电磁场的格林函数 理想导体也只是一种假定，它对于像微波或更长波长的电磁波是比较合理的，而对于像光那样的短波长则没有实际的意义

2.2.3 保守场和电磁波的物理内涵

2.2.1 保守场和电磁波的物理内涵
电磁场只能是由保守场和电磁波的场这两部分所组成，这不仅从经典电磁学到麦克斯韦理论再到赫兹的麦克斯韦方程组的所有的发展过程中可以清楚地看到：没有旋度运算的引入，就不可能产生电磁场理论的基本理念，实际上是电场的旋度等于磁场的时间微分和磁场的旋度等于电场的时间微分，这两个基本的关系式才有可能产生电磁波的概念；而电子本身只能产生与牛顿粒子类似的由高斯方程所决定的、无旋(或保守)的场。这一点从数学逻辑的自洽性也可以严格的证明，但是这些关于数学的系统的分析将不在这里进行，这里只给出我们以前的书中严格论证过的那些数学结论和一些以后会给出的数学结论。在《现代电磁场理论的数学基础——矢量偏微分算子》一书中详细讨论了矢量偏微分方程的基本的数学问题，指出了这些矢量偏微分方程，实际上不可能直接来进行分析或数值计算，只有分解为三个独立的标量函数的偏微分方程组以后，才能够进行求解。在一个理想导体边界的封闭系统内，只能分解为旋量场和无旋场这样两个子空间，才能进行逻辑自洽的数学求解，而不能在欧氏空间的射影下分解为独立的三个标量空间，再来进行求解，也就是方程(12)和(13)，在数学上同样是逻辑自洽性的，因为它和所有的现代物理学的规范场论一样，实际上把高斯方程的保守场变换成了电磁波的场。但是用理想边界条件下的电磁场理论的讨论无旋场和旋量场的数学逻辑关系，有一个不足之处，那就是理想导体也只是一种假定，它对于像微波或更长波长的电磁波是比较合理的，而对于像光那样的短波长则没有实际的意义。所以更重要的是要搞清楚无限大边界下的电磁场理论问题，这就是量子力学中所谈到的那些电子和电磁波的相互作用问题。那个问题的性质实际上是一样的，但是我们必须在无限大的域内来分析与方程(11)、(12)和(13)的数学逻辑问题。这样就不能用封闭域上的齐次边界条件，而必须研究无限大边界条件下的电磁场方程组的数理逻辑问题，我们将在以后来讨论这个问题，但是这里可以说明，其结论是一样的：把电磁场的方程式表示程式(11)或(12)的形式，则没有数学逻辑自洽的解，而只有方程(10)和(11)的形式才有逻辑自洽的界。从数学上来讨论这一问题就必须用无限大域上广义函数的理论，这是20世纪后期才发展起来的数学理论，物理学界、特别是理论物理学界并不熟悉那样数学，他们只习惯于人为假设的、没有逻辑的四维时空下的“物理数学”。我们以前书上讨论的问题对无限大域下的问题，也没有完全说清楚，数学上的问题需要在以后在集中在一起讨论，这里只从物理概念上进行进一步的讨论。
在无限大空间上像式(11)或(12)那样的方程要有自洽的逻辑解，必须研究无限大边界上电磁波解的明确性的边界条件，没有合理边界条件下的解，就没有物理实在上的合理性。这就是现代物理上的“物理数学”家们所研究的工作；一个波动方程组在无限大域下有合理的解，就必须满足一定的边界条件，这就是关于无限大的数学逻辑的问题，可惜到现在这样问题的研究还没有成为数学和物理学界的共同研究的主流方向。现在在现代物理学和数学家们研究的一个热门的主流方向是浑沌理论，浑沌理论就是没有无限大边界约束的非齐次波动方程的问题，从那里可以得到“南美洲的一个蝴蝶煽动一下翅膀，可能在欧洲引起一场大风暴”的结论。而电磁场的物理实在要我们给电磁波的问题以一个无限大的边界约束条件，使得那样的问题不致发生。当然我不是说，浑沌理论的研究不是科学的，作为数学理论研究当然也是有意义的，它是一种探索，可以使我们更好的理解无限大这样一个复杂理念的性质，发现在无限大域上，在什么样的条件下可以得到具有明确性的结果，而什么情况下又得不到明确性的结果。数学有时候可以研究没有物理实在约束的问题，最为一种思维发展和工具的探索；对于物理学家来说，应该有一个物理实在的约束，应该不会把“内美洲一只蝴蝶煽动一下翅膀，会引起欧洲某地的一场“暴风雪”当作一种物理科学的发现。非线性偏微分方程组在物理上常常只有在有限域上才有合理的关系，或者要在某种约束下才会在无限大域上有意义。而电磁场理论作为一种物理实在，要在无限大域上进行分析的时候就必须给出一个无限大的边界约束。在第二卷中我们已粗略地讨论了这样的问题。
某些现代物理学家，不懂得或不愿意懂得逻辑上自洽的必要性。一个逻辑自洽的理论，是不容易建立的，而且一旦建立起来，一般人也就能够明白了。那样一来，也就显不出那些天才们比一般人所具有的不同的先天性的超凡的能力了。电磁场理论对于无限大域上的电磁波的问题，必须给出一定的无限大的边界条件。我们不能讨论那些会导致发散的解，我们也无法再接受更多的人为假定来消除那些发散解。一个发散的解，就是一个逻辑悖论的结果，而所加的新的人为假定，就是为了消除这个逻辑悖论而加的另一种形式的逻辑悖论。为了打破牛顿理论的逻辑体系的封闭性，在一定条件下我们不得不容纳一下，像相对论和量子理论那样的逻辑悖论，也可以容纳一下像19世纪数学家所作的“实数空间”、和希尔拜特的桌子、板凳、啤酒瓶，那样的集合体系，那些逻辑悖论只能在人类思维中为了探索而暂时地存在。紧接着的工作必须是否定那些所有的由“天才人物”所作出的人为假定，沿着它走下去就不再是合理的探索，而成了违背科学的荒谬，我们尊重20世纪初期的那些科学大师们的探索，而鄙视所有像霍金、欧文·拉茨格那样的，一直沿着逻辑悖论奋勇前进的现代物理学家和现代哲学家，它们是造成当今世界的没有逻辑的混乱的种种社会乱象的根源！虽然必须回到与物理实在有合理关系的理念上来，这就是要求对于无限大域上的物质运动规律，给出必要的明确性的边界条件。这个边界条件必须分为两类：
一类是绝对可积的经典数学的条件，它具有标量性，或一维性，那在物理上就是保守性或时空的分离性。从经典数学出发，一个存在于无限大域上的物质，一定要绝对可积的。即其绝对值的无限大积分必须明确存在。也就是说，这样的“物质”从理念上可以看成是全空间分布的，但是实际上它的总量是有限的(确定的)。引力场就是一个例子，引力场是一种能量，它是实体物质粒子所携带的在全空间分布的能量，但是这种能量必须有一个有限的、确定的值。这就是要满足绝对可积的条件，为什么一定要绝对可积呢？因为像能量那样的物理量一般都是和另一个更基本的物理量(场量)的平方联系在一起的，绝对可积实际上就是平方可积。这样就形成了经典傅立叶积分的一套数学理论。但是在电磁场理论中光有无限大域上的经典函数还不够，因为除了保守力以外还有非保守的力。保守的力(场)是以存在于无限大域上的经典函数的形式出现的，也就是说是以没有时间的偏微分项的高斯方程的形式出现的。一个牛顿粒子(或一个电性的粒子)总有这样的两个联系在一起的性质：一是它有一个确定的空间位置，还有一个确定的代表其和其它粒子作用的量(质量或电荷量)。这就是我们在上一章中所讨论过的牛顿的“质量”实际上必须有“位置”和“大孝”两个明确性量，才能够得到明确性的界定。我们不可能把一个确定的量放在一个没有大小的位置上，物理学家可以采用那样的“概念”，这就是狄拉克的函数的概念。而数学家不会满足于采用这样的概念，因为它无法保证数学演绎的明确性。我也说不清楚，真实的物质世界到底是什么样的，但是我们能够理解如何把牛顿的理想化的物质模型：物质是存在于一个没有大小的点上、有一个确定的质量(或电量)、物质之间由于质量成正比与距离平方成反比的作用力，与一个数学模型联系在一起的人类思维的发展过程：那就是先有了狄拉克的 函数的模型；把狄拉克， 函数的粒子模型和拉普拉斯方程的数学形式联系在一起，就建立了牛顿的经典数学理论与牛顿物质结构下的运动规律之间的合理关系。我们可以通过拉格朗日的方法把狄拉克的 函数作为非齐次项的拉普拉斯方程式的格林函数解，与牛顿的物质模型合理地联系在一起。直观地说：一个牛顿粒子或带电粒子可以用这样的模型来表示：它的“场”的分布是按激励项为狄拉克函数的非齐次拉普拉斯方程所表达的数学形式来表示的，这个场还不是直接与力相联系的“力场”而是，它既不直接代表力，也不直接代表某种能量，但是从它可以得到力和位能。从它得到力，一般的理工科大学生都清楚：就是；而对于和位能的关系直到现在“物理学家(或天文学家)”都还没有完全搞清楚，我看过一本《大众百科》的书上就搞错了，在那里直接把和位能联系在一起了。实际上把与位能直接联系在一起只有在把地球看作无限大的球时才是对的，对于两个真实球体之间的相互作用时，就不对了。直到现在人们都说在牛顿理论中动能和位能是守恒的，但是怎么守恒还是说不清楚，只有在假定地球为无限大球时才能够说清楚。这种说清楚对于在地面上大学的实验室里所做的实验来说是可以认为合理了，而对于天文学家来说就不够了。
为了简单起见我们可以以两个相同的牛顿粒子为例作直观的说明：当两个粒子离开某个足够距离如2r时，我们认为他们的“位能”定为零，实际上每个粒子都有自己的“位能”。每个粒子的位能可以通过半径为r的球上的电场的平方的积分来表示，由于保守场的绝对可积性，这个“位能”的极限存在。这两个粒子的位能是相等的，两个球相接的点上力是相互抵消的。实际上由于这两个球的能量积分已经看作为全空间的能量积分的极限和这个切点相垂直的整个平面都可以看作是作用力为零的“边界”面。当两个粒子相对运动时，我们认为两个粒子还是处于那个面的对称位置上，这个面上的与两个粒子的连线相交的点上力总是等于零。要计算每个粒子的“场能”也不难，因为实际上每个粒子的还是没有变，只是求被那个面切掉了相交的部分，在这部分的力场被抵消了。从那个被抵消了的力场，可以计算出每个粒子的场能的减少，这个减少的场能就变成了每个粒子的动能。物理学家把无限远的地方定位无能为零，这样运动过程中位能总是比零小，所以电子能级总是负的。力学中一般研究接近地面的物体的自由落体运动，把地面定位位能为零，而离地面越高位能越大，实质是一样的。
这里要说的一般物理书或天文学上常常说错的几件事：一、常常看到把位函数和拉普拉斯方程的解相混淆了，这个函数，只有在平面上才能直接与位能相联系，只要考虑球体大小，两者就完全不同了。二、对于这个边界的表示，有些书上写作=0，以为因为没有力了所以和无限远的位置的力的情况相同，所以“位”为零了。实际上并不是没有力了，只是在一个中心点上力等于零了，其它位置上只是垂直方向的力被抵消了，切向的力是抵消不了的。所以这个引力范围的边界只能用来表示。当两个球体不一样大小时，边界条件的形式是一致的，但是边界的形状从一个平面变成了旋转抛物面，三、是从这里也许可以得到牛顿理论下能量守恒的最严格的数学形式。但是这种计算实际上还是很复杂的。我们这样来说明保守场的粗略的概念，是想说明保守场的相互作用实际上就是两个实物的场接触过程中由于力的抵消，而造成的场能转换成实物运动的过程，这里确实可以存在既不需要爱因斯坦所说的必须是有限的传播速度，因为它实际上与质心间的距离并没有关系。也不存在牛顿所说的通过虚空来传递力的正常人无法接受的理念的问题。因为保守力的相互作用同样是场与场的接触产生的作用。这种场是与场的“无限小的中心”(质心)的位置一起运动的，自然不存在两个粒子间需要以一定速度传递的问题。
狄拉克的物质粒子的函数的模型，到电磁波就不适用了，因为狄拉克的函数还缺少明确性，不同的边界条件实际上有不同的函数的确定的形式。这就是我们在《并矢格林函数和电磁场的算子理论》中所主要讨论的问题。在出现电磁波的物理形式以后，对于电磁波存在不同于保守场的边界条件，不同的边界条件就会出现不同的函数的形式。这就是广义函数中所讨论的主要问题。
经典场论中所用洛伦茨规范，实际上就是把高斯方程和库仑场给取消了，这一点爱因斯坦是反对的，但是不知不觉中他又那样做了。用爱因斯坦的话来说电磁波是一种能量子，一种不同于牛顿粒子和带电粒子的物质存在形式，它充满所有空间，在任何一个空间点上不可能测量到确定的值，除非对无限大时间内的测量取平均。所以对于这种物质我们必须建立不同于实体物质的逻辑基元。能量或力，与实体物质和运动是需要不同的逻辑基元、逻辑前提和不同的数学演绎方法才能够描述的。现代物理中用质量等于零的“粒子”，是没有意义的，或者说是没有明确性的界定。实体物质是以没有大小的点上的某个确定的“量”来界定的，没有了质量，就是什么也没有定义，那就不可能给我们描述物质世界提供有确定意义的手段。
经典电磁场理论给人们一个错误的概念就是把电磁波和电荷的运动机械地联系在一起，它所造成的最大的影响就是认为作圆周运动的电子就一定会发射电磁波，这个概念在几乎所有的经典电动力学的书中都存在，而且还要学生去计算这种辐射场。实际上电磁波与电子运动是两种不同运动形式的不同概念，不能从一种物质运动形式直接产生另一种物质运动的确定的形式。电磁波只能在电磁波与运动着的带电粒子之间的相互作用过程中才能够进行波与实体物质之间的能量交换，把保守的场的能量变换为“波”形式的辐射能量或把辐射波的能量变换成保守场的能量。这种能量交换的过程类似于保守场之间的相合作用过程中的位能和动能的变换，所差别的只是，保守场的问题是属于牛顿物理框架下的问题，场附着于粒子，场之间的相互作用就成了粒子间相互作用的一种等价的形式，保守场的能量在那种保守的相互作用下都没有离开粒子，两个粒子间的位置的改变，就造成了场能的减少或增加，这些能量就转换为粒子的动能。牛顿力学的质量和能量永远在这样的意义上守恒。电磁波与带电粒子的相互作用是波与粒子间的相互作用，波是向全空间传播的。这种相互作用可以是粒子给波以能量，也可以是波给粒子以能量，但是这一转换中，波是传播的，一个体系中的粒子的能量通过波的传播，可以到达很远的地方而再转换成那个远方系统中的粒子的能量。到现在我们还无法得到粒子的质量和能量能够相互转换的确实的实验证据和转换的逻辑形式，所有相对论和量子理论的结论都不过时当时历史条件下的一种猜想。

　


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电磁场的格林函数　　Green’s function of electromagnetic field


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diancichang de Gelin hanshu
电磁场的格林函数(卷名：电子学与计算机)
Green’s function of electromagnetic field

　　在线性媒质中，任意分布的简谐(或稳恒)源所激励的场，都可以化为单位点源所激励的场的线性组合。在确定的媒质和边界条件下，单位点源所激励的场矢量或势函数就称为该条件下场或势的格林函数。它们是场点位置矢径r和源点位置矢径r′的函数。电磁场边值问题的解可以表示成源函数与格林函数乘积的积分。
　　标量格林函数 　在均匀无界媒质中，自由电荷密度ρ 所产生的标势φ在洛伦兹规范下满足方程
　　 (1)

式中k2=ω2εμ，该标势的格林函数G(r，r′)应满足方程
　　 (2)

式中2对r点的坐标作运算，δ(r －r′)是集中作用在r′点的狄拉克δ-函数。此方程的解是
　　(3)

由此可得标势的解是下列对r′的坐标的积分
　　(4)


　　当媒质为分区均匀时，在分界面上G 应满足与φ相同的连续性条件。设G＝G0+G1，其中G1表示分界面的影响，且在r →r′时应为有限值。例如在理想导体平表面S的上半空间中的格林函数为
　　　　(5)

式中第一项即为G0，第二项表示导体表面的影响，r媴是r′关于平表面的镜象点。
　　如果均匀媒质空间V被闭曲面S0所包围，应用格林第二公式，并利用格林函数的对称性 G(r′，r)＝G(r，r′)，可得
　(6)

为了消除面积分中的未知项，应当根据φ 的已知边界条件来规定G 的边界条件，具体来说，当已知φ 或或的边界值时，应相应地规定


例如，V是无限大平面S的上半空间，已知V内的源分布ρ和S上的φ 值，利用格林函数（5）式并注意到以及对于S上的源点ri=r，有
和

于是
　　　(7)


　　并矢格林函数 　以上的讨论也适合场或矢势的各直角坐标分量。对于矢量源函数，通常将r′点的源矢量分解为三个正交分量，分别求出在r点的场或势。于是对于电场和磁场矢量，共有 6个矢量格林函数，采用并矢记法，则可合并为两个并矢格林函数。
　　设在r′点放置的电流源J， 它的三个分别沿正交单位矢量e媴(i=1，2，3)的电偶极矩为
　(8)

则体积V中的电流源J(r′)所产生的电场为
　 (9)

记电场和磁场的电并矢格林函数分别是
　　 (10)

则(9)式可写成并矢的形式
　　　 (11)


　　一般情况下，沿 e媴 方向的电偶极矩所产生的电场Ee(e媴)应满足方程
　　(12)

对应有电并矢格林函数的方程
　 (13)

和关系式
　　(14)

在无界均匀媒质中
　　　(15)

对应有电并矢格林函数
　　　(16)

式中是单位并矢，
　　当r →r′时，Ee为|r →r′|-3的量级，所以当J(r)厵0时，在数学上不收敛，应当取其主值。因此，一般应使 　(17)这里V0是包含r 点的某种形式的微体积；是一个并矢，V0→r表示V0全部的点趋近于r点。
　　同样，还可以规定另一对磁并矢格林函数和，它们对应了沿e媴方向的磁偶极矩所产生的电磁场Em（r，r′;ei）和Hm（r，r′;e媴），并有关系式
　　　 (18)

它们满足方程
　　　　(19)

和关系式
　　　　(20)


　　参考书目
　P.M.　Morse　 and　 H.　Feshback，Methods of　Theoretical　physics，McGraw-Hill，Inc.，New York，Kōgakusha Co.，Ltd.Tokyo，1953.
　C.　T.　Tai，Dyadic　 Green's　 Functions　 in　Electromagnetic Theory ，Intext Educational Pub.，Scranton，1971.
杨弃疾


[管理员12] |发布量: 2611|工作时间:0(小时) | Posted: 2006-06-02 20:55


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