谐振子：振动频率由系统自身性质决定的振动

x7.2 简谐振动的运动学规律
x = Acos(!t + ')
一、简谐振动的几何表示
便于分析几种简谐振动的组合振动
3
1、x～t 曲线
4
2、旋转矢量法：与圆周运动相联
t = 0 时，矢量~A 与x 轴的夹角'，
以后，~A 以! 逆时针旋转，观察~A 投影点的
变化！
5
3、复数表示
x = Aei(!t+') 或x = A0ei!t
其实部具有实际意义
6
二、谐振子的能量
谐振子：振动频率由系统自身性质决定的振动
系统。
系统物理量x 的控制方程
Äx + !2x = 0
8
以弹簧谐振子机械能为例，其基本性质，也适
用于一般谐振子。
机械能E = Ek + Ep
!2 =
k
m
10
机械能E = Ek + Ep
!2 =
k
m
Ek =
1
2
mx_ 2 =
1
2
m!2A2 sin2(!t + ')
Ep =
1
2
kA2 cos2(!t + ')
=
1
2
m!2A2 cos2(!t + ')
11
E =
1
2
m!2A2 =
1
2
kA2
据此，还可由起始能量确定振幅。
Ek; Ep 变化频率
Ek =
1
4
m!2A2[1 ¡ cos 2(!t + ')]
Ep =
1
4
m!2A2[1 + cos 2(!t + ')]
13
Ek =
1
4
m!2A2[1 ¡ cos 2(!t + ')]
Ep =
1
4
m!2A2[1 + cos 2(!t + ')]
两者呈现同频率反相位
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一个周期（T =
2¼
!
）内Ek; Ep 的平均值
E¹k =
1
T Z T
0
Ekdt =
1
4
m!2A2 =
1
2
E
E¹p = E ¡ E¹k =
1
T Z T
0
Epdt =
1
2
E
16
三、简谐振动的合成
复杂振动可分解成若干简谐振动。
1、同方向、同频率的简谐振动的合成
x1 = A1 cos(!t + '1)
x2 = A2 cos(!t + '2)
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相位差¢' = (!t + '2) ¡ (!t + '1)
= '2 ¡ '1
同相¢' = §2k¼; k = 0; 1; 2¢
反相¢' = §(2k + 1)¼; k = 0; 1; 2¢
x2 比x1 相位超前： ' > 0
x2 比x1 相位滞后： ' 20
合振动
x = x1 + x2 = Acos(!t + ')
A = qA2
1 + A2
2 + 2A1A2 cos('2 ¡ '1)
tan ' =
A1 sin '1 + A2 sin '2
A1 cos '1 + A2 cos '2
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旋转矢量法
22
复数表示法
x = A1ei(!t+'1) + A2ei(!t+'2)
= z ¢ ei!t
z = A1ei'1 + A2ei'2
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2、同方向、不同频率的简谐振动的合成
（拍）
x1 = Acos(!1t + ')
x2 = Acos(!2t + ')
合振动不再是简谐振动
x = x1 + x2
= 2Acos(
!2 ¡ !1
2
t) cos(
!2 + !1
2
t + ')
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当!2 ¼ !1 时
j!2 ¡ !1j ¿
!2 + !1
2 ¼8<:> !2
!1
x = A(t) cos(
!2 + !1
2
t + ')
其中A(t) = 2Acos(
!2 ¡ !1
2
t)，随t 缓变;
cos(
!2 + !1
2
t + ') 随t 快变
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合振动可看作振幅缓变的简谐振动
拍：合振动忽强忽弱的现象
拍频：反映振幅的变化，只与振幅大小有关
!
拍
= j!2 ¡ !1j
29
旋转矢量法
30
3、垂直方向同频率简谐振动的合成
x = A1 cos(!t + '1)
x2 = A2 cos(!t + '2)
消去t 后
x2
A2
1
+
y2
A2
2 ¡
2xy
A1A2
cos¢' = sin2¢'
为椭圆轨道方程（包括圆、直线段）
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A1; A2 确定后，椭圆的性质（方位、长短
轴、左右旋）主要决定于¢' = '2 ¡ '1
形成圆、直线段的条件是什么？
33
4、垂直方向不同频率简谐振动的合成
两振动频率成整数比，运动仍是周期的，形成
闭合轨道，称为利萨如图形。
一般情况下，图形较复杂，难以用数学解析式
表达
x = A1 cos(!1t + '1)
y = A2 cos(!2t + '2)
35
x = A1 cos(!1t + '1)
y = A2 cos(!2t + '2)
36
x7.3 简谐振动的动力学
一、基本概念
1、机械振动：如单摆、弹簧振子；
非机械振动：如交流电路中电流、电压
37
2、保守系统：系统能量无耗散；
)无阻尼振动：能量无耗散，无外界能量补
充；
非保守系统：系统存在能量耗散
)(1)阻尼振动：存在能量耗散，但无能量补充；
(2)受迫振动：有能量耗散，也有能量补充；
(3)自激振动：有能量耗散，也有能量补充；
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二、保守力与振动
一维振动：振动量x 可以是线量、角量或其
它。
分析能形成振动的各种保守力F(x)，相应的
势能Ep(x)
F(x) = ¡
dEp
dx
41
F = knxn; kn为常数; n为整数
(1) n 为偶数，无振动（因是偏离力）
(2) n 为奇数：
n = 1; F = k1x8<:> k1 k1 > 0; 线性偏离力
43
(2) n 为奇数：
n = 1; F = k1x8<:> k1 k1 > 0; 线性偏离力
n = 3; F = k3x38<:> k3 k3 > 0; 非线性偏离力
其他类似。
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恢复保守力定性分析（x = 0 为平衡点）
F(x) =8>>>:
0
= 0; x = 0
> 0; x 保守力一般都是非线性的，但在平衡点附近小
范围内，一般可作线性近似。例
F(x) = ¡®x ¡ ¯x3; ® > 0; ¯ > 0
F(x) = ¡® sin x; ® > 0;¡
¼
2 · x ·
¼
2
46
三、势能与振动
设平衡点x = 0
F(x)¯¯x=0 = 0; Ep(0) = 0
F = ¡
dEp
dx
47
三、势能与振动
设平衡点x = 0
F(x)¯¯x=0 = 0; Ep(0) = 0
F = ¡
dEp
dx
T = 2 Z A右
¡A左
dx
v
= 2 Z A右
¡A左s m
2(E ¡ Ep(x))
dx
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