而空間的基本本質主要的就是對稱性和平直性,保長變換群,平移子群

空間的基本結構在于任給兩點 A, B 之間的唯一最短通路 ——直線段 ，而空間的基本本質主要的就是對稱性和平直性。在古希臘幾何學中，用疊合公理來描述對稱性，而用平行公理來描述平直性；在現代的幾何學中，我們把空間的對稱性的總體賦予自然而且全局的結構，稱之為保長變換群，而其中的平移子群則系統表述了空間的平直性，從而把空間幾何學的研討提升到保長變換群的不變量理論。再者，向量運算都是在正交變換之下協變的 (covariant)，所以用向量運算所得的數量 (scalar) 都自然而然是不變的 (invariant) 。