波包的基本特征就是在某个有限空间区域（上图的横坐标）内存在被某种形状的包络包裹的振荡信号，而在该空间区域以外，振荡信号的幅度随着

skip to main | skip to sidebar Free - Interaction Friday, April 3, 2009 波包 波包的直观图像可以参考下面这幅从wiki上拷过来的动画： 如果从上面的动画取一个snapshot，可以得到某个固定时刻的波包。可以看出来，波包的基本特征就是在某个有限空间区域（上图的横坐标）内存在被某种形状的包络包裹的振荡信号，而在该空间区域以外，振荡信号的幅度随着距离波包中心的距离增加而趋于0。 从数学上来讲，任何波包都可以由平面波叠加得到，而平面波又是常系数波动方程（比如自由粒子满足的Schrodinger方程）的本征解。那么波包还是这些波动方程的本征解么？一般来说答案是否定的，但是可以找到一些波包是本征解的例子（暂时举不出例子，华仔跳出来给几个）。说道波包，有两个速度不得不提，一个是群速度，一个是相速度。群速度表示的是波包的包络传播的速度，而相速度是包络里面的振荡波传播的速度（假设这个振荡波是单频的，否则一般来说存在若干个具有不同的相速度的波的叠加）。简单举例如下。比如一维（可以很容易的推广到高维）波包可以用如下的表达式来表示： 上面的表示的是这些不同的空间频率分量（用标识）的幅度，可以是复数。将空间离散化后上述积分可以写成求和的形式，假设离散化后的只在和两点非零，这个时候的波包在空间相当于是非常窄的方波。一阶近似下，波包可以写作： 该波包是一个高频单频振荡被低频调制的波形，很明显，上式的两个乘机因子都是行波，波速分别是和。波形就是上面构造的波包的包络，但是注意这个和开始定义的波包有区别，那就是在整个空间有无数个同样的包络，这是因为上述波包仅仅是由两个空间靠的很近的平面波叠加起来的，而要得到真正的波包，应该有很多个平面波进行叠加。给定关系之后，从上面的分析可看出波包的群速度可以定义为。这样的定义看起来很唐突，因为前面构造的波包并不是真正的波包，真正的波包是很多不同幅度的平面波叠加，对于后者，如何能够提取波包的行波表达式？事实上，在构造波包的时候，可以假设只在某个附近非零，那么可以将包络写成很多个函数的叠加，每个函数给出了近似相同的行波表达式。自然地，这些叠加起来的包络也是近似的行波形式，具有和每个函数近似相同的群速度表达式，就是。这个分析很informal，但是想象不出其它的比较直观的方法。 前面提到的就是通常所说的色散关系，它可以通过将平面波ansatz代入到波动方程得到，比如对于自由粒子的Schrodinger方程，色散关系是。真空中的光子的色散关系是，是光速。其实这个应该叫做无色散的色散关系，因为光子的群速度是常数，不依赖于能量。推而广之，线性色散关系应该都是无色散的。色散的一个直观理解就是，有色散的波包在传播过程中波包会变形（总是变得越来越弥散，因为每个叠加分量具有不同的速度），而无色散的波包在传播过程中波包是不会变形的，总可以写作行波解的形式，不管叠加多少平面波。 在固体中，晶格周期场中运动的电子波函数的本征解是Bloch波函数，即被某个和晶格具有相同周期性的函数调制的平面波，这和常系数的波动方程的平面波解是不同的，但是这不影响我们用平面波去构造固体中的电子波包。 有几个问题目前没有思考清楚： 1）如何证明群速度总是不超过光速，是要对每个物理上用的方程如Schrodinger方程，Dirac方程，Maxwell方程等分别证明么？ 2）波包体现了波粒二象性，满足不确定原理，对于光子来说什么时候用波包描述比较合适？ Labels: Physics Posted by Jiuning at 11:30 PM Reactions: 3 comments: Yaohua Tan said... This post has been removed by the author. April 4, 2009 8:43 PM Yaohua Tan said... This post has been removed by the author. April 4, 2009 8:57 PM Yaohua Tan said... 波包就是一个k和w局域在0附近的信号（波包的包络）受到另一个具有k0和w0的单色信号调制（直接相乘）的结果。频域上看，波包的频谱是包络的频谱直接被原样搬到了k0和w0处。而群速度就是包络的速度，你把波包从k0和w0直接搬回0处就得到了包络，包络的相速度近乎可以认为是恒定的。而包络的相速度怎么求，就是你先把波包的频率分量k和w搬到0附近，数学上即是k-k0和w-w0,然后他们之比就是包络的相速度。 实际上群速度不一定总小于光速。在有色散的介质中，介电常数通常随频率的变化会有时为正有时为负，当它从正变到负的时候，这对应着介质中某些极化机制的谐振频率，或者说这时介质对电磁波有很强的吸收作用。这时群速度有可能大于光速。 而对于低频，群速度通常小于光速，这是由于介质的介电函数具有因果性（介电函数实际上是介质中的冲击响应的对时间的Fourier变换）。因为存在极化，低频时介质的折射率n常>1，由于介电函数得满足（KKR），所以低频时n关于频率w的倒数大于0，这两条可以导出群速度小于光速。详见J D Jackson第七章后面几小节。 April 4, 2009 8:58 PM Post a Comment Links to this post Create a Link Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom) Welcome to Jiuning's Blog The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much too complicated to be soluble. -- P.A.M. Dirac (1929) More is different. -- P. W. Anderson (1972) Solid-state physics is dirty physics. -- W. Pauli Topic Labels Fun (4) Life (1) NetResource (3) Physics (10) Research (2) ZZ (14) Blog Archive ▼ 2009 (26) 9658; December (2) Paul A．Samuelson Bio (zz) Wick's Theorem 9658; November (2) Notes on studying GROUP THEORY IN PHYSICS VOL I by... Time reversal of angular momentum 9658; October (2) test Autumnnnnnnnnnnn 9658; September (3) Intrinsic spin Hall effect from Rashba spin-orbit ... “革命时期”的浪漫 Iphone internet tethering!!!! 9658; August (1) 数码时代旅游摄影快速指南 -杨飞（ZZ） ▼ April (4) 我们小小的世界 (ZZ) 鼠目寸光――关于“时间是什么” (ZZ) 为纯科学呼吁 (A plea for pure science) (ZZ) 波包 9658; March (2) Awesome periodic table in blogger! 9658; February (9) Making iPhone ringtone 王菲89-03全部大碟 （zz） Gauge invariance Nice online quantum mechanics for engineers Cambridge Teaching and Learning Packets Raman Spectroscopy (ZZ) Kelvin (4-wire) resistance measurement (ZZ) Layman description of calculation with phonons (ZZ... 让大家温习一下老乔 (zz) 9658; January (1) HOW to BECOME a GOOD THEORETICAL PHYSICIST 9658; 2008 (7) 9658; December (5) Lagrange multipliers 庆阳小吃(zz) Physical concepts 量子点中的自旋极化流 Words of advice about giving talks (zz from nanosc... 9658; November (1) 常用NBA术语 (zz) 9658; September (1) 新口误集zz A Blog List Link List http://newsmth.org http://purdue.edu http://arxiv.org Install LaTeX? About Me Jiuning View my complete profile