现代社会的最重要的一个数学公式——“一维波动方程式”。在人类对于大自然认识过程中，这是一个和牛顿的运动方程有同样重要意义的方程式。它实际上是电气化社会、信息社会的数学基础，也是整个电磁场理论和现代物理学的基础。虽然这一方程所对应的物理问题是一个已经极大地简化了的理想化的问题，但是人类对于场与波的认识的思维基础就隐含在这一方程之中。电磁场理论、现代物理学和现代数学的逻辑的基础都建立在这一方程的基础之上。





图1.一维波动方程所对应的分布电流激励均匀传输线
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我们用图1来表示一个电磁波产生的理想化的过程。图中表示了由分布的电流源J(x)所激励的均匀传输线，这一传输线可以是无限长的或者是半无限长，即一端短路的；也可以是有限的，两端都短路的。这样的图是所有产生电磁波的设备的一个简化模型，不管是电力系统的交流电的产生还是电子系统中电磁波的产生，一般都用这样的一维的电路和一维的电流源来简化。它把及其复杂的三维的空间的逻辑问题简化成了一个一维问题，三维的电磁波简化成立一维的电流和电压，空间分布的电路特性也简化为用两个标量：传输线的分布电感L0 和分布电感C0。这样的简化，使这个方程式无法真正地分析作为三维矢量的电磁波和电磁场的性质问题，但是保留了随着电磁波和电磁场的出现，在人们的思维领域中所必然涉及的时间和空间的关系问题——这一在现代工程技术、现代物理以及现代数学和人类思维发展中的一个都不可避免地涉及到的最重要的对于物质世界的原初理念问题。
所以，讨论这个方程的数理逻辑问题，是我们的思维从牛顿的框架进入爱因斯坦所说的实物与场并存的物理世界的逻辑框架中的一个关键问题。当然空间结构的简化使我们无法在这里研究场与波的真实的物理性质，但是只有搞清楚了时空的逻辑关系，才有可能进一步深入研究场与波的数理逻辑问题。
在一维简化下，电场简化成了电压，磁场简化为电流，麦克斯韦电磁场方程组，简化为电压和电流的方程组：

消去I(x)后得到一维的波动方程：

差不多所有的书中，不管是电工的，电磁理论的或者是现代物理学的，到处都可以看到这个方程式。这个方程中除了上面所指出的，已经把三维的问题简化为一维问题外，实际上还存在两个问题：一是对于电场解包括电流形式的形式的单频简化假定，这个假定中引入的复数概念和复指数的欧拉公式，正是这一简化过程才使得时空关系中的时间从时空的形式参量体系中分离出去，成了一个用频率表示的和空间相分离的独立的形式参量。在测量时间大大于周期的条件下，这一简化关系的合理性是非常明显的，尤其是它对于交流电系统应用中的合理性是得到了人类实践的公认的。在50周的工频下，一个稳定工作一天的电力系统，所测量的时间就是周期的20多万倍，而任何一个现代化的电力系统总是能够保持以年计的稳定工作时间。这就使这一有限论域在电力工程的时空关系的简化模型中，可以达到足够的理论精度，也就是与物理实在有合理的关系。对于光波来说这一时空模型也是容易建立合理关系，那是因为光的频率很高，只有有毫微秒的测量时间就可以比周期大上万倍。单频近似也是合理的模型。作为电工理论体系，可以允许测量时间很长，它只要求单频下的电磁波的稳定传播，这一传播过程中，人们关心的主要是能量；而作为信息应用则要求在极短的测量时间下获得足够精度的频谱的特性，所以工频的系统在信息传输和通信中的应用已经基本被淘汰了，只在某些特殊环境的信息测量中即高频的电磁波取法进入的环境下，仍然有很大的应用价值。越来越高的频率的电磁波进入信息的应用，标志着信息社会的来临。这个信息社会对于电磁波不仅要求单频下有好的精度，还要求对于一定的频宽具有足够的可分析的精度，这是比单频模型更高的要求。但是所有的一切先要解决单频模型下的电磁波的时空关系的逻辑上的合理性。
一百多年来电力和信息社会的实践，实际上还有二、三百年的力学振荡和力学波研究的实践，使我们对于这个逻辑问题有了一个合理解决的途径。但是解决这个问题实际上是经过极其曲折的路所走过来的。它的最根本的问题就是对于时空这个描述大自然所有现象的“共同舞台”的逻辑性质的深入理解的问题。在牛顿理论中我们已经反复地说明，把时间作为逻辑量，而把空间及作为逻辑量同时又代表一个具体的物理量，来进行实物运动的描述；而力与物质的空间分布之间的数学关系用一个简单的初等数学的公式来表示。时间这个逻辑量对于牛顿理论框架来说是“绝对的”，也就是说，只要是在牛顿理论的有限论域下，在这个理论体系内的所有的物体，都可以用一个共同的“时间”，这就是牛顿的绝对时间的含义。要特别注意这个“绝对时间”决不是说时间就是拥有这样的“绝对性”的性质，而是牛顿理论框架的有限论域所确定的。实际上很快我们就会发现哪个有限论域实在是很狭窄的，我们马上要去研究如何把时间的逻辑性质扩大，以适应人类认识范围的扩大，但是那样的扩展是不能依靠任何人为假定来实现的。当然在人类认识大自然的历史过程中，也有一些科学家的假定被当作公理的一个组成部分被保留下来了，那也是经过了人类实践和思维发展中，对他的假设作了重新的界定以后赋予了新的内涵的情况下才有意义的，没有一个个人大脑的直接的产物能够被作为公理而一成不变的保留下来。从波动方程所出现的逻辑困难我们可以看到牛顿理论的绝对时间实际上只有在两个条件下才能够保持合理性：一是对于物质的没有结构的“质点的假定”，它使得在任何一个时刻，在任何一个空间点上都不可能存在两个以上的“物质粒子”。二是我们有可能同时地观察到不同的粒子的空间位置，即那种观察是不需要时间的。这两条在电磁波出现以后都被超越了。所以牛顿理论框架也要被改写。但是在牛顿理论所确定的有限论域下，牛顿理论框架的合理性依然可以被保留下来了。所以对于相对论和量子理论的研究，不是笼统地否定，对于它们的探索不能否定，即探索中对于在必须考虑电磁波的情况下，对牛顿框架的“否定”是合理的，必须肯定的。对于否的过程中出现的一些可以继承而且实际上也被继承了的东西当然也不会否定，要否定的就是不讲有限论域地把那些理论作为普遍理论，而把已有理论不加分析地笼统的、简单粗暴的否定，特别是把那种还没有自洽的逻辑体系的暂时的理论应作为普遍理论、不允许对他们理论中不合理内容进行分析、否定和发展的僵化的科学垄断的做法更是必须予以斗争。
一维波动方程和牛顿方程有一个共同点，就是把时间和空间分离了，看来直到现在我们只能在时间和空间分离的情况下来建立整个理论的逻辑自洽体系。这里没有意思说，空间和时间在分析中是必须分离的，而是说到现在为止，我们还无法获得时间和空间作为统一的形式参量体系的数学上合理的分析方法。我们不是笼统地说爱因斯坦的时空连续区的探索是不对的，而是说他的探索没有成功。因为时间和空间本身都有自己的不同的逻辑属性，简单地在一个逻辑层面或逻辑平台上组成一个共同的形式参量体系，已经做了太多的工作了，所得到的结果都是离开物理实在越来越远。现在是到了发展新思维的时候的，这个新思维只能依靠这段历史时期的人类实践和思维的发展所获得的新的科学元素。人类的实践能力发展到了那一步，我们的自然哲学的数学原理能够跟上到那一步，大概也只能这样了。所以我们要强调的只是电气化的社会和信息社会给我们提供的感性材料的基础上来建立合理的数学原理，还有大量的问题留待后人去解决。而把那些实际上是没有逻辑自洽性和物理实在合理性的“普遍理论”给否定掉。那是必须否定的，因为不否定就会阻碍合理理论的产生。合理的理论决不是像现代物理学家所说的那种包罗万象的理论，而仍然只是有限论域的理论，而且首先要建立也许只是与牛顿理论并行的理论，而不是包括了牛顿理论的大理论。
上面所说的是不得不说的哲学的方向，如果这个方向不明确也很难理解下面所讨论的内容。现在我们可以说，一维波动方程实际上就是我们前面讨论的牛顿理论体系中的一个方程式——爱因斯坦所说的场结构问题的方程式。这个方程式在组成理论体系中的作用是与牛顿理论中的力方程相等价的。但是牛顿理论中的有限论域使那个力方程简化为一个初等数学公式，所以时间在那里是绝对的，不会产生任何数学上的困难。一维波动方程中时间同样被分离出去了，尽管分离的方式有些不同，但是结果是一样的，整个方程也成了只有一个逻辑参量体系的方程式，这个方程式似乎应该可以分析了。但是实际上还存在一个数学上的大问题：那就是空间已经代替牛顿理论体系中的时间，在这里已经是形式参量了，但是空间并没有牛顿理论体系中时间的绝对性，时间的绝对性是通过牛顿的物质模型来实现的，这只是一个有限论域的假设，即任意时刻在任一空间点上只能有一个“实体物质”存在。在牛顿理论中力被僵化了，成了超距作用的力，而牛顿本人也说，那种通过虚空传递的力是任何一个具有正常思维能力的人所无法接受的。这个问题在电磁理论中同样存在，也成了电磁理论中的一个主要的逻辑问题。这就是现在我们所讨论，通过另一逻辑思维的方式来建立合理的逻辑关系的问题。现在只说，在波动方程中空间作了逻辑参量，而物质必须保持实物和场并存的现实，在这里场也就是电磁波。也就是说波动方程中与牛顿理论中的力方程相对应的场方程成了必须分析的一个主要问题。这个场方程中，必须考虑两类不用的物质存在，再也不能像牛顿理论那样用一个“正常思维的人所无法接受的超距作用”来简化了。这是一切困难的根源。也就是说上面方程中的左边和右边的两个形式参量实际上不再是同一个了。一个有微波系统的实践经验的人都知道，那里的J(x)中的x，与表示场的空间V(x)中的x，是完全不同的两个概念：电流所在的区域是极其窄小的，只是微波器件中的电子与电磁波相互作用的极小的区域，而场区是极其大的包括了所研究的问题中的整个体系。从牛顿数学的概念，我们无论如何也无法把右边的只存在极小区域的J(x)和左边的整个场所在的空间上连续的场量V(x)“相等起来”。
尽管在电工、电子学或者在纯的理论物理上都把这一方程作为整个理论体系的基础，但是至今都没有解决那个最基本的逻辑问题。这个相等概念的建立过程，实际上比牛顿的dr/dt相等的概念更加困难的问题。并不是任何一个人的任何的假定或任何雄辩的说辞或无上的权威使人们接受了牛顿的瞬时速度的理念，使人们接受那个理念的唯一的力里就是大自然，他所得到的，实际上是那个时代的人们所共同得到的太阳系星体的运动规律与人类的瞬时速度的极限理念的合理关系是牛顿理论中“相等概念”得以成为公理的唯一基础。要说清楚牛顿的理论框架必须打破，必须建立对于带电物质的独立的自然哲学的数学原理，摆在我们面前的第一个问题就是关于J(x)和对于V(x)的方程组的相等的“逻辑概念”的问题。没有这个“相等”理念的合理的逻辑界定，其它一切理论的逻辑自洽性实际上是谈不上的。这就像瞬时速度的概念还不能成为人人感受的公理的时候，也就淡不上任何物质运动理论体系的逻辑自洽性。这也就是爱因斯坦所说的把麦克斯韦理论体系纳入牛顿理论体系的努力是不会成功的，也是所有的经典电磁场工程科学家在解决电磁厂理论中总是无法得到逻辑自洽结果的原因，也是现代物理学家，不论相对论，还是量子理论或者广义相对论量子力学等等任何形式的“度规化”的现代场论都不可能逻辑自洽的原因。
20世纪两位自然科学的伟人，爱因斯坦和希尔拜特都进入了超越牛顿时空观的新的“空间”逻辑的探索，他们从不同的路为我们提供了建立新时空观的基础，是爱因斯坦向我们指出了物理方向上的实物与场并存的物理世界，使希尔拜特的抽象空间理论打开了通向新物理世界的最基本的思维道路——建立映射意义上的相等的理念。但是最后还要类似于谷第•赫布里和开普勒的实验结果。看起来麦克斯韦的电磁物质规律中所蕴藏的逻辑之路比牛顿的逻辑之路要复杂得多，在牛顿的时代，虽然那些工作也是由全人类的实践和思维发展的积累才能够提供的，但是那些工作往往最后是由几个人所总结起来的。而走向电磁物质的自然哲学的《数学原理》需要更多人群的不同的实践的综合，一个人已经描绘不出一个完整的图景了。数学和物理学已经分离了。但是我们更应该看到人类实践和思维的能力一定会发展得比所遇到的自然科学问题的复杂性还是要快得多。从只有静止的空间描述和与空间完全无关的时间概念的古文明，到牛顿的用极限的理念把时间和空间联系起来的自然哲学的数学原理的建立，用了几千年的时间；从哥白尼到牛顿也用了两百多年。而从牛顿到现在也就四百多年，一个新的《原理》已经快要呈现在人们的现了。而且尽管现在的科学分得太细了，但是同样，现在不同学科间的交叉也进行得更加迅速了，尤其是现代计算和信息技术的发展，人们已经习惯于把世界的一切都用数字化来描述，这些就是我们可以以更快的速度去获得真正知识的保证。在思维发展的道路上，理论物理、纯数学和工程技术和应用物理学都是不可缺少的，没有理论物理提供的物理新概念，没有纯数学的演绎逻辑，光凭工程和技术物理是不可能走出新的数理逻辑的道路的，尽管如此，我们还是要强调工程技术物理对于获得真知的作用。首先只有工程和技术物理才能够提供人人都可感受到的公理，此外，理论物理也好纯数学也好，一旦进入了人为假设的循环就不可能依靠自己走出逻辑悖论的循环道路，而工程技术实践却可以凭着人人能够感受的感性材料为依据使理论向前发展。所以人类科学发展的历史上工程技术的发展总是走在理论的前面。当然最后还是需要理论和实践的统一，人类思维和实践的统一，才能够使人类继续前进。