在區間[0, 2π], cos nx 由n 個餘弦波所組

来源: marketreflections 于 2009-12-11 13:47:38 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (48206 bytes)

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d211/21102.pdf


Riemann-Lebesgue引理與弱收斂
林琦焜
前言:
我們在這篇文章將從Riemann -
Lebesgue 引理談起, 這在近代分析中扮演了
極重要之角色。而後談與它相關的主題包括
有固定相法(method of stationary phase)
與弱收斂特別是Young’s測度之概念。
Riemann - Lebesgue 引理之起源應當
是Fourier 級數之收斂性問題與Fourier 積
分公式, 換句話說就是回到Fourier 最初利
用分離變數法解熱傳導方程, 最後需要研究
的逆問題(inverse problem), 因此可見其重
要性。我們將給幾個有直觀意義的證明, 而後
談semi - classical 的概念, 最後則引進弱收
斂與Young’s 測度等在近代分析尤其是非線
性偏微分方程中極重要的概念。
1. Riemann - Lebesgue 引理
談Riemann-Lebesgue 引理若不從號
稱是“數學中的詩篇”—Fourier 級數著手就
不知其原始意義。給定一函數f ∈ C[8722;π, π]
將之表為Fourier 級數
f(x) 8764;
a0
2
+
∞X
n=1
(an cos
nπ
L
x+bn sin
nπ
L
x)
(1.1)
63729;63730;63731;
an = 1
L RL
8722;L f(ξ) cos nπ
L ξdξ
bn = 1
L R L
8722;L f(ξ) sin nπ
L ξdξ
(1.2)
利用三角函數的和差化積則上式可表為
f(x)=
1
2L Z L
8722;L
f(ξ)dξ
+
∞X
n=1
1
LZ L
8722;L
f(ξ) cos
nπ
L
(x8722;ξ)dξ (1.3)
我們現在感興趣的問題是: 取x 固定而令
L → ∞ 則(1.3) 式會成為什麼呢? 當然
為了保證積分的存在性, 我們首先假設f ∈
L1(R) 即
Z ∞
8722;∞ | f(ξ) | dξ 因此(1.3) 式成為(此時1
2L RL
8722;L f(ξ)dξ →
0)
f(x)= lim
L→∞
∞X
n=1
1
L
· Z L
8722;L
f(ξ) cos
nπ
L
(x 8722; ξ)dξ (1.5)
現在模仿Riemann 和的方法令
λn=
nπ
L
λ=λn+1 8722; λn=
π
L
I(λ, L)=Z L
8722;L
f(ξ) cos λ(x8722;ξ)dξ (1.6)
因此(1.5) 式可改寫為
f(x) = lim
L→∞
1
π
∞X
n=1
I(λn, L)λ (1.7)
17
18 數學傳播21卷1期民86年3月
這正是Riemann 和之形式。令λ → 0
(L → ∞) 則
f(x)= lim
L→∞
1
π Z ∞
0
I(λ, L)dλ
= lim
L→∞
1
π Z ∞
0
dλZ L
8722;L
f(ξ) cos λ(x8722;ξ)dξ
=
1
π Z ∞
0
dλZ ∞
8722;∞
f(ξ) cos λ(x8722;ξ)dξ (1.8)
這個就是出名的Fourier積分公式。再利用和
差化積將(1.8) 式改寫為
f(x)=
1
π Z ∞
0
dλ Z ∞
8722;∞
f(ξ) cos λ(x8722;ξ)dξ
=
1
π Z ∞
0
[a(λ) cos λx+b(λ) sin λx]dλ
(1.9)
其中
63729;63730;63731;
a(λ) = R∞
8722;∞
f(ξ) cos λξdξ
b(λ) = R∞
8722;∞
f(ξ) sin λξdξ
(1.10)
這正是Fourier 餘弦(正弦) 變換其實就是
Fourier 級數之推廣。當然我們可利用Euler
公式將兩者合併在一起
f(x)=
1
πZ ∞
0
dλZ ∞
8722;∞
f(ξ) cos λ(x8722;ξ)dξ
=
1
2πZ ∞
0
dλZ ∞
8722;∞
f(ξ)eiλ(x8722;ξ)dξ
+
1
2πZ ∞
0
dλZ ∞
8722;∞
f(ξ)e8722;iλ(x8722;ξ)dξ
=
1
2π Z ∞
8722;∞
dλ Z ∞
8722;∞
f(ξ)eiλ(x8722;ξ)dξ
=Z ∞
8722;∞
710; f(λ)eiλxdλ (1.11)
其中
710; f(λ) =
1
2π Z ∞
8722;∞
f(ξ)e8722;iλξdξ (1.12)
就是函數f 之Fourier 變換。因此Fourier
積分公式之本質就是一種逆變換— Fourier
逆變換而這正是解偏微分方程, 特別是線性
常係數偏微分方程最重要的工具。
上面這些推導過程中有個共同的現象就
是都出現底下類型之積分
Z b
a
f(x)63723;
63725;
cos nx
sin nx
63734;63736;
dx,
Z b
a
f(x)eiλxdx a.b ∈ R
因此嚴格的證明之前須先討論這類型積分的
性質, 這就是Riemenn - Lebesgue 引理:
Riemann - Lebesgue 引理:
型式I:(有界區間)
若f ∈ L1([0, 2π]) 則
lim
n→±∞
1
2π Z 2π
0
f(x) cos nxdx
= lim
n→±∞
1
2π Z 2π
0
f(x) sin nxdx = 0
或表為複數之形式
lim
n→±∞
710; f(n)
= lim
n→±∞
1
2π Z 2π
0
f(x)e8722;inxdx=0 (1.13)
型式II:(無界區間)若f ∈ L1(R) 則
lim
λ→±∞
710; f(λ)
= lim
λ→±∞
1
2πZ ∞
8722;∞
f(x)e8722;iλxdx = 0 (1.14)
由積分之連續性我們更可結論
f ∈ L1(R) 8658; 710; f ∈ C0(R) (1.15)
C0(R): 表示所有連續函數滿足在無窮點為0
之集合。
關於Riemann - Lebesgue 引理最早
是由Riemann 於1876 年證明, 而一般的情
Riemann-Lebesgue 引理與弱收斂19
形即f ∈ L1 則是由Lebesgue 於1903 年
所給的。關於這定理的證明有許多種, 但我們
並無意以這種方式對待這美麗且重要之定理。
因為函數f 之範圍太廣(至少連續) 所以要
分析的不是這項而是cos nx, 為什麼呢? 我
們看看其圖形, 從幾何的角度來明白其意義
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8722;1
1
2π
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cos x (1個波)
圖一
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8722;1
1
2π
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cos 3x (3個波)
圖二
由圖形可知cos nx 為n 個餘弦波擠在
[0, 2π] 這個區間, 因此當n → ∞ 時
可想像的是cos nx 在1 與8722;1 之
間( 因為| cos nx| ≤ 1) 快速振盪。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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cos nx(n 個波)
2π
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而關於其積分R2π
0 cos xdx = 0, 則因為
cos x 為一週期2π 的函數, 其積分有一
部份在x 軸之上方, 另一部份則在x 軸
之下方。這兩部份一正一負互相抵消, 因此
R2π
0 cos xdx = 0。同理對函數cos nx一正
一負只是現在跳得密一些, 彼此互相抵消, 故
R2π
0 cos nxdx = 0。“0”這個值是有意思的,
它就是cos x 的平均值
1
2π Z 2π
0
cos xdx = 0
從圖形上來看cos nx 這些函數以x 軸為中
心而上下振盪, 故其積分即平均值為0, 同理
對於積分
Z 2π
0
f(x) cos nxdx
之討論與前面完全相同, 唯一差別的是振幅
改變為|f(x)| (原先是1)。
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2π
f(x)
8722;f(x)
圖三
此時積分R 2π
0 f(x) cos nxdx 不見得要為0。
但當n → ∞ 時正的與負的部份幾乎彼此抵
消, 因此合理的猜測是
lim
n→∞Z 2π
0
f(x) cos nxdx = 0
如果cos x 代換為sin x, 也有相同的結果
lim
n→∞Z 2π
0
f(x) sin nxdx = 0
這就是Riemann - Lebesgue 引理。
定理證明:
20 數學傳播21卷1期民86年3月
關於此定理的證明有幾種方法都有其價
值。我們將分別列出並說明其在數學思維上
的重要性。
(1) Riemann 和:
在前面的討論中我們已經知道在區間
[0, 2π], cos nx 由n 個餘弦波所組成, 因此
我們將[0, 2π] 分成n 等分(這個概念就是
Riemann 和)
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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0
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2π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2π
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4π
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2(n8722;1)π
n
圖四
Z 2π
0 →
n
Xk=1
Z
2k
n
π
2(k8722;1)
n
π
(1.16)
因此積分可表為
Z 2π
0
f(x) cos nxdx
=
n
Xk=1
Z
2k
n
π
2(k8722;1)
n
π
f(x) cos nxdx
=
n
Xk=1
Z 2kπ
2(k8722;1)π
f(
y
n
)(cos y)
1
n
dy
(x =
y
n
)
=
1
n
n
Xk=1
Z 2π
0
f
(ξ + 2(k 8722; 1)π
n
) cos ξdξ
(y = ξ + 2(k 8722; 1)π)
=
1
2π Z 2π
0
cos ξ
·(
n
Xk=1
f(
ξ + 2(k 8722; 1)π
n
).
2π
n
)dξ
但f 為連續函數, 其Riemann 滿足
n
Xk=1
f(
ξ + 2(k 8722; 1)π
n
)
2π
n
→Z 2π
0
f(x)dx, n → ∞
故知
Z 2π
0
f(x) cos nxdx
→(
1
2π Z 2π
0
cos ξdξ)(Z 2π
0
f(x)dx)
= 0 (1.17)
在證明的過程中可以確定的是積分的極
限值等於零並非必然的(常常我們會這麼猜),
而是因為cos ξ 之平均值(mean) 為零的緣
故。如果以cos2 x 代替cos x 可得
Z 2π
0
f(x) cos2 nxdx
→(
1
2π Z 2π
0
cos2 ξdξ)(Z 2π
0
f(x)dx)
=
1
2 Z 2π
0
f(x)dx (1.18)
當然也可利用定理的結果來證明
Z 2π
0
f(x) cos2 nxdx
=Z 2π
0
f(x)
1 + cos 2nx
2
dx
=
1
2 Z 2π
0
f(x)dx+
1
2Z 2π
0
f(x) cos 2nxdx
1
2 Z 2π
0
f(x)dx + 0=
1
2 Z 2π
0
f(x)dx
我們發現一件有趣的事實:
( lim
n→∞Z 2π
0
f(x) cos nxdx)2
6= lim
n→∞Z 2π
0
f(x) cos2 nxdx (1.19)
我們在最後一節再利用弱收斂(weak con-
vergence) 的觀念來談此現象。
在上述的證明過程中, 我們僅用到cos x
為一週期為2π 的函數, 因此可直接推廣至任
Riemann-Lebesgue 引理與弱收斂21
意週期同為2π 的連續函數g(x) :
lim
n→∞Z 2π
0
f(x)g(nx)dx
= 1
2π Z 2π
0
g(x)dxZ 2π
0
f(x)dx (1.20)
此時cos x 由g(x) 取代; cos nx 則由
g(nx) ≡ gn(x) 取代
Z 2π
0
f(x)gn(x)dx
= Z 2π
0
f(x)g(nx)dx
=
n
Xk=1
Z
2k
n
π
2(k8722;1)
n
π
f(x)g(nx)dx
=
1
n
n
Xk=1
Z 2π
0
f(
ξ+2(k8722;1)π
n
)g(ξ)dξ
=
1
2πZ 2π
0
g(ξ)(
n
Xk=1
f(
ξ+2(k8722;1)π
n
)
2π
n
)dξ
→
1
2π Z 2π
0
g(ξ)dξ · Z 2π
0
f(x)dx
(2) Weierstrass 逼近定理:
這個定理告訴我們“定義在緊緻區間的
連續函數差不多就是多項式函數”, 因此我們
可以先試試
f(x) = xk k ∈ N
Z 2π
0
xk cos nxdx
=
1
n
(xk sin nx
2π
0 8722;Z 2π
0
kxk8722;1 sin nxdx
=8722;
k
n Z 2π
0
xk8722;1 sin nxdx
但
| Z 2π
0
xk cos nxdx|
≤
2k
n
(2π)k8722;1 → 0 當n → ∞
故可得
Z 2π
0
xk cos nxdx → 0 當n → ∞。
對任意的連續函數f(x) , 可取多項式Pk(x)
來逼近
max
x∈[0,2π] |f(x) 8722; Pk(x)| → 0 k → ∞
因此
Z 2π
0
f(x) cos nxdx
=Z 2π
0
(f(x) 8722; Pk(x)) cos nxdx
+Z 2π
0
Pk(x) cos nxdx
=Z 2π
0
(f(x) 8722; Pk(x)) cos nx + 0
取絕對值
| Z 2π
0
f(x) cos nxdx|
≤Z 2π
0 |f(x) 8722; Pk(x)| | cos nx|dx
≤ max
x∈[0,2π] |f(x) 8722; Pk(x)|
· Z 2π
0 | cos nx|dx → 0 當k → ∞
這個證明方法不像第一個證明方法那麼
基本也不容易看出, 若cos x 取代為任意週
期為2π 的連續g(x) 其極限值為何? 但卻把
數學中分析(analysis) 的技巧—逼近(den-
sity) 的概念表達地相當清楚。在實變函數中
22 數學傳播21卷1期民86年3月
有對等的概念:
特徵函數
(characteristic function)
8659;
單純函數
(simple function)
8659;
可測函數
(measurable function)
8659;
可積函數
(integrable function)
我們就留給讀者去思考。
(3) Fourier 級數:
我們將f 展開為Fourier 級數(可以先
假設f 為一週期函數而且f 之Fourier 級
數收斂)
f(x) 8764;
a0
2
+
∞X
k=1
(ak cos kx + bk sin kx)
(1.21)
兩邊同時乘cos nx 而後積分並利用三角函
數的正交性得
1
2π Z 2π
0
f(x) cos nxdx=an,
n = 0,±1,±2 · · ·
但級數收斂, 因此
an=
1
2π Z 2π
0
f(x) cos nxdx →0 n → ∞
若cos x 換為任意週期2π 之函數g(x) 一
樣利用Fourier 級數
g(x)8764;
a0
2
+
∞X
j=1
aj cos jx+
∞X
j=1
bj sin jx
g(nx)8764;
a0
2
+
∞X
j=1
aj cos jnx+
∞X
j=1
bj sin jnx
所以
Z 2π
0
f(x)g(nx)dx
=
a0
2 Z 2π
0
f(x)dx +
∞X
j=1
(ajcjn + bjdjn)
其中
63729;63730;63731;
cjn = R2π
0 f(x) cos jnxdx
djn = R 2π
0 f(x) sin jnxdx
利用Cauchy - Schwartz 不等式知

∞X
j=1
ajcjn ≤(
∞X
j=1
a2
j )
1
2 (
∞X
j=1
c2
jn)
1
2
但
∞X
j=1
c2
jn ≤
∞X
k=n
c2
k → 0 當n → ∞
故
∞Xj=1
ajcjn → 0 當n → ∞
同理可得
∞X
j=1
bjdjn → 0 當n → ∞
所以
lim
n→∞Z 2π
0
f(x)gn(x)dx
=Z 2π
0
f(x)
a0
2
dx
= 1
2π Z 2π
0
g(x)dxZ 2π
0
f(x)dx (1.22)
換句話說(用弱收斂的語言)
gn(·) → g(·),
g =
a0
2
=
1
2π Z 2π
0
g(x)dx
Riemann-Lebesgue 引理與弱收斂23
(4) 無界區間:
因為Fourier 積分為一致收斂且e8722;iλx
為連續, 因此可得710; f(λ) 對λ 而言是一致連
續, 若f ∈ L2(R) 則由Parseval 定理知
Z ∞
8722;∞ | 710; f(λ)|2dλ 但710; f(λ) 為一致連續, 故可結論
710; f(λ) → 0 當λ → ±∞
如果f 6∈ L2(R) , 我們可以考慮f 之切平
函數(truncated function)
fn(x) =63729;63730;
63731;
f(x) |f(x)| ≤ n
0 |f(x)| > n
則
Z ∞
8722;∞ |fn(x)|2dx≤n Z ∞
8722;∞ |fn(x)|dx
≤n Z ∞
8722;∞ |f(x)|dx 故fn ∈ L2(R), 因此由前面之結果知
710; fn(λ) → 0 當λ → ±∞
但由切平函數之定義知
Z ∞
8722;∞ |f(x) 8722; fn(x)|dx → 0, 當n → ∞。
所以
| 710; f(λ) 8722; 710; fn(λ)|
=
Z ∞
8722;∞
(f(x) 8722; fn(x))e8722;iλxdx
≤Z ∞
8722;∞ |f(x) 8722; fn(x)|dx → 0。
因此若取|λ| 相當大使得| 710; fn(λ)| → 0, 則
| 710; f(λ)| → 0 當|λ| → ∞
註: 由Fourier 級數的觀點而言, Rie-
mann - Lebesgue 引理實際上就是函數f
之第n 項Fourier 係數。但Fourier 級數並
沒有限定是由cos nx, sin nx, einx 等所組
成。由Sturm-Liouville 問題而看只要是一
組正交函數(orthogonal functions) 即可
u′′ + λu = 0 8596; {eiλnx}
[pu′]′ + [λρ(x) 8722; q(x)]u = 0 8596; {981;n(x)}
因此可猜測的是此時的Riemann-
Lebesgue 引理為
lim
n→∞

√
= lim
n→∞
Rb
a f981;nρdx
qR b
a 981;2
nρdx
= 0 (1.23)
2. 固定相法(method of sta-
tionary phase)
在討論波的相散(dispersion) 問題時,
我們常常要研究底下之積分
I(a, b, λ) = Z b
a
f(x)eiλg(x)dx, λ 8811; 1
(2.1)
這積分在聲學(Acoustics) , 幾何光學
(Geometric Optics) 的曝光率也極高。
Riemann- Lebesgue 引理提供了這積分的
巨觀行為(macroscopic behavoir)。但要
瞭解聲音與光波之傳遞則須對其變動(fluc-
tuation) 或微觀行為(microscopic behav-
ior) 有更深刻之認識, 而這就有賴於固定相
法(method of stationary phase)。
回憶一下尤拉公式(Euler formula)
eiθ = cos θ + i sin θ
24 數學傳播21卷1期民86年3月
因此我們可先討論積分I(a, b, λ) 之實部
ReI(a, b, λ)
=Z b
a
f(x) cos(λg(x))dx, λ 8811; 1 (2.2)
這積分實際上就是Riemann - Lebesgue 引
理之推廣
Z b
a
f(x) cos λxdx 8596; Z b
a
f(x) cos λg(x)dx
原先是單位函數I(x) = x, 現在則換為
g(x), 但基本上cos λg(x) 仍然是cos λx
之形式。因此若函數f 之改變量遠小於
cos(λg(x)) 的話(如圖所示)
圖五
則誠如在Riemann-Lebesgue 引理中所
討論, 函數cos λg(x) 正的部份與負的部
份彼此平衡互相抵消, 因此這部份對積分
ReI(a, b, λ) 而言可說沒有影響,唯一要考慮
的是滿足d
dx cos λg(x) = 0 的那些點x, 因
為此時並不產生振盪(oscillation) 也就沒有
抵消(cancellation) 作用(因為cos λg(x)
此時為常數)
圖六
由於此原因我們稱滿足g′(xi) = 0 的點xi
為固定點(point of stationary phase), 就
是當λ 相當大時對積分有貢獻的點。
圖七
(1) g′(x) 6= 0, α I(α, β, λ)=Z β
α
f(x) exp[iλg(x)]dx
=Z β
α
f(x)
iλg′(x)
d[eiλg(x)]
由分部積分得
iλI(α, β, λ)=
f
g′
exp(iλg)
β
α
8722;Z β
α
f′g′8722;fg′′
(g′)2 exp(iλg)dx
利用三角不等式
|x + y|≤|x| + |y|,
Riemann-Lebesgue 引理與弱收斂25
| Z β
α
F(x)dx|≤Z β
α |F(x)|dx
知

λI(α, β, λ)
≤
f(β)
g′(β)
+
f(α)
g′(α)
+Z β
α
f′g′8722;fg′′
(g′)2
dx
因此可結論
Z β
α
f(x) exp[iλg(x)]dx = O(
1
λ
), λ 8811; 1
(2.3)
這是沒有固定相點(point of stationary
phase) 時之結果, 其次我們討論有固定相點
之情形, 當然還是從一個點開始:
(2) g′(xi) = 0, g′′(xi) 6= 0
由連續性我們僅須考慮區間[xi8722;δ, xi+
δ]
Ii = Z xi+δ
xi8722;δ
f(x) exp[iλg(x)]dx
藉由Taylor 展開式知
Ii ≈Z xi+δ
xi8722;δ
f(x)
· exp{iλ[g(xi)+
1
2
g′′(xi)(x8722;xi)2}dx
=2f(xi) exp[iλg(xi)]
· Z xi+δ
xi
exp[iλA(x 8722; xi)2]dx
其中A = 1
2g′′(xi) > 0 現在考慮變數變換
λA(x 8722; xi)2 = ξ2
則上式之積分為
Z xi+δ
xi
exp[iλA(x 8722; xi)2]dx
=
1
√λA Z
√λAδ
0
exp iξ2dξ
這積分就是出名的Fresnel 積分
Z ∞
0
exp(iξ2)dξ
=Z ∞
0
cos ξ2dξ + i Z ∞
0
sin ξ2dξ
=
1
2
√πei
4 = rπ
8
(1 + i) (2.4)
因此可結論
Ii ≈2f(xi) exp[iλg(xi)]
1
√λA
1
2
√πei
4
=(
2π
λg′′(xi)
)
1
2 eiλg(xi)ei
4 f(xi)
如果g′′(xi) Ii ≈ (
2π
λ|g′′(xi)|
)
1
2 eiλg(xi)e8722;i
4 f(xi)
這是一個點的情形; 一般則為
I(a, b, λ)
=Z b
a
f(x)eiλg(x)dx
= X j:g′′(xj )>0
[
2π
λg′′(xj)
]
1
2 eiλg(xj )ei
4 f(xj)
+ X j:g′′(xj) [
2π
λ|g′′(xj)|
]
1
2 eiλg(xj )
·e8722;i
4 f(xj) + O(
1
λ
) (2.5)
這就是(method of stationary phase), 它
告訴我們積分I(a, b, λ) 對λ 取漸近展開
式, 其第一項主要是受固定相點(stationary
point) 所影響。
對於n 重積分我們也有相同的結果:
g′′(x0)(二次微分)
m
8706;2g
8706;x2 (x0) (Hessian 矩陣)
26 數學傳播21卷1期民86年3月
I(λ)≡Z · · ·Z f(x)eiλg(x)dx1 · · · dxn
8764;(
2π
λ
)
n
2 | det
8706;2g(x0)
8706;x2
8722;1
2 f(x0)
· exp[iλg(x0)+
iπ
4
sgn
8706;2g(x0)
8706;x2 ]
(2.6)
其中
sgn x ≡
x
|x|
且
8706;g(x0)
8706;x
= 0, det(
8706;2g(x0)
8706;2x2 ) 6= 0。
這個結果可應用到Feynman 路徑積分
(Feynman path integral), 因此我們可以說
Riemann - Lebesgue 引理也提供了Feyn-
man 路徑積分之最原始形式, 此時參數λ 換
為普朗克常數(Plank constant) ~ 。研究當
~ → 0 時量子力學與古典力學之關係。這就
是所謂“semi-classical limit”。
3. 弱收斂— 收斂觀念的提昇
在第一節關於Riemann - Lebesgue
引理中, 知顯然函數數列{cos nx} 或
{sin nx}(gn(x) = g(nx)) 之極限並不存
在, 其原因就是近代分析中所研究的主題之
一— 振盪(oscillation)。而Riemann
- Lebesgue 引理則提供了研究此一主題
的第一個工具, 同時也告訴我們這些函數
(cos nx) 之收斂要有意義則必須藉助於積分,
這正是弱收斂(weak convergence) 的原始
意義。而其極限則稱為弱極限(weak limit)。
例如:
cos nx w8640;
0
sin nx w8640;
0
gn(x) = g(nx) (3.1)
w8640;
q =
1
2π Z 2π
0
g(x)dx
≡w 8722; limgn(·)
一般而言
gn(·) w8640;
g g2
n(·)
w6
8640; (g)2
這告訴我們弱收斂的限制與困難
w8722; lim
n→∞
(qn(·))2 6= (w8722;limqn(·))2 (3.2)
尤其在非線性之問題。可以猜測的到是
(w8722;limgn(·))2 ≤ w8722;lim(gn)(.))2 (3.3)
我們將問題表為更廣義:
gn(·) w8640;
g 8658; F(gn) w 8640;F(g) (3.4)
F 為任意函數。關於這問題有比較完整的
數學理論就作者所知就是— compensated
compactness 方法。這是利用Young’s 測
度來描述振盪(oscillation) 而其起源就是
Riemann-Lebesgue 引理:
cos nx w8640;
1
2π Z 2π
0
cos xdx
我們作一下變數變換(λ = cos x) 可得
cos nx w8640;
Z 1
8722;1
λ
1
π√1 8722; λ2
dλ
≡ (3.5)
而ν(x) 就是Young’s 測度。由被積分函數
為一奇函數因此顯然
cos nx w8640;
Z 1
8722;1
λ
1
π√1 8722; λ2
dλ = 0 (3.6)
Riemann-Lebesgue 引理與弱收斂27
但Young’s 測度告訴我們的更多於此
cos2 nx w8640;
Z 1
8722;1
λ2 1
π√1 8722; λ2
dλ
= (3.7)
依此類推
cosk nx w8640;
Z 1
8722;1
λk 1
π√1 8722; λ2
dλ
= (3.8)
既然多項式都成立了, 那麼可期待的是對於
任意的連續函數f(x) 應有
f(cos nx) w8640;
(3.9)
同理對任意弱收斂序列{gn} 也有相同之結
果
f(gn) w8640;
(3.10)
當然此時之Young’s 測度ν(λ) 是隨{gn}
而定的。這就是Young’s 測度的基本定理
(fundamental theorem of Young’s mea-
sure)。
定理: 令K 8834; Rm,
8834; Rn 為有界之
開集合, 而且
u491; :
→ Rm
為可測函數族且滿足u491;(y) ∈ K a.e. 則
存在一族機率測度(probability measure)
νy ∈ Prob(Rm), y ∈
使得
suppνy 8834; K, y ∈

且對任意連續函數f : Rm → R, 始終存在
子數列u491; 滿足
w8727; 8722; limf(u491;)=
≡Z f(λ)dνy(λ) (3.11)
關於此定理之證明請參考[1] [3] [4],
我們將在另外著文探討Young’s 測度與
補償緊緻法(compensated compactness
method) 及其應用。該定理實際上就是一種
表現定理(representation theorem) 告訴
我們利用Young’s 測度與函數f 表示出來。
而且也克服了非線性項的弱收斂問題, 也因
此為何這定理在非線性分析中扮演著重要角
色。順便值得一提的是Young’s 測度更是研
究Homogenization(均勻化) 的重要工具。
透過這些問題的研究, 讓我們更清楚在古典
分析(classical analystic) 中所忽略的奇異
部份(singular part) 實際上是重要的, 而不
能那麼獨斷地說“幾乎處處為零”。我們將在
未來的文章中討論Young 測度, H-測度還
有他們在非線性方程與Homogenization 上
之應用。
參考資料
1. G.-Q. Chen, The compensated compactness
method and the system of isentropic gas
dynamics, Preprint MSRI-00527-91 Math-
ematical Science Research Institute, Berke-
ley (1990).
2. Bernard Dacorogna, Weak continuity and
Weak Lower Semicontinuity of Non-Linear
Functions. LNM, 922. Springer-Verlag,
1982.
3. L. C. Evans, Weak Convergence methods
for Nonlinear Partial Differential Equa-
tions, CBMS Regional Conf. Ser. inMath.,
74, Amer. Math. Soc. Providence, RI,
(1990).
4. P. Gerard, Microlocal Defect measures,
Commun. in Partial Differential Equa-
tions, 16, 1991(1761-1794)
28 數學傳播21卷1期民86年3月
5. M. A. Pinsky, Partial Differential Equa-
tions and Boundary Value Problems with
Application, 2nd Ed., McGraw-Hill 1991.
6. M. Struwe, Variational Methods: Ap-
plications to Nonlinear Partial Differen-
tial Equations and Hamiltonian System,
Springer-Verlag(1990).
7. L. Tartar, Compensated compactness and
applications to partial differential equa-
tions, Heriot-Watt Symposium, IV, (ed. R.
J. KNOPS), Pitman, New York, (136-211)
1979.
8. L. Tartar, H-measures, a new approach for
studying homogenization, oscillations and
concentration effects in partial differential
equations, Proceedings of the Royal Society
of Edinburgh, 115A, 1990 (193-230)。
—本文作者任教於國立成功大學數學系—
八十五年度中央研究院
周鴻經獎學金得獎名單
羅主斌(台大數研所) 李明憶(中央大學)
張毓麟(師範大學) 楊富堯(中正大學)
李盈盈(中山應數所) 楊清富(中山應數所)
陳怡真(政治大學) 洪慶良(政大應數所)
何忠益(清華大學) 林曉媺(高師大)
陳建州(成大應數所) 王俊超(淡江大學)
附註: 「中央研究院周鴻經獎學金」申請資格及辦法請參見本刊封底裡頁「中
央研究院周鴻經獎學金章程」。

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