"原像单射满射双射" 北京大学高等代数讲义

第一学期第一次课
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
1.1.1 代数系统的概念
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 内任意两个数 、 （ 可以等于 ），必有 ，则称K为一个数域。
例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = { i | ∈Q}，其中i = 。
命题 任意数域K都包括有理数域Q。
证明 设 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 。于是
。
进而 Z ,
。
最后， Z ， ， 。这就证明了Q 。证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
定义(集合的交、并、差) 设 是集合， 与 的公共元素所组成的集合成为 与 的交集，记作 ；把 和B中的元素合并在一起组成的集合成为 与 的并集，记做 ；从集合 中去掉属于 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 与B的差集，记做 。
定义（集合的映射） 设 、 为集合。如果存在法则 ，使得 中任意元素 在法则 下对应 中唯一确定的元素（记做 ），则称 是 到 的一个映射，记为

如果 ，则 称为 在 下的像， 称为 在 下的原像。 的所有元素在 下的像构成的 的子集称为 在 下的像，记做 ，即 。
若 都有 则称 为单射。若 都存在 ，使得 ，则称 为满射。如果 既是单射又是满射，则称 为双射，或称一一对应。
1.1.4 求和号与求积号
1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
设给定某个数域 上 个数 ，我们使用如下记号：
,
.
当然也可以写成
,
.
2. 求和号的性质. 容易证明，



事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

分别先按行和列求和，再求总和即可。



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1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念. 定义(集合的交、并、差)： 设S是集合，A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集， ...
jpk.sicnu.edu.cn/admin/uploadppt/20089417374773499.ppt[DOC] （第一章§3）
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集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念. 定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在 ...
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集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念；求和号与求积号。 （第一章§2）. 高等代数基本定理及其等价命题；. 推论 数域上的两个次数小于m的多项 ...
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集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与SAB的公共元素所组成的集合成为与AB的交集，记作BA∩；把和B中的 ...
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