"包络圆对称性"google.cn
DOC] 引题：
文件格式: Microsoft Word - HTML 版
在圆中按要求折出许多折痕，这些折痕所在的直线包络成的封闭图形近似椭圆。 ... 根据对称性，上任一点Q到、的距离相等，. ∴连接并延长与相交，交点为M.如图（6）（7） ...
www.fdzx.com.cn/dekt/kjfm/lunwen/圆中飞出曲线来.doc
圆中“飞”出曲线来
——对一种有趣的圆锥曲线画法的探究
内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0501班 闫锐鸣 指导老师：张红
背景：
在日常生活中，圆、椭圆、双曲线及抛物线是很常见的几何图形。它们统称圆锥曲线。在学习椭圆的过程中，我们接触到了许多椭圆图像的画法。有一种很有趣的作图方法吸引了同学们的注意。经过思考与分析，我对这种方法有了一定的了解，并试着进行推广。
主要内容：
对这种作图方法的原理进行探究、论证，发现“基本思路”，并且将这种方法与原理推广到其他圆锥曲线。
关键词：“基本思路”“对折”“包络”
结构框架：
引题：1〉作图方法
2〉证明
3〉性质
基本思路
推广：(1)双曲线：作图方法、原理、性质
(2)抛物线：作图方法、原理、性质
总结
系统展示
引题：
在圆中按要求折出许多折痕，这些折痕所在的直线包络成的封闭图形近似椭圆。
作图方法:在图（1）中选择非圆心的一点 ，再将一弧对折使得此弧经过已知点 。由此得到折痕所在直线 。重复折叠多次，得到 .将这些 描绘出来。这样就可以得到由 包络成的封闭图形。
图（1）
若此封闭图形确为椭圆，那就来证明它吧
证明：
证法1：探索得证明过程如右图：
已知：在以 为半径的圆内有一定点 ，
对折弧使得 点在BC上，
所得折痕所在直线为 。
证明：设： 为折叠后与 重合的一点，
∵ 为对称轴 ， 点A的对称点为
连接 ，与 交于 点 则 且
∴ ,
又∵在 上其他任意点 ,都有
综上可知，在 上有且仅有一点 ，使得
（R为定长，且 ）
则在 上有且仅有一个满足条件的点 ， 点的轨迹为椭圆。（ 点恰为 与椭圆的切点，且任意两条 的交点不为 。）
我们还可以有以下证法：
证法2:
如图（3）所示：以 为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系，选择定点 。
设折叠后，⊙ 上点 与点 重合，而折痕所在直线为
则直线 为线段 的中垂线， 中点为 ，
设 为直线 上任意一点,
故所求点的集合为 所表示的曲线之外（含边界）部分。
折痕所在直线上有且只有一个这样的点使得等式成立，这些点的集合为椭圆。
由上，如图（4）建立直角坐标系：
即 ， ，
根据定义求椭圆方程：
∵
∴
即
化简得：
性质：通过上述描述，可以就此方法分析椭圆的性质
1> 越短，所得椭圆的离心率e越小，准线离中心越远。
2> 定圆中不变，即端点距不改变。
基本思路：由此作图方法探究其原理，可以总结出一条基本思路
涉及两点，且为定点，借助对称特点，寻找动点作中间桥梁，由此联系寻找定长。
根据基本思路，猜想借助圆的特点，可得出其他圆锥曲线的图像。
推广：1〉双曲线：
思维过程（框图）
如图（5）
1）作图方法：作两个同心圆。在大圆上找一点 ，对折圆弧使 与小圆边上任一点 重合，折痕所在直线为 。多次折叠之后得到 .将 描绘出来，可得双曲线图像。
2)原理:如图（6）（7）所示
已知：⊙ 、⊙ 为半径分别为R和r的同心圆， 为折痕所在直线， 为定点， 为折叠后与 重合的一点。 在⊙ 上， 在⊙ 上。
要求在直线 上有一点，使得其到 的距离与到 的距离之差的绝对值为定长。
∵根据对称性， 上任一点Q到 、 的距离相等，
∴连接 并延长与 相交，交点为M.如图（6）（7）
则可得， ，
显然在 上有且仅有这样一点 。
综上：作图可得以OA为焦点， 的双曲线。
如图（6）建立直角坐标系：
双曲线方程：
| |=
| | =
化简得：
性质描述：（1） 越大，双曲线e越大。
（2）焦距始终为 。
从对双曲线的探究中可以联想到前面的椭圆，也可以借助同心圆作解释。
由上可见这种方法对椭圆和双曲线都适用。
2> 抛物线：
思维过程:
如图（10）：
1〉作图方法：在圆内做一条直线 ，在圆上找点 ，折弧使 点落在直线 上。多次折叠，将折痕所在直线 描出。（如图10）
补充：如图（10）不具普遍 性，如图（11）当 与直线 不垂直亦可，图（12）为 过圆心的情况。
2〉原理:如图（12）所示
已知:在以 为半径的圆中，有一条确定的直线 即一定点 ， 为 对折后 点在 上对应的点， 为折痕所在直线 。
要求一动点到定点 与到直线 的距离相等。
∵根据对称性， 上任意一点到 . 的距离相等。
∴过 作 ⊥ ,与 交于 点
则， 显然，过 作 的垂线仅有一条。
所以 上仅有一点 ，则在 上这样的 点的轨迹为抛物线。（ 点恰为 与抛物线的切点）
图（13）
如图（13）建立直角坐标系：
3〉经过描述可知性质：AD越长抛物线开口越大。
总结：经过对椭圆的研究及对双曲线和抛物线的探索，对这种方法、原理作总结。由基本思路与图形特点结合，得到一般规律。简单描述即为：
取圆内定点，利用对折弧的对称性质，联系图形，寻找特殊点，则特殊点轨迹即为所求图形。
以下就此规律系统展示：
圆内有一点A，从圆心 出发，选择不同位置。依据圆弧过定点A的原理操作,可得到性质不同的图形(借助同心圆).另外,因抛物线具有特殊性质,所以借助了圆内定直线来作图.
