麻省理工学院 李亚普诺夫方法

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麻省理工学院
电气工程与计算机科学系
6.241：动态系统－2003年秋
复习 6
李亚普诺夫方法
在这一小节中我们将回顾稳定性的概念，并使用李亚普诺夫直接法、间接法对系统平衡点附近的稳定性进行分析。接下来我们将提供一系列的例子。
稳定性的定义
考虑一个自由（时不变）非线性系统，该系统可以描述为()(())xtfxt8226;=。这个系统的一个平衡点就是方程的一个根。因为任意一个平衡点()0fx8722;=x8722;不在原点的系统都可以很方便的转化为一个平衡点在原点的相似系统（例如，令zxx8722;=8722;），所以在定义中，我们假定所讨论的系统的平衡点在原点。
如果对于任意给定的0ε>，都存在0δ>，使得若0()xtδ0α>，使得若0()xtα 李亚普诺夫直接法
总体说来，证明一个形如()(())xtfxt8226;=的非线性系统在原点附近的全局渐近稳定性是一个非常困难的工作，其难度相当于在任一初始条件0()xt下求解()xt的封闭解的表达式。对于线性时不变系统（()()()xtAxtBut8226;=+），我们得到封闭解表达式，即：
00()()()0()()tAttAtBudtxtexteτττ8722;8722;=+∫ （1） 1
对于任意矩阵A（不论是否可以对角化），当且仅当A的特征向量全部位于左半开复平面1，线性系统xAx8226;=在原点附近是渐近稳定的。这是由()xt表达式中的衰减指数项决定的。另一方面，如果系统至少有一个特征值在右半开平面内，这个系统就是（在李亚普诺夫意义下是不稳定的）不稳定的。当A有特征值落在虚轴上时，系统是否稳定取决于这些特征值的几何和代数多样性。（请见讲义138页）。
为分析一个一般非线性系统的稳定性，我们可以小心的选择一个状态变量的标量函数V（x），然后观察V（x）随状态变量的变化。
李亚普诺夫函数 令V是一个从nR空间到R空间的连续映射，如果函数满足以下条件：
1．V（0）＝0
2．对某个来说，在1r10xr0
那么称V（x）在x＝0附近为局部正定（lpd）函数。如果V是可微的、局部正定的函数，同时V的微分V沿着系统的状态轨迹是局部负半定的（对某个8226;来说，在 上，有），那么V就是李亚普诺夫函数。
李亚普诺夫的局部稳定性理论：如果系统()(())xtfxt8226;=存在一个李亚普诺夫函数，那么x＝0是李亚普诺夫意义下的一个稳定平衡点i.s.L.。另外，如果对某r值，系统还满足，0 如果在整个状态空间上，存在函数V(x)是正定的，同时V8226;(x)是负定的，那么可以得出其在原点处全局渐近稳定（G.A.S）的特性。另外，V一定是无界的，即当||x||→∞时，V(x)→∞。该问题的证明，请参考文献[1]的109-111页。
李亚普诺夫间接法
对于一个非线性系统，我们不用去寻找一个可以直接应用的李亚普诺夫函数，而是将系统在原点附近线性化，再在此“线性系统”上利用二次型李亚普诺夫函数得出原点处的局部稳定性。更特别的，如果这个线性化后的系统的A矩阵有特征值在左半开平面，那么原非线性系统就是局部渐近稳定的（L.A.S.）。另外可以得出，一个非线性系统李亚普诺夫函数是二次型的，也就是，V(x) = Px，其中P>0，求解以下的李亚普诺夫方程：Ax′T P + P A = －Q ，其中Q>0，且Q为任意的正定矩阵。具体参见讲义第14章。
例子
例1：在本例中，我们将利用李亚普诺夫直接法证明平衡点处的全局稳定性。 2
首先，注意在该系统中，原点是唯一的平衡点。另外，将该系统在原点线性化，得到了线性化后系统的动态特性方程，
可以得出线性化后系统的特征值为－0.5±j3。因此，通过李亚普诺夫间接法，我们推出在原点处系统是局部渐近稳定性。为了进一步得出原点附近稳定性区域的大小，我们用李亚普诺夫直接法来做。
考虑形如的一个候选的李亚普诺夫函数，其中a和b为待定的正变量。显然，在整个状态矢量空间是正定且无上界。现在，我们来看是否负定： 21axbx+V(x)V(x)V(x)1048581;
如果我们取a = b = 1/2，那么对任意x0≠，。由此得出，该系统是全局渐近稳定的（G.A.S）。
例2：在这个例子中，我们将得出原点的局部渐近稳定性。在有多个平衡点的系统中，我们不能得出原点是全局渐近稳定的结论。但是，应用李亚普诺夫直接法，我们可以找到系统状态轨迹收敛于原点的初始条件集（这个球体称为吸引域）。
考虑由下面的差分方程描述的自治（时不变）系统：
该系统由无穷个平衡点：一个为原点，其余在单位圆上。由于此系统具有多个平衡点，所以每个平衡点都不具有全局渐近稳定性；另外，由于单位圆上的平衡点都互不独立，所以单位圆上的平衡点都不具有局部渐近稳定性。我们希望检查原点处的平衡状态。将系统关于原点线性化，得出线性化后的系统的特征值为－1±j，因此，由间接法得出，原点处具有局部渐近稳定性。
再应用直接法，我们可以求出在原点收敛的系统应满足的初始条件。假设函数，对所有的21V(x)axbx=+和（在中）是正定的，其中a，b > 0。可得 3
注意，当时，。如果取b=a=1/2，则在单位开圆域中，对于任意非零数x，有2||x||1,x0 例3：在这个例题中，我们将看到，某些情况下李亚普诺夫函数很难求得。甚至不存在李亚普诺夫函数，但并不表示该系统就是不稳定的。对此“逆命题”（关于李亚普诺夫函数的存在条件），具体可参看[1]。
分析下面系统在原点处的稳定性：
该系统只在原点处有一个平衡点。将其在原点处线性化，得到系统有重特征值－1，因此可知原点至少是局部渐近稳定的。为了进一步研究原点处的稳定性（即它的吸引域），我们尝试利用李亚普诺夫函数。特别的，在时，对任意非零的a和b，不满足负定（注意，只有当a，b>0时，才满足正定）。 21V(x)axbx=+22112V(x)2ax2axx2bx=8722;+8722;1048581;V(x)1048581;V(x)
我们或者可以找另外一个李亚普诺夫函数，但并非易事。换句话说，在这种条件下，由于x2与x1之间没有任何关联，所以可以找到封闭形式的解。特别的，
则 项可以看作输入函数，由方程1可以求得线性差分方程xu(t)1的封闭解为，
由此可得， 4
在任意初始条件和下，当。因此，该系统是全局渐近稳定的。 1x(0)2x(0)12t,x(t)0,x(t)→∞→→时且
例4：在这次复习中，我们主要讨论了连续时间系统，而李亚普诺夫方法经过微小改动还可应用于离散时间系统。特别的，在离散时间情况下，平衡点x(k+1)=f(x(k))x是使得f(x)=x的点，并且定义为V(x)=V(f(x))。 V
1048581;V(x)1048581;－
考虑下面系统（见讲义例13.7）
该系统在原点处有一个平衡点。令21V(x)xx=+，显然正定。此时，估算的值， V(x)V(x(k))1048581;
由此可得，该平衡点是稳定的（i.s.L）。
参考文献：
[1] Khalil ,H. K .”Nonlinear Systems ,” Prentice Hall :1996
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