我们通常所考虑的随机过程都是以时间作为唯一指标的。不过实际应用中我们会时常遇到指标为二维的随机对象，比方说受到噪声污染的图像，一

运动引起运动，时间是原能量，初始条件，加速度，空间对空间的微分，偏微分

第一部分：理论

问题的由来：我们通常所考虑的随机过程都是以时间作为唯一指标的。不过实际应用中我们会时常遇到指标为二维的随机对象，比方说受到噪声污染的图像，一段运动图像序列，起风的时候大礼堂草坪上草的高度等等。这正是我们需要研究的对象。

简单的说，所谓二维指标的随机过程 ，指的是这样的一种随机对象：当 取定的时候， 对应着一个随机变量。由于指标从普通随机过程的一维直线变成了二维平面，二维指标随机过程的性质也有了相应的变化，应用的领域随之扩展，所反映的现象也更加丰富多彩。我们现在就从理论上来探索一下二维随机过程的二阶矩过程。

概述：研究的过程中我们特别要注意的是：二维指标的随机过程和我们课内正在学习的单指标随机过程没有什么本质的区别，当指标固定后，都是对应了一个随机变量；而随机过程的随机性并不因指标维数的变化而产生本质的变化，它只取决于随机变量本身的性质；维数的意义只是确定一个随机变量，并且在随机过程具有遍历性的时候，为我们测量随机变量的某种数字特征提供了可能性。所以，我们在研究过程中特别要注意随机过程哪些性质是和指标有关的，而那些性质是和指标没有关系的，下面开始仿照单指标随机过程的研究思路对两指标随机过程进行研究（由于实数和复数域的研究没有本质区别，我们着重研究实数域的性质，在形式上偶尔会有复数域的表示）。

定义：我们首先给出一个更加广泛的定义就是随机场的定义：

设 是一个概率空间， 为一n维向量空间 中的点（可列或者不可列都可以），对于每一个 ，都有 是概率空间的一个随机变量，则称 是该概率空间上的n维随机场或者n指标随机过程。

我们从上面的定义自然可以看出，现在主要研究的两指标随机过程 就是当指标空间维数取2时候的特例。

二维指标的二阶矩随机过程：设随机过程 是二维空间上的随机场，若对于每一个 都有 的均值和方差存在，则称 二维指标的二阶矩随机过程。

相关函数：

有了量指标随机过程的定义以后，和单指标研究过程一样，我们马上就想关心一下相关函数的定义，以及其一些性质。

设 是两个二维向量。

1．存在性：



我们发现，二阶矩过程的自协方差总是存在的，而与衡量它指标的维数并没有关系，所以这样我们要研究的相关函数也就总是存在的。

记为：

2．相关函数的对称性：

，这种对称性和单指标的随机过程证明一样，从略。

3．相关函数的非负定性：

二阶矩过程的自相关函数 具有非负定性 ，即对任意有限个 和任意n个实数 ，都有 。

我们发现非负定性也是只与随机变量本身性质有关的，而与衡量它的指标没有关系，所以证明和一维指标的随机过程的相关函数的非负定性没有什么两样，这里也从略，从上面得到的几条性质可以看出相关是比较本质的反映随机性内在特征的一个量，所以它的一些性质不受衡量它的指标的一个影响。

宽平稳及其性质：

当一个随机过程在各个指标确定的随机变量的集平均不随指标改变而变化，并且相关函数为 的时候，我们称此时二维随机过程为宽平稳的随机过程，下面我们依然仿照一维的情况，来研究二维宽平稳的一些性质。

性质一： ，宽平稳的自相关函数的对称性。

性质二：

证明：



性质三：

证明：



性质四： 具有非负定性，对于任意的 和任意n个实数 ，都有 。

证明从略。

我们发现以上四个性质都和一维平稳随机过程是一样的，那么二维的平稳性和一维的平稳性又有不同和内在联系呢？我们下面来直观的看一下。

不妨如下图设：A对应的坐标为 ，B对应的坐标为 ，C对应的坐标为 ，且有 ，那么，如果以这个平面为指标的随机过程具有平稳性，

，

也就是 ，

如果方向固定为 ， 的话，那么这个相关函数的等式就可以表示为

，只与两点之间相距的距离有关。

也就是说，当我们只考虑一个方向上的相关函数的参数有二维变到了一维，可以说一个二维的平稳过程是由各个方向上的不同的一维平稳过程所组成的；也就是说，二维的平稳过程的各个方向都必须是平稳的，但是不同方向的平稳性可能是不同的，也就是二维的相关性已经具有方向性了。当我们把这种平稳性再加强一些，假设各个方向上的平稳性是一样的，我们会发现，这时候，去掉方向性的相关函数将之和两点的距离有关 ，这时候相关函数就变成了一元的函数，如果我们是通过相关函数来研究就随机过程的话，那么这个时候，一维和二维的随机过程将没有什么区别，从这里我们也可以看出来，平稳的随机过程两指标和单指标最大的区别，就是其相关所反映出来的随机性具有了方向性；那么我们有的时候在一个平面上得不到这个过程在一个点具有二维的平稳，但是我们也许可以在某一方向得到平稳性，当我们对一个二维平稳无法入手的时候，也可以先从研究它各个方向服从的一维分布入手。

随机序列的均方极限：

书上的关于均方极限的定义是针对随机变量的序列的：设有随机变量序列 ， ，存在二阶矩，即 ；如果 则称序列 均方那个收敛于 ，用 来表示。

关于均方收敛的的定义完全是随机变量序列本身的性质，所以我们在这里的性质都可以直接从一维指标继成到二维指标。

下面的六则定理也完全是随机变量本身的性质，这里只列在下面，将不予以证明：

1．取极限和取均值是可以交换次序的。

2．设有随机序列 、 ， 和随机变量 、 ，且

A,B为常数，那么

3．设有随机序列 、 ， 和随机变量 、 ，

那么

4．均方极限的唯一性，设有 ， ， ， 且有 , ,那么 。

5．柯西准则：

设 是随机变量的序列，且 ，则 均方收敛的充要条件是：

。

6．洛维准则：

设 是随机变量的序列，且 ，则 均方收敛的充要条件是：



二阶矩过程的连续性：（下面研究问题的时候，都是均方意义下的）

有了均方极限的概念后，我们马上接触到连续性的问题：

对于每一个二维向量