牛顿的数学分析是对于时域的微积分，这种数学方法，或者在牛顿理论基础上扩大到空间域的偏微分方程理论

2.3.4 关于四维时空几何的讨论
广义相对论的探索为什么没有成功，从普遍意义上说，在没有足够的感性材料的情况下，从个人的直觉所进行的假设总是得不到合理的关系的，个人的假设只有在两种情况下才会是有意义的，一种是当出现了已有理论无法解释的物理实验现象时，为了解释它，就必须进行假设，不管有多少道理，有总比没有好，有了假设，才有可以演算的数学方程，也才可以与实验结论进行比较，不合理可以从新假设，总会找到一个最接近实验结果的假设，而这种最接近实际的假设或多或少能够反映一些物质运动的性质，通常都可以看成是一种感性材料。人类主要地就是这样积累起经验和知识的。另一种情况就是有了一些感性材料以后，人类试图去寻找普遍的，即逻辑自洽的规律，这样不仅能够近似地反映特定条件的物质运动的性质，以便推广到较普遍的情况。一般说来第二类假设成功的可能是极少的，尤其在新的感性材料刚出现的时候，所以哪怕是错误的，有了一个错误的理论作为批判的目标，对于人类思维的发展还会是有帮助的。当然这与为了维护个人或某些人群的特殊利益，而把错误的理论当成人们膜拜的偶像是完全不同的两回事。
所以我们不能仅仅批评相对论的结果的错误，而是要去找出错误的原因，当然相对论错误的根源是逻辑的错误，逻辑的错误也有具体的表述。这就是研究相对论和量子理论的必要性。从相对论来说，它的错误的根本原因在逻辑方程(13)与麦克斯韦方程式(6-9)存在逻辑矛盾，也就是说，从(13)式是根本不可能再推导出麦克斯韦方程组的。麦克斯韦方程组是来自实践的，这些方程组虽然存在数学上的逻辑不完善性，那是由于牛顿的数学理论体系的缺陷所造成的。牛顿理论体系不能满足既存在保守场形式的高斯方程，又存在波动方程的两种电磁场的存在方式。从数学方法的本质来说，牛顿的数学分析是对于时域的微积分，这种数学方法，或者在牛顿理论基础上扩大到空间域的偏微分方程理论，现在都称为经典分析。它只能够对一种自变量的形式系统来进行分析，而无法既对于时间又对于空间进行逻辑的分析。所以在哪些分析中都必须把其中一个形式系统变换成常数的形式。所有的几个点物理学理论中，用的都是这样的经典的分析方法。所谓初值问题就是把时间作为形式参量，物质在空间上的存在形式以局域分布的方法表示，最后总是要与某个“点”上的某个物质常数联系在一起。偏微分方程用到物理学上就是空间域上的分析，就要把物质在时间上的存在形式表示为“频域”上的局域分布，最后与频率“点”上的某个物质常数联系在一起。而不能同时处理时间与空间两类独立的形式体系的物质运动形式。
现代数学在某些方面存在着“约定式”的公理化的逻辑混乱，但是这种逻辑混乱主要是作为逻辑前提的“约定”与演绎结果的不自洽性。它所追求的逻辑演绎的自洽性还是有一定意义的，当然实际上一个逻辑悖论的前提一般情况下是得不到逻辑前提与理论结果的自洽性的，所以在现代数学的演绎中必定还要加上另外的约定，使这两次约定的结果得到的演绎的逻辑自洽性。这最清楚地表示在H空间的分析中，它先对元素集合作了非常泛的约定，甚至连桌子、板凳、啤酒瓶都可以作为集合的元素，这实际上给人哗众取宠的感觉，实际上没有人能在桌子、板凳、啤酒瓶的集合中分析出任何有用的思维规律来。但是它的下一个公理化的约定就苛刻得多了，特别是对于“范数”的约定，更使得那种分析方法有了在物理实在上应用的价值，当然在仅仅是初值问题和空间域的频域分析上，从现代分析方法得到的结果与经典分析并没有实质上的差别。但是在现代数学上毕竟把一个复杂的形式体系的带有空间域上的边界条件和时间域上的复杂的数学分析体系，变换成“像”和“愿像”的两个“H空间”之间的影射。它在“范数”的选择，子空间的各种性质的研究等都有比经典分析大得多的灵活性，这一点我们将在下一大节再作讨论。当然那里的讨论仍是针对一些很具体问题的讨论。总之我相信电磁场和信息工程技术中算子理论的大量的成功的应用说明了这样一种理论体系的价值和前景。当然当所有的约定都无法与物理实在找到合理关系的时候，那种纯数学也是不会有生命力的。现在大量的纯数学的研究，特别是以几百年以前的某些人的猜想为中心的研究，意义实在是有限的，数学最终必须与物理实在相联系，凡是找不搞与物理实在相联系的数学，最终也会走向逻辑混乱的道路。因为数学的原初理念归根结蒂也是来自能够与人人都能感受到的物理实在，没有一个人可以告诉人们是谁和怎样给出了人类以“数字”和“运算”的理念，这个最基本的理念是超越任何个人和国家、民族的，是全属于人类的，人人可以感受的，而又并不能与任何具体的事物结合在一起的，数学上的那些由天才人物所给出的“约定式”的逻辑前提，最后同样也要被一个一个的否定。
毕达哥拉斯的关于所有的实数都可以表示成份数的假说，19世纪数学家的用无理数和有理数把一条线填满的“实数空间”的假说或概念，还有高维的矢量函数空间来组成几何学的概念，最后都要被否定的。前面两个概念实际上已经没有什么意义了，因为所有的工程技术人员在数值计算中都知道要给出一个误差的限制来使计算的结果达到收敛。或者说得到了“极限值”，而只用自变量的分隔次数来结束计算的结果，一般说来并不能算是真正收敛的结果。也就是说这样的数值计算，不能说明分析意义上的收敛。这就是对于毕达哥拉斯的关于实数的假设或19世纪数学家关于实数空间的理论的否定。但是现在已经没有人再去靠研究哪样的问题来得到任何个人的利益了，这样的事也就过去了。就像现在再也没有人去研究“盖天说”，“地心说”一样。
那种不能反映物理实在的几何学，总有一天也会没有人去搞的，因为几何的意思就是物理空间，空间的性质中重要的一点就是旋转性，反映旋转性的运算就是叉积的运算和旋度运算，只有三维矢量空间上能够定义旋转的性质，那种约定式的叉积公式就失去了任何物理实在的意义。四维空间的一个根本问题也就在它的旋转性质上，时间没有几何空间中的基矢的性质，不可能定义任何一个空间的基矢与时间之间的叉积。一个形式参量体系中有两类不同的运算性质，整个形式参量的分析就不再有意义了。所以爱因斯坦的四维空间无论怎么分析也不可能得到与物理实在有合理关系的场的旋转性质，当然也不可能得到麦克斯韦方程组中电磁波的旋度的性质。麦克斯韦方程组本身也没有逻辑自洽的性质，那是另一个性质的问题，它本来就不是一个普遍的理论体系。场的旋转性在旋度方程中保持着，所以通过某些近似它就会得到场的那种性质。麦克斯韦方程组可以在不同问题中再加上特殊的假设，它的理论结果的生命力在于与实践的比较，它不完善，但是没有与实践完全相悖的，所以可以一步一步的发展。而现代物理学中只要把四维空间作为逻辑前提，再来谈什么对称性等等的几何性质就是自欺欺人。
但是退一步说，不把爱因斯坦的四维时空当作普遍的几何空间，而仍然是时间和空间的两类不同的形式参量，时间和空间的两种量的分离仍然可以像经典数学哪样方式进行，闵可夫斯基的四维空间接近了这样的模型，但是实际上仍然没有实际的用处，当然时间的逻辑性质的复杂性是一个方面。这个问题实际上现在还搞不清楚。我们这里要讨论的是，式(13)本身就没有物理实在性，也就是说，以这个方程出发，不论你怎么去解都不会得到合理的结果。首先我们按简振条件(这实际上接近于闵可夫斯基的四维时空)，把方程变换为单频下的对于空间的矢量拉普拉斯方程：




















(或=0)
我们先不管这里的A和J的物理内容，这个方程在数学上是没有逻辑解的。首先我们前面已经讨论过，在理想导体的比较条件下，要使这个方程有解，就是要获得一个对于相应的非齐次方程的本征解，这个本征解能够组成一个完备的正交系，以保证域内的任意满足边界条件的矢量函数都能够在本征函数系上展开为一个绝对收敛的级数。但是电磁场理论的实践已经证明这样的本征函数系并不存在，从上面的齐次方程在理想边界条件下的本征问题的数值计算中得到的本征值，在物理上就是谐振频率，但是在数值计算中所得到的本征值中，有相当一部分，在实验中测量不出相应的谐振频率。电磁场理论中把这些模式称为“伪模”，即实际上不存在的模式。
理想导体边界条件是一个假想的条件，实际上只能够接近它，而不能真正的获得它。所以为了说明矢量拉普拉斯算子的这个性质，我们必须讨论自由空间下的问题。在自由空间内来讨论这个方程组的解。在自由空间内，本征问题是一个连续谱下的本征函数系，所以无法用本征值的数值计算和谐振频率的测量的比较来证明。这就要讨论这个方程的边界条件，这就是一个无限大边界条件下的极限问题。虽然这个问题并没有在数学上得到完满的解决，在数学从60年代以后，已经开始研究了对于标量拉普拉斯算子的在无限大域上数学性质问题，这就是广义函数的研究。从广义函数理论的研究可以看到对于无限大域的问题可以有两类函数，一类是绝对可积的函数，这类函数就是满足经典数学中的傅立叶级数和积分条件的条件的，这类函数相当于

条件下的波动方程的解。它的边界条件成了一般的无限积分趋于一个常数的经典的边界条件。而当k2为一个任意的非零的常数时，这个方程的比较条件要用所谓的辐射边界条件来表示，这种辐射边界条件的物理内容是，虽然那个函数的无限积分是发散的，但是可以有一个边界条件使它的数学形式是明确的。这个问题是现在电磁场的工程技术中研究的一个主要问题，虽然由于物理学和数学的分离，我们还不能说这个问题已经得到公认的解决，但是已经一步一步地获得了理论和实践之间有越来越合理关系的结果。
这种对于单频的电磁波在自由空间激励的问题的辐射边界条件只能表示在一个二维的平面上，即使得已经包含了所有的稳定地激励电磁波的源的闭合平面上，电磁波的某一个表示流量的物理量，在整个闭合曲面上的是一个常数。这是一个人人可以接受的道理，一个稳定的源流出来的能量在每一个闭合曲面上应该是常数。从纯数学的明确性来说，不一定要这一点，它可以是以一定规律增长的，也是可以以一定规则衰减的。但是如果自由空间内在那个边界以外，再也没有能够提供波的能量的源，能流不断增长的波在物理上是没有道理的。波动方程中只要介质是一个无能量源的，即不存在

的条件，波在闭合曲面上的能流不断增长的状况是不存在的。但是闭合面上能流衰减一般说来是允许的，特别在

的条件下，场的能流必定是衰减的解，不仅是衰减的，而且衰减的速度使它成为一个平方可积的经典函数。
波动方程的那样的数学性质，我想很难通过上面的简单的描述使大家都搞清楚，以后还要在适当的场合作进一步的讨论。我们所要的结论就是，上式那样的三维的拉普拉斯算子的矢量波动方程给不出合理的无限大的辐射边界条件，辐射边界条件只能在二维的面上得到合理的表示。没有合理的辐射边界约束是广义相对论数学永远没有确定界的根本原因，这个数学上的问题也是使霍金得到宇宙大爆炸的数学结果的来源。
一个与物理实在能够保持合理关系的数学方程组只能是式(6-9)的由旋度和散度表示的方程组，最后还能够更简明地表示成式()的两个方程组，双旋度算子的波动方程和高斯方程。双旋度方程组表示的是电磁波的场，它在数学上是二维的，受二维的辐射边界条件的约束，这个场是辐射场，没有保守性，它和辐射源是可以分离的，和源的关系不是电流形式的激励源“J”产生了电磁波，而是它们之间的相互作用过程中使电磁波增长、不变或者衰减。激励源“J”中止以后电磁波依然存在，它只能被其它的相互作用的物质所吸收，而不会随着激励源的消失而消失。而高斯方程的解则是保守场，它与产生它的源是不可分割地结合在一起的，它也可以增加或减少，而它的增加或减少必然成为实体物质的动能的改变或成为物质结构变化中的为能贮存起来。
今天，广义相对论已经完全失去了对于人类思维的启发作用，现代物理学主要地只能阻碍自然科学的发展。到现在为止，我们已经可以从信息社会的工程技术科学发展中，看到建立新的时间与空间、质量与能量之间的逻辑自洽的理论体系的道路。由于在物质与波的相互作用和物质结构理论中的现代物理学僵化理论体系的束缚，尽管感性材料已经很多了，要真正寻找一个完整的理论体系还很困难。因为现代的时代毕竟与牛顿的时代不同了，靠一个人或少数人个人的能力是不够了。不论要获得更多的感性材料，还是进行复杂的理论计算没有社会的支持是难以搞成的。这就是所谓的民间科学家很难发挥主导作用的原因，他们大都只能停留在哲学的谈论上，而无法真正获得、理解那些最新自然科学发展的元素。但是他们比那些自以为是的现代物理主流派还是高明多了。