量子力学中的不确定关系则起源于物质的波粒二象性 种不确定关系通过不对易力学量的相互制约性表现出来

第三章思考题

1．什么是可观察量？它与力学量有何区别？什么是可观察算符？它与厄米算符有何区别？
答：“……本征态组成完全系的力学量叫可观察量”这是狄拉克引入的概念。由于力学量以厄米算符表出：“并非所有厄米算符都具有一个完备.正交归一本征函数系。然而，能表示物理量的厄米算符就有这样的系。为此，我们给这种算符一个名字：观察算符。要证明一个特殊的厄米算符是观察算符往往是一个非常困难的数学问题。实际上只对简单的情况（例如位置坐标和动量坐标.一维量子体系的哈密顿量.角动量等等。）作过证明。下面我们总是认为所有与物理量相联系的算符都具有一样完备正交本正函数系”——a梅西亚，《量子力学》第一卷，科学出版社，1986p.193。

2．什么是算符的本征值和本征函数？他们有什么物理意义？
答：含有算符 的方程 称为 的本征值函数，而 则称为 的属于本征值 的本征函数。如果算符 代表一个力学量，上述概念的物理意义如下：当体系处于 的本征态时，测量的数值是确定的，横等于 ，并且根据本章开头列出的假设，当体系处于任意态时，单次测量 的值必等于它的诸本征值之一。

3．厄米算符有那些特性？
答：厄米算符有如下性质：“
（1）厄米算符的本征值是实数；
（2）厄米算符在任何态的平均值也为实数；
（3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交；
（4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。

4．为什么作为力学量必须要求算符是线性的、厄米的？
答：力学量必须是线性算符。这是由量子态叠加原理所要求的
真实力学量的任何测量值当然必须是实数，这就决定了力学量必须由厄米算符来表达。

5．力学量之间的对易关系是否具有什么物理意义？
答：力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系，它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理意义。`对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力。够同时确立的条件，体现了量子力学的基本特点。与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二相性。从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点，此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征如 ，就可以作为角动量的定义。

6．所有量子态都可分为本征态和非本征态，这句话是否确切？
答：此话不确切，所谓本征态是针对一定的力学量而言的，某一特定的量子态可能是某个力学量的本征态，但对于其他力学量而言，就未必是本征态了。

7．如果波函数 不是力学量 的本征态，那么在态 中测量 会发生什么情况？
答：这时测量 便不能得到确定值，而可能是它的任一本征值。如果 展开为本征态的叠加， 即测得 本征值的概率为 ，这正是量子力学基本假设之一。

8．是否可把力学量分为两类：一类本征值为连续谱，而另一类本征值为离散谱？
答：力学量根据其本征值谱的特性，可以分为三类：
第一类，其本征值谱总是连续的
第二类，其本征值谱总是离散的，如角动量，宇称等；
第三类，其本征值谱可以是连续的，也可以是离散的，或是部分连续，部分离散的，要由体系和外场特性而定，如自由离子哈密顿量是连续的，谐振子哈密顿量是离散的，氢原子哈密顿量则是部分连续的，部分离散的。

9．力的概念在量子力学与经典物理中的地位有什么不同？
答：力在经典力学中占有统治地位，是用来描述体系与外界相互作用的一个基本概念，而且质量的概念，无论是惯性质量还是引力质量，都是借助与力概念来定义的。而在量子力学中，一般是用势场，而不是力来描述体系与外界的相互作用，另外质量也无须借助质量来定义。虽然从对应原理可形式地把力定义为动量的平均变化率，但并没有什么实际用处。体现波粒二象性的 与 ，使量子力学中能量、动量成为基本概念，由于 ，动量可看成是物质运动的直接原因。力的概念失去了它在经典中的地位。

10．什么是力学量的完全集？它有何特征？
解答：设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（ ），它们的共同本征函数系为 ，如果给定一组量子数 就可以确定体系的一个可能态，那么，就称（ ）为体系的一个力学量完全集。它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组 所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。

11．经典物理中是否存在不确定现象？它与量子力学的不确定关系有什么差异？
答：不确定现象并非量子力学所特有的,经典物理中也存在这种现象.例如所有随机事件都表现出这种特点.但这种经典不确定现象时有随机因素造成,而量子力学中的不确定关系则起源于物质的波粒二象性,是普遍存在的.这种不确定关系通过不对易力学量的相互制约性表现出来。