一个具有旋转对称性的体系一般是相对于角动量的方向，也即相对一个特殊分量的本征值是简并的

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楼主 发表于: 80天前
只看楼主 | 小 中 大 群论的一些基本概念理论物理的发展，出现了大量应用李群的趋向；对称性变换在描述物理现象中十分重要，从而促进了这一学科的发展。李代数和李群早期的主要应用是原子的壳层结构，其后又应用于原子核的壳层结构，尤其是近年来，在基本粒子领域里有着广泛的应用。知道一点李群和李代数，对于当前的物理工作者来说是有帮助的，这一点现在已经没有任何异议了。

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henryharry2

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1楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 动力学对称性对称性和一个体系的简并是相互关连的。例如一个具有旋转对称性的体系一般是相对于角动量的方向，也即相对一个特殊分量的本征值是简并的。超出旋转对称性中出现的简并还有出自不同根源的简并的可能性，当薛定谔方程可以用不止一种方式求解时，这种简并正是我们预想的，例如在不同的坐标系中求解，或者在能投影到不同方向的单一坐标系中求解。从现在的考虑，我们应该期望这些简并也是与某种对称性相关的。这些对称性不同于其它的对称性，因为它们的本性不是几何的，它们叫做动力学对称性，因为它们是特殊形式的薛定谔方程或特殊形式的经典力学的结果；实际上许多量子力学体系没有经典类似。

首先我们研究经典的开普勒问题，在相对坐标中哈密顿量H，经典问题的束缚解是椭圆。因为H不依赖于时间，总能量E是运动常数，并且因为H具有旋转对称性，轨道角动量L是一个运动常数；L明显地是一个垂直于轨道平面的轴矢量。H的旋转对称性意味着轨道处在通过引力中心M的某个平面内，但它不足以保证轨道是封闭的。势能项从牛顿形式的一个很小的偏离会引进椭圆长轴缓慢地进动，因此轨道不再是封闭的。这提示了牛顿引力势除了H和L以外还有某个量是运动常数，它可以用来固定长轴在轨道平面中的指向。这样一个矢量早就被知道了，并被称为龙格-楞次矢量。

SO(4)群的六个生成元构成了三个生成元由三维到四维的一个推广，相应的群可以表明为四维空间的特殊正交群或正规旋转群，也即SO(4)；它包括所有实的正交归一的4X4矩阵，其行列式等于+1；这显然不代表氢原子的几何对称性，因为第四分量是人为的，并不能等同于几何变量。为此原因，SO(4)被说成是描写了氢原子的动力学对称性。重要的是注意到SO(4)生成元是由限制于束缚态而得到的。对连续状态，E是正的而右方的符号是可变的。结果在此情况动力学对称群同构于一维时间和三维空间的洛伦兹变换群，即SO(3,1)群。

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henryharry2

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2楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 动力学态在经典物理中，一个给定体系的动力学态在每个瞬间都是有定义的，如果体系的各有关量的系集所取的值在那个瞬间是已知的话；这些数值原则上全部可以用无限的精度同时测定。经典理论的目的在于列举这些动力学变量，然后发现和研究它们的运动方程。在量子论中，动力学态同动力学变量之间的关系远没有这样直接。在对一个给定的动力学变量的测量过程中，这个被测量的体系的动力学态一般将因测量装置的干扰而受到修正。

按照通常的术语，一个量子体系的所有动力学变量并非都是彼此相容的。然而我们假设，总是能够把一定数目的其它变量加于体系的每个动力学变量上，从而组成相容变量的一个完全系；根据定义，这个完全系的所有变量都是彼此相容的，而且除了这些变量本身的函数以外，不存在其它可与它们中的各个变量相容的变量。

量子论的一般形式就基于一方面是动力学态同物理量之间，另一方面是矢量同算符之间的这种对应性。因此对仅仅相差一个相因子的两个矢量算得的统计分布是严格全同的。换句话说，对于各个动力学态，都有一个被确定差别一个相因子的矢量与之相对应。

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3楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 费米子和壳层结构与原子壳层和核壳层有关的状态和相互作用的群性质，在这些情况中，泡利不相容原理要起作用，因此用费米子的湮灭算子和产生算子进行研究是很合适的。简言之，首先由费米子的湮灭算符和产生算符来构造给定壳层的基态，然后再使用这些费米子算符来实现一个超群的生成元。这个超群能把壳层中的所有状态都包含在一个既约表示之中。由费米子算符构成的这个超群必然是紧致的，可把它的生成元组成适当的线性组合，来研究这个超群的子群结构。然后用这个超群及其子群来对与给定壳层相联系的本征函数的完全集合进行分类。

如果有必要的话，可以构造对称化本征函数，来作为壳层的基态的特殊线性组合。把有关的相互作用表示为费米子算符的线性组合，再把这样表示的相互作用，相对于对状态进行对称化的同一群表示，进行对称化。

状态和相互作用按同样群链对称化以后，就有可能完全利用维格纳-爱卡尔脱定理来计算对称化相互作用在对称化状态之间的矩阵元。这些矩阵元的选择定则可由维格纳耦合系统得到；而且我们常常可以应用维格纳-爱卡尔脱定理在矩阵元的不同集合之间建立起简单的联系。最后引进准旋以后，就有可能把对称化相互作用的矩阵元对粒子数的依赖关系，包含在单个耦合系统当中。

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4楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 正交变换旋转矩阵元不是互不相关的；因为基向量组成一个正交集。在n维空间中，旋转矩阵具有n平方个元；在二维空间中，留下一个自由参数，可取为旋转角。在三维空间中，有三个自由度，对应于用来描写刚体取向的三个欧拉角。正交性关系告诉我们怎样将一个正交基向量集用另一个转动了的正交基向量集表示出来。起初，我们是把向量作为三个有序数而引入的。

一个向量在一个坐标系中的分量，用该向量在另一个坐标系中的分量表示出来的法则告诉我们，如果我们把注意力固定在一个物理向量上，而使坐标系转动，则向量在被转动的坐标系中有不同数值的分量。由此我们认识到，一个向量比三个有序数广阔得多；确切地说，这是许多有序的三重数集合，这些集合又按一定的方式联系起来。虽然还是通过给出三个有序数来规定一个向量，但这三个数不同于随便三个数的组合，作为定义的一部分，还包括了在坐标系转动下的变换法则。这个法则指明，当坐标系改变时，所有向量如何改变。所以，一个物理向量可以用无限多个有序三重数表示出来。一个特定的三重数取决于观察者所在的坐标系取向。这点很重要，因为不管观察者的地位如何，也就是不管坐标系取向如何，物理结果必须相同。在一定的物理规律中方程式两边都包含向量就是这种情况。

由于正交变换是线性齐次的，由此得出，两向量之和还是向量。用坐标变换下的性质来考虑这些量的重要性在于，物理理论必须在坐标转动下不变。物理系统中的坐标轴的倾角，不就影响所得的物理结果。换言之，对不同坐标系中研究同一现象的观察者，所有物理结果必须一致。世界的存在，与坐标系倾角无关，而我们把这种空间各向同性引入我们的理论，其出发点是要求方程式中所有各项都是具有相同秩的张量：都是二秩张量，或者都是标量。

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5楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 笛卡儿张量许多物理上重要的量，既不是标量，也不是向量。我们此处涉及的仅是笛卡儿张量，它们是在一种特殊类型的坐标变换下，根据其变换性质而定义的，这种变换是正交变换；笛卡儿张量是在正交变换下，服从张量变换法则的量的集合。按照一般法则，张量是在任意的坐标变换下，服从某一变换规律的量的集合，这是一个更为严格的条件。

因此，取得笛卡儿张量的资格比张量容易些。任意张量都是笛卡儿张量，但是，笛卡儿张量并不一定是张量，因为虽然笛卡儿张量在特殊的正交变换下，服从适当的变换法则，但它可能在其它坐标变换下不再是这样。二秩张量的两个重要的特殊类型是，对称和反对称张量。

一个反对称二秩张量，其三个对角元必定为零。对于对称二秩张量，有六个独立分量：三个对角元，及三对相等的非对角元。转动惯量张量是一个张量，因为它是向量的乘积之和；事实上，它是一个对称张量；这意味着这个张量可以对角化，即可以找出惯性主轴和主惯性矩。了解四极矩对确定原子核的形状，并从而得到核力的信息，是有意义的。拉比及其同事指出，氘核具有不为零的四极矩，因此，它必须具有扁长椭球的形状，长度比宽度大50%，这暗示着，在中子和质子之间存在非中心核力这个很重要的事实。

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6楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 三维空间中的转矩我们必须把转动的数学公式、角动量原理、转矩等概念推广到三给空间中去。十分清楚，对于单个粒子的运动可以推导出这三个公式。而且，假如把许多粒子的诸如“xy平面”的角动量这样的量加在一起，并称之为总角动量，那么对于xy、yz、zx的三个平面，我们可以得到三类表达式。用同样的办法处理力，我们也可以得到在xy、yz、zx平面的转矩。因此，可以得出这样的定律，即与任一平面相联系的外转矩等于与此平面相联系的角动量的变化率。这正是二维空间中我们曾经写出的表示式的推广。

假如，在xyz这组轴中，求得出了他的三个平面的所有转矩和角动量，换到另一个坐标系；我们要做的是求出新转矩和旧转矩之间的关系，从而使我们能够建立从一组坐标轴到另一组坐标轴之间的联系。可能有人会说：“转矩不正是一个矢量吗？”结果表明，它对一个矢量，但是如果不加分析，我们就不能立即明白这一点。

虽然转矩是在一个平面上的扭转，并不具有先验的矢量特征，但在数学上它的确就象一个矢量。这个矢量垂直于扭转平面，它的大小与扭转强度成正比。这样一个量的三个分量就象真正的矢量一样变换。因此，我们就用矢量来表示转矩。

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7楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 SU(2)群基本的同位旋二重态中，质子态和中子态是最小的非平凡SU(2)多重态，所以较高的多重态可以由这个多重态构成。自旋0以及其它自旋可以由自旋1/2构成。T=0的最小SU(2)多重态是平凡的，只有T=0的多重态可以由它构造出来；T=1的场合有同位旋三重态，它在自然界中是由π介子和Σ重子实现的。在氘核中对T=0，第三分量也是0，这是氘核的基态；同位旋三重态中只有T=1和第三分量等于0的状态属于氘核。

所有T=1的双核子都是不稳定的，特别是T=1的氘核状态；理由是跟泡利不相容原理相联系的；T=0的同位旋波函数，是相对于交换两个粒子反对称的，而T=1的三重态是对称的。由于核子-核子相互作用力在自旋1道里是短程上吸引的，在位形空间中的波函数必须是量子数l=0，也即它必须是完全对称的，这是为什么一个束缚态只能由T=0来构成的原因。强相互作用哈密顿量是同位旋不变的，哈密顿量的同位旋空间部分由恒等算符和Casimir算符组成；换句话说哈密顿量在同位旋空间是一个标量，T=0时哈密顿量是吸引函数，带有一个势能口袋；而T=1时哈密顿量依赖于同位旋群的Casimir算符，是不束缚的。

π介子为一个同位旋三重态或电荷三重态，但π介子的相位是不同的，正π介子需要一个因子-1，因为同位旋的李代数同构于角动量代数，而SU(2)群为SO(3)群的覆盖群；正π介子的相位选一个负号就可以保证对易关系中两组方程完全符合。同位旋群的SU(2)变换是在同位旋空间中的正交变换，可以解释为在带有基矢的正规的T=1的表示空间中的旋转。

核子的电荷双重态和π介子的电荷三重态是导入同位旋空间的出发点。带电介子的状态矢量带有复的分量，属于同位旋空间的球表示，只有这种球表示中的同位旋矢量是物理上实现。基矢的线性组合不能在物理上实现，因为这些态不是电荷的本征态。

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8楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 特殊U群的表示考虑熟悉的SU(2)二核子系统，每一个自旋为1/2的核子对应于SU(2)群的基础表示{2}，二核子系统的总自旋可约化为S=1的三重态{3}和S=0的单态{1}。用群论语言来说就是SU(2)群的二维基础表示的直乘积可以约化为两个不可约表示{3}和{1}之和。物理上，这说明二核子系统的同位旋可约化为I=1的三重态{3}和I=0的单态{1}，前者的同位旋函数对于交换两个核子是反对称的，而后者的同位旋波函数是对称的。

对于核子-反核子系统也有类似的约化。反核子的二维基础表示记为{2*}，称为{2}的共轭表示。对于三味夸克的夸克-反夸克系统，可有9=8+1种组合，{3}和{3*}分别是对夸克和反夸克的两个SU(3)的三维基础表示；它们的直乘积约化为一个八重态和一个单态。

对于三个夸克qqq的组合；首先，由不同味的u、d、s夸克可以构成六个任意交换两个夸克对称的味空间的夸克-夸克波函数：uu、(ds+sd)、dd、(us+su)、ss、(ud+du)，和三个反对称的味空间的波函数。再将每三个夸克加到上述九个夸克-夸克对上，可以得到27种不同的三夸克qqq组合，这些组合可分为下面四种不同的表示：
(1)十重态(前两个夸克qq是交换对称的，第三个q相对于qq也是对称的)；
(2)八重态(前两个夸克qq是交换对称的，第三个q相对于qq是反对称的)；
(3)八重态(前两个夸克qq是交换反对称的，第三个q相对于qq是对称的)；
(4)单态(前两个夸克qq是交换反对称的，第三个q相对于qq也是反对称的)。

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9楼 发表于: 80天前
只看该作者 | 小 中 大 三维各向同性谐振子对于三维各向同性谐振子，物理学家一直很感兴趣。随着Mayer以及哈齐尔，Jensen和休斯分别独立地引入核的壳层模型，这种兴趣尤为增加。他们考虑了核子在各向同性谐振子势中运动时的性质，其目的是想解释所谓的核子“幻数”。他们发现，当谐振子的简并度不能说明闭壳层幻数时，引进部分消除简并的自旋轨道型相互作用就可以给出一个满意的解释。后来埃利奥脱应用了群SU(3)的性质，把核的壳层模型和集体模型在一定程度上协调了起来。

SU(3)群是其表示能完全给出谐振子的各个简并能级态的最小群；对一个给定的简并能级，算子X(11)给出态之间的升降；为此我们可以把SU(3)叫做谐振子的简并群。然而，算子X(11)并不能联系SU(3)的不同表示，因此也就不能联系谐振子的不同简并能级。为了在不同的简并能级间移动，就需要引进简并群以外的算子。

单单海森堡群N(3)还不足以描述谐振子态的简并，因为无论是简并群SU(3)，还是转动不变群SO(3)都不是它的子群。理想的是我们能找到一个能够给出能量谱和能级简并度的群，它包含决定不同态之间路迁几率的一组算子。后一性质要求我们考虑非不变群，它的生成元并不都与体系的哈密尔顿算子可换；构造一个具有上述性质的群就可以对物理体系的动力学性质给出一个完全的描述，我们把这个群称为该体系的动力学群。

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10楼 发表于: 79天前
只看该作者 | 小 中 大 SU(3)群T将同位旋第三分量改变整数单位，而U和V将第三分量移动半整数单位，U和V都可以把量子数Y提升或降低1。SU(3)代数T、U和V代数为子代数，这些代数的每一个同构于SU(2)代数，也就是角动量的代数。因此SU(3)多重态可以借助于T多重态、U多重态和V多重态来构成，SU(3)多重态由一个平行于第三分量轴的T多重态、一个V多重态和一个U多重态构成；由于对易关系，这些子多重态必须相耦合。

由于三个子多重态的等价性，SU(3)多重态在超荷Y和同位旋第三分量平面内的表示必须是正规的、但不一定是等边的六边形或三角形。一个代表SU(3)多重态的图形必须是对称的，三个对称轴相交形成120度角。如果一个SU(3)多重态具有六角形结构，其对称轴以120度相交，而且以超荷Y=0和同位旋第三分量0为其中心，则该多重态的边界必然是凸的。不允许更高的多边形比如十二边或二十四边出现，原因是可以得到的位移算符只允许沿着V线、T线和U线沿两个方向移动；结果只有六个方向可以得到，它们是成对反平行的。

SU(3)表示和它的量子数即同位旋第三分量和超荷Y的涵义同夸克有关；F自旋、U自旋和V自旋满足角动量的SU(2)李代数，并转而成为SU(3)的子代数。自然地解释Λ*超子为单态，它是质量为1405MeV、自旋为1/2和负宇称的重子多重态；它代表了最平凡的SU(3)表示。对于最小的非平凡SU(3)表示，已知T=1/2的同位旋双重态是同位旋SU(2)的最小的非平凡的表示，这意味着我们可以从这个表示构造所有更高的多重态。

因为F自旋代数SU(3)包含同位旋作为子代数，最小的非平凡SU(3)表示必须包含至少一个T=1/2的电荷双重态；事实上T自旋、U自旋和V自旋完全对称地出现在F自旋的代数中；因此这个SU(3)多重态必须包含一个T二重态、U二重态和V二重态。由于SU(3)多重态在超荷-同位旋第三分量平面上的内在对称性，可以得出两个等边三角形，它们以原点为中心对称地绕着原点；分别标记这两个表示为{3}和{3*}，它们每个包含三个状态，{3}代表粒子而{3*}代表相应的反粒子；这两个表示的每一个都包含一个二重态T=1/2和一个单态T=0。

表示{3}和{3*}是不同的基本表示，它们不能彼此交换到对方；它们的本征值差一个符号，U算符只能把给定的多重态的状态相互变换，结果是不存在变换把{3}变到{3*}，也即三重态和反三重态是独立的表示；这一点不同于SU(2)群，SU(2)群中的双重态和反双重态是等价表示，原因是它们的生成元都有本征值-1和+1。

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11楼 发表于: 79天前
只看该作者 | 小 中 大 夸克与SU(3)群原则上，构造所有SU(3)的不可约表示只要两个基本表示{3}和{3*}中的一个，原因是表示{3*}的状态能从三重态表示的克罗内克乘积中推出；然而为了物理上的原因我们需要两个基本表示，因为夸克和反夸克和重子数荷不同。

在SU(3)的场合我们可以借助基本表示{3}或{3*}来构造较高的多重态，这方法类似于在角动量代数基础上SU(2)多重态的一般分类。一般SU(3)的克罗内克乘积包含p个三重态和q个反三重态；在物理上这意味着我们用夸克和反夸克构造复杂的粒子，而始终保持SU(3)对称性不变。多重态D(3,0)={10}代表重子共振态，{10}表示多重态的维数。

最大权的态是由p个最大权的夸克和q个最大权的反夸克组成，也即p个夸克态|1/2,1/3>和q个反夸克态|1/2,-1/3>；p和q特征地完全代表了SU(3)多重态；按照拉卡定理，p和q是SU(3)的两个Casimir算符，而Casimir算符并不是唯一的；相应于每个多重态只包含一个最大权态；与此相反，存在有各种可能性来得到较低权的态。

对于{3}╳{3}可以得到相应的直积状态，多重态{3}的矢量的每个端点加上第二个多重态的所有矢量；我们得到一个点的图像，部分地方被两个状态占据，它们很容易被分角为一个六重态{6}=D(2,0)和一个反三重态{3*}=D(0,1)。同样，一个夸克三重态和一个反夸克三重态的直积可以被分解为一个八重态{8}和一个单重态。从{3}╳{3}的最大权来看，很清楚{3}╳{3}必须包含{6}作为最大表示，剩下的状态形成{3*}。

可以用超荷除以3的余数来定义三重度，三重度决定了SU(3)表示的特征，即它是一个三重态或反三重态。{3}的三重度等于1；D(2,0)={6}的三重度是2，也即它是表示{3*}的伙伴。重子的质量一方面来自强相互作用，它守恒同位旋；另一方面来自电磁相互作用，它守恒U自旋，也即对质量的电磁贡献必须在U自旋多重态内相等。然而一个V自旋多重态的成员们不享有共同的性质，因此V对称性是很强地破缺的。

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12楼 发表于: 76天前
只看该作者 | 小 中 大 幂零Dirac方程如果我们将Dirac表达成更加代数的形式，则粒子物理学的某些方面就更容易理解。可以按照通常的方法定义四元数算符(1, n, j, m)，或者称其为轴矢量；也可以类似地定义多元4-矢量算符(i, x, y, z)，它与复四元数或Pauli矩阵是同构的，或者称其为极矢量。这两组单位元的组合生成了一个32分量的代数，与Dirac五个γ矩阵有直接的映射关系：

γ0=-in; γ1=xm; γ2=ym; γ3=zm; γ5=ij,或者
γ0=im; γ1=xn; γ2=yn; γ3=zn; γ5=ij。

算符可以应用于Dirac方程，允许有四个分量的解，相当于费米子、反费米子、自旋向上和自旋向下。解由+E、-E、+P和-P的组合生成。利用四元数矩阵可以将状态矢量的四元数结构映射到通常的4X4矩阵。四元数和复数算符都要求+和-的等价表示，一共可以有八种组合；但其中只有四种是互相独立的，因为状态矢量的总符号是任意的标量因子。一个费米子可以由一个行(或列)矢量表示，它的分量是四个产生和(或湮灭)算符：
(nE + imP + ijM) 费米子自旋向上 (-nE + imP + ijM)
(nE - imP + ijM) 费米子自旋向下 (-nE - imP + ijM)
(-nE + imP + ijM) 反费米子自旋向上 (nE + imP + ijM)
(-nE - imP + ijM) 反费米子自旋向下 (nE - imP + ijM)
表的右边是反费米子所取相应的列(或行)矢量，它们的组合生成的自旋1玻色子是标积：
(nE + imP + ijM)(-nE + imP + ijM)；(nE - imP + ijM)(-nE - imP + ijM);
(-nE + imP + ijM)(nE + imP + ijM)；(-nE - imP + ijM)(nE - imP + ijM)。
自旋0玻色子由反转费米子或者反费米子的P符号获得：
(nE + imP + ijM)(-nE - imP + ijM)；(nE - imP + ijM)(-nE + imP + ijM);
(-nE + imP + ijM)(nE - imP + ijM)；(-nE - imP + ijM)(nE + imP + ijM)。
用纯代数的表示就排除了无质量自旋0粒子(Goldstone玻色子)：
(nE + imP)(-nE – imP) = 0；(nE - imP)(-nE + imP) = 0;
(-nE + imP)(nE – imP)= 0；(-nE - imP)(nE + imP) = 0。
Pauli不相容性也是自动的，因为：
(nE + imP + ijM)(nE + imP + ijM)=0;
(nE - imP + ijM)(nE - imP + ijM)=0;
(-nE + imP + ijM)(-nE + imP + ijM)=0;
(-nE - imP + ijM)(-nE - imP + ijM)=0。

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13楼 发表于: 76天前
只看该作者 | 小 中 大 CPT对称性与四维反演不同，三维空间反演不能化为四维坐标系的任何转动。这个变换的行列式不是1，而是-1。因而，在反演(P变换)下粒子的对称性已不能由相对论不变性确定。另一个方面是坐标轴反演时波函数在给定点上的行为，由此引出粒子内禀宇称的概念。如果某个状态用波函数描述，则“时间反演”状态由复共轭描述。变成复共轭函数是因为：必须恢复因t的符号改变而遭到破坏的“正确的”时间相关性。既然变换T变换初态和终态，它们就没有本征值和本征态，因而也就不能给粒子本身带来新的特性。CPT对称性是幂等表示的另一个自然结果。这里，n、j和m算符可以应用于幂零状态矢量来表示P、T和C变换：

宇称(P)：
m(nE + imP + ijM)m = (nE - imP + ijM)
m(nE - imP + ijM)m = (nE + imP + ijM)
m(-nE + imP + ijM)m = (-nE - imP + ijM)
m(-nE - imP + ijM)m = (-nE + imP + ijM)
时间反演(T)：
n(nE + imP + ijM)n = (-nE + imP + ijM)
n(nE - imP + ijM)n = (-nE - imP + ijM)
n(-nE + imP + ijM)n = (nE + imP + ijM)
n(-nE - imP + ijM)n = (nE - imP + ijM)
电荷共轭(C):
-j(nE + imP + ijM)j = (-nE - imP + ijM)
-j(nE - imP + ijM)j = (-nE + imP + ijM)
-j(-nE + imP + ijM)j = (nE - imP + ijM)
-j(-nE - imP + ijM)j = (nE + imP + ijM)

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14楼 发表于: 76天前
只看该作者 | 小 中 大 Dirac状态的产生幂零Dirac代数共有8个单位元，这些单位元的不同组合生成了32分量的集合：其中有2个复标量、6个复矢量、6个复四元数和18个复矢量四元数。但这32个分量也可以由与γ矩阵等价的五元集的二项式推导出来，例如：im、xn、yn、zn和j。
时间 空间 质量 电荷
i x,y,z 1 n, j, m

有多种方式由五元组生成Dirac代数。上面的组合产生出：
E P M
Dirac能量 Dirac动量 Dirac静止质量


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henryharry2

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15楼 发表于: 76天前
只看该作者 | 小 中 大 SU(3)群幂零Dirac状态矢量中的P项的矢量性质产生出一个自然的强相互作用中SU(3)对称性。按照常规，我们将夸克的“色”表示为(R,G, B)，但它们其实表示的是空间的三个方向。
BGR → (nE + ijM)(nE + ijM)(nE+imP+ijM)
-BRG → (nE + ijM)(nE – imP+ijM)(nE+ijM)
GRB → (nE + ijM)(nE + imP+ijM)(nE+ijM)
-GBR → (nE + ijM)(nE + ijM)(nE – imP+ijM)
RBG → (nE+imP+ijM)(nE + ijM)(nE + ijM)
-RGB → (nE - imP+ijM)(nE + ijM)(nE + ijM)
每种荷在一个时间内只有三种“主动”相位中的一种来固定角动量方向；符号e、s和w。每种荷只携带角动量(或螺旋性)守恒的不同方面：s携带方向信息(与P有关)；w携带符号信息(+或-螺旋性，与iE有关)；e携带幅度信息(与M有关)。
B G R
u +e 1j 1j 0n
+s 1n 0m 0j
+w 1m 0n 0m

d -e 0j 0m 1j
+s 1n 0n 0m
+w 1m 0j 0n


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henryharry2

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16楼 发表于: 76天前
只看该作者 | 小 中 大 中性K介子表解释了与粒子物理学有关的许多事实，也有些新的预测。例如，如果我们从组分夸克和反夸克推导出重子和介子荷结构，就发现所有重子都有一个弱w的荷结构，而所有介子都有一个0弱荷结构；只有K介子例外，其它介子状态组合了两个不同代的费米子和反费米子。很明显，0、(1+z)w和-(1+z)w在弱项中是无法区别的，但当我们生成z的时候已经破坏了一种对称性(P或T)，这意味着我们必须破坏另外一种对称性来维持整体CPT不变性。
B G R ē ē 电中微子
u +e 1j 1j 0m +e 1j 1j 0j
+s 0n 1n 0j +s 0m 0n 0n
+w 1m 0m 0n +w 0n 0m 1m
e
d -e 0j 0m 1j -e 0n 0m 1j
+s 0n 1n 0m +s 0j 0n 0n
+w 1m 0j 0n +w 0m 0j 1m
μ
s -e 0j 0m 1j -e 0n 0m 1j
+s 0n 1n 0m +s 0j 0n 0n
-w zm 0j 0n -w 0m 0j zm


在玻色状态下必须保持电荷共轭状态，因此我们必须破坏CP(或T)以及P对称性，或CT(或P)以及T对称性；这预言了类似状态中额外的对称性违反。在中性K介子和反中性K介子混合状态中已经观察到这种情况，在独立的中性K介子和反中性K介子中也出现了。

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17楼 发表于: 74天前
只看该作者 | 小 中 大 任意自旋的转动矩阵任何具有自旋或“总角动量”j的体系能够存在于2j+1个态中的任何一个态，这些态的角动量在z轴上的分量，可以是一系列分立值中的任何一个值。把任何一个特殊态的角动量的z分量称为m295;，通过给定两“角动量量子数”j和m的数值，我们就能定义某一角动量状态。我们称以态矢量|j,m>来表示该态，在粒子自旋为1/2的情况下，其两个态就是|1/2,1/2>和|1/2, -1/2>，而对于自旋为1的系统，其状态用这种记号将被写成|1,+1>,|1>,|1,-1>。

现在我们想要知道，当我们把一般的态|j,m>投影到一个关于一组转过的坐标轴的表象中去时，会发生什么情形。首先我们知道，j是一个表示该体系特征的数，所以它是不变的。如果转动坐标轴，我们所得到的只是关于同一j的各个m值的混合状态。我们早已知道，如果我们绕z轴旋转φ角将发生些什么，新的态只不过是把原来的态乘上exp(imφ)而已，它仍有相同的m值。对于绕任何其他轴的转动，各个m态将混合。

对于自旋为j的粒子，绕y轴转动角φ，我们如何去求其转动矩阵元呢？我们无法告诉你们如何用一种基本的方法去求；对于自旋为1/2的粒子，我们通过复杂的对称性论证求得其矩阵元。接着对自旋1的情形，我们通过由两个自旋为1/2的粒子组成的自旋为1的系统这一特例来求得其矩阵元。在一般情况下，答案只与自旋j有关，而与自旋为j的粒子的内部构造是怎样拼成整体的无关，那么我们可以把自旋为1的论证推广到任意自旋的情况。

例如，我们可以虚构一个自旋为3/2的系统，它由三个自旋为1/2的粒子构成。如果我们现在绕y轴转动此系统，每个自旋为1/2的粒子将具有某个振幅为正的或为负的振幅，所以现在此系统是八种可能组合的混合态，这些组合是|+++>, |++->或|--->等。显然这八个组成可以分成四组，每组与一个特定的m值相对应。首先，我们有|+++>，对这个态m=3/2，接着是|++->，|+-+>和|-++>三个态，每个态都是两个正一个负，因为每个自旋为1/2的粒子在转动下都有同样的机会变成负的，所以这三个态的组合中每个所占的量应该相等；加入因子1/√3是为了使态归一化；这个态满足我们对m=+1/2态的想法。注意，我们只取了那些对称的组合，我们没有取带负号的任何组合，这种组合将对应于m相同但j不同的态。

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18楼 发表于: 74天前
只看该作者 | 小 中 大 电偶极子当我们研究氢原子的超精细结构时，我们必须算出由两个自旋都是1/2的粒子，电子和质子组成的系统的内部状态。我们发现这样的一个系统的四个可能的自旋态可以分成两组，一组具有一个能量，对外界来说它好象是一个自旋为1的粒子，剩下的一个态其行为象一个自旋为0的粒子，这就是说，把两个自旋为1/2的粒子放在一起就形成一个“总自旋”为1或0的系统。一个能量为+A的氢原子是一个自旋为1的粒子，这个能量状态就是一个j=1的“粒子”，它可以用三个基础态|+S>,|0S>,|-S>来描写，对于空间的某一组轴。另一方面，当氢原子具有能量-3A时，它是一个自旋为零的粒子。

假设一个原子处在一个有确定角动量的激变态，当它路迁到一个角动量为零的低能态时，发射出一个光子。问题是如何计算出光子的角分布和偏振情况。我们知道右旋圆偏振光，沿着它的传播方向具有一个单位角动量；所以发现光子后，留给原子的沿z轴的角动量为零，我们将用a代表这一事件的振幅。如果原子的自旋起初是“朝下”的，沿z轴为-1，那它只有在z轴正方向发现一个左旋圆偏振的光子；我们用b代表这一事件的振幅。

另一方面，如果原子处于m=0的状态，则它根本不能在+z方向发射光子，因为光子沿其运动方向的角动量，只能是+1或-1。其次，我们可以证明b与a有关，假设我们把情况作一反演，意思就是说我们设想，如果把系统中每一部分移到原点对面的等价点上去，该系统将作怎样。这并不意味着需要反射角动量矢量，因为它是人为的量。说得更确切些，我们应将对应于这种角动量的实际的运动特性倒转。反演和旋转的联合操作，使第二个过程成为第一个过程，我们知道对y轴旋转180度，恰好相当于把m=-1的态变成m=1的态。

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henryharry2

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19楼 发表于: 3天前
只看该作者 | 小 中 大 SU(3)对称性和强子波函数作为物理应用的例子，讨论SU(3)对称性在粒子物理理论中的应用。SU(3)群是二秩李群，对二秩李群不可约表示的状态基，用平面权图方法研究比方块权图方法更直观。强子场由夸克和反夸克构成，它们都是味道SU(3)群的张量场，它们的指标具有一定的对称性。由于Weyl互反性，生成元作用在这样的张量场上，可以先不考虑指标间的对称性质，按照直乘表示的生成元作用。换句话说，把生成元作用在每个夸克和反夸克指标上，然后相加。

夸克场是味道SU(3)的一阶协变张量(矢量)，是自身表示的基，它们使Cartan子代数的生成元同时对角化，这两个生成元的物理意义十分清楚，T3就是同位旋的第三分量，Y就是超荷。它们与谢瓦莱基中的生成元相差一个线性组合，由于它们的物理意义更清楚，粒子物理中常用这组生成元。它们的共同本征值构成的二维空间矢量也称权矢量，与谢瓦莱基对应的权矢量只相差基的组合。因为SU(3)群是二秩群，权空间是二维空间，所以可以把权矢量在二维平面图形中十分清晰地画出来；这样的平面图形称为平面权图。

在画平面权图时，首先确定最高权的位置，然后用降算符作用，得到其它权的位置。U算符同时改变同位旋第三分量和超荷的本征态；这些权构成U旋多重态，它们有相同的电荷。

[ 此帖被henryharry2在2009-12-10 10:18重新编辑 ]
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