设物体在有势场力作用下从位置 运动到位置 的过程中，任意时刻动能为 ，势能为 ，则物体在时刻之间实际运动情况总使以下积分取最小值

DOC] 浅谈物理学中的最小
文件格式: Microsoft Word - HTML 版
以上过程即说明了在一维有势场情形下，最小作用原理与牛顿第二定律的相容性。 ... 物理学中类似上面的最小还有很多，像量子力学中的规律与某个路径积分的最小值相容… ...
www.bb.ustc.edu.cn/jpkc/xiaoji/lx/qtzy/2007/CYQ.doc

物理学中的最小
PB06203003 崔云千
物理学中有一个很普遍的原则，就是最小作用原理。自然过程中，总是沿着使某个物理量“最小”的方式进行。
我们最早接触的最小作用原理就是光学中的费马原理：
光在传播时所选取的路径是使光程 最小的那一条。
并由此引出了折射和反射定律。
在核外电子排布中，电子也总是先排能量最低的轨道。
还有能量越低的体系越稳定。
…………
在力学中，还有一条很有趣的最小作用原理：
设物体在有势场力作用下从位置 运动到位置 的过程中，任意时刻动能为 ，势能为 ，则物体在时刻之间实际运动情况总使以下积分取最小值：

下面我们就一维情况来证明这样一过程恰好是满足牛顿第二定律的过程：

以上过程即说明了在一维有势场情形下，最小作用原理与牛顿第二定律的相容性。
事实上，这个原理对三维情况，对多个质点系统都是成立的，即：
一个无耗散力的系统，有n个独立的位置变数 ，设动能为
势能为
，
定义

则实际运动以使积分

取最小的过程进行。
仿照上面的变分运算，可得：

而

故

注意变分条件有：

得

由于 均可任意选取，令
得
通过类似前面的思考有

由于以上过程对 均成立，故得：

这就是分析力学中的Euler-Lagrange方程。
用这个方程计算某些形式的问题是十分简便的，比方说下面的一题：
设有两个一样的单摆，一个接在另一个的下面，两单摆做同频率的简谐振动，求聘路的可能取值（简正频率）。
这一题如果用牛顿力学来解是相当麻烦以致于不可解的，原因在于上一个单摆的简谐振动使下面的摆的悬点做简谐振动，分析下摆的运动必须考虑复杂的惯性力，但用Euler-Lagrange方程就可以很容易的避免这个问题。
取两摆与竖直方向的夹角 为位置坐标，容易写出：

做小角近似，整理得：

代入Euler-Lagrange方程整理得：

设两摆的运动方程为

代入得

要使方程组有非零解，需系数行列式为零，得

解得：

这就是要求的结果，可见的确实要比牛顿第二定律简单的多。
物理学中类似上面的最小还有很多，像量子力学中的规律与某个路径积分的最小值相容……
这么多的最小是不是说明了自然界的某种法则呢？我相信是的，也许有一天人类会发现一条统领整个物理领域的最小。
附录：参考资料：《费恩曼物理学讲义》《经典力学》
请老师多多指教，谢谢！