牛顿引力场是可积的，它存在一个势函数

正如在牛顿力学中，牛顿引力场是可积的，它存在一个势函数。 牛顿发现万有引力以后，人们已经习惯了把引力场和引力势函数相互对应了以来，但是，

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《相对论性黑洞》第三章

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共有3篇贴子 《相对论性黑洞》第三章
Maldacena
0位粉丝
1楼

第三章 流体力学杂谈

（1）
黑洞是广义相对论的结果，广义相对论是一门关于光线的几何学。因为光线实际上是时空中的矢量场的积分曲线，所以，广义相对论也是一门关于矢量分析的学问，只不过一般在大学里的矢量分析----就是那些经典场论的基础----一般都在三维平坦空间里进行，而广义相对论要处理的是四维的弯曲空间里的矢量分析。

那么，到底什么是矢量场呢？

比如空气的流动，它在空间中的每一点流动的速度都是不一样的，并且可能是随时间变化的，所以，空气的速度场就是一个矢量场。所以，这一章专门介绍一点流体力学，以起到一点伏笔的作用。

（2）

流体力学具有不同的境界，如果不考虑流体的粘性，也不考虑流体的可压缩性，那么，流体力学中最重要的方程是伯努利方程。这个方程说，在同一根流线上，速度的平方和2倍压强之和沿着流线是不变的。

这句话的意思是说， 速度的平方和2倍压强之和沿着流线求微分是不变的。
伯努利的这个守恒量非常重要，以后会发现，在广义相对论中，人们也很渴望类似的这种沿着矢量场不变的守恒量。因为在物理学中，如果你要列方程，必须是一个等式，只有守恒量才可以让你写出一个方程出来。

伯努利是一个数学家，他们有一个家族，都是搞数学的，所以，这个流体力学中的伯努利方程只不过是人家随便玩玩的结果，是非常简单的。1738年他出版了一生中最重要的著作《流体动力学》(Hydrodynamica)。所以他是研究流体力学的鼻祖了。


2009-7-20 17:36 回复

Maldacena
0位粉丝
2楼

（3）

伯努利的方程对于可以压缩的流体是不对的，因为伯努利方程本质上是能量定理，流体在被压缩的过程中，我们必须把能量定理扩展成为热力学第一定理，内能必要要被考虑。

可压缩的流体也是一个矢量场，不过因为它的体积可能随着流动越来越小，这就非常有意思了。

在广义相对论中，如果一个矢量场，它本来占据的空间很大，后来越走越小，这是引力在起到会聚的作用，这个时候，如果引力足够强，就可能把这个矢量场走着走着，走进了一个黑暗的区域，那就是黑洞区域。

所以，在广义相对论中，矢量场是可以被压缩的。

回到流体力学，空气如果通过一个风洞，这个风洞的截面积是变化的，那么在流动的过程中，空气有可能实现超音速--马赫数大于1。这个是设计风洞的人都需要知道的，有一个所谓的面积--马赫关系。也就是说，在不同的截面积是如何对应当地的空气速度的。

在广义相对论中，你也可以看到这样的“风洞” ，就是一个矢量场在行进过程中，它的“截面积”的变化。这大致上就是一个印度相对论学家瑞查德符里(Raychaudhuri)的方程。


（4）

所以，从前面已经大致可以看出来，流体力学和广义相对论是非常相似的，甚至有人就希望在空气中也能找到黑洞，这就是所谓的声学黑洞了。
其实，这还没有完，因为流体不但可能是可压缩的，还可能是有粘性的，这个时候，描述流体运动的方程是纳维--斯托克斯方程。这个方程则是公认的难，几乎是不可解的。这个方程的故事很长很长，连海森堡都在这上面干过，苏联大数学家柯尔默哥尔夫也干过……

正因为流体有粘性，所以空气中会出现很复杂很复杂的旋涡，这种旋涡的出现，使得速度场显然是万分复杂。

2009-7-20 17:37 回复

Maldacena
0位粉丝
3楼

简单地说，就是这样的速度场，作为一个矢量场，你无法找到它的势（potential）。

在广义相对论中，矢量场也可能很复杂，一般用一个张量来刻画它的复杂程度，叫做形变张量。在形变张量中，有一部分无迹反对称的，叫做扭转张量。这个张量对判定测地线汇是不是存在这样一个势（potential）非常重要。

在广义相对论中，一个矢量场的积分曲线如果是测地线，如果这个矢量场是正交于某一个超曲面的，那么这个矢量场对应的扭转张量是等于零的。

换句话说，这样的矢量场是可积的。-----正如在牛顿力学中，牛顿引力场是可积的，它存在一个势函数。

牛顿发现万有引力以后，人们已经习惯了把引力场和引力势函数相互对应了以来，但是，确实会存在这样的引力场，你写不出它的引力势函数。
正如有一个孩子，你找不到他的爸爸。

2009-7-20 17:37 回复
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