物理定律和物理量不依赖于坐标系的 选择. 作为一个几何化的理论，应当寻找与这些物理量对应的几何量. 这些几何量应当独立于坐标系的

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第一章弯曲时空里的张量代数
广义相对论是一个几何化的引力理论. 引力表现为时空的弯曲，而时空的弯曲由物质及其分布来决
定. 弯曲时空中的几何不再是欧几里德的而是黎曼的¤. 广义相对论中由物理量组成的物理定律是广义协
变的，亦即在所有的坐标系里物理定律的形式都相同. 也就是说，物理定律和物理量不依赖于坐标系的
选择. 作为一个几何化的理论，应当寻找与这些物理量对应的几何量. 这些几何量应当独立于坐标系的选
择. 它们是张量. 物理定律就由一些张量之间的关系来组成. 本章简单扼要地介绍本书需要的张量代数知
识.
1.1 度规
弯曲空间和平直空间以2维平面,柱面和球面为例来看平直空间和弯曲空间的差别. 要判断柱面和
球面是不是平直的，只要将柱面和球面连续地变形，看它们能不能变成平面. 注意在变形的过程中，邻
近两点间的距离应当保持不变，否则任何一个不闭合的曲面都能连续地变形成平面. 也就是说, 所进行的
变换是等距变换. 显然，将柱面的一母线剪开，即可将其展开成为平面. 去除了一点的球面是一个不闭合
的曲面，但它不能连续变形为平面，除非这一球面是用可以任意伸长和缩短的材料作成的. 这说明，柱
面和球面有本质的不同，前者是平直的，后者是弯曲的.
平面、柱面和球面的区别可用相邻两点间距离的表达式来表示. 设无穷小邻近两点间的距离为ds, 对
平面和柱面选择直角坐标系x 和y,有
ds2 = dx2 + dy2: (1.1)
对球面选择经纬度坐标µ; Á, 有
ds2 = dµ2 + sin2 µdÁ2: (1.2)
显然, 在左边ds2 保持不变的情况下, 无论做什么坐标变换, 方程(1.2)在形式上不可能转换成方程(1.1). 这
表明, 邻近两点之间距离的表达式可以区分空间的弯曲状况. ds2的表达式称为度规.
欧氏空间的度规牛顿力学的空间是3维欧氏空间E3,用直角坐标»i (i = 1; 2; 3) 表示的度规为
ds2 = ±ijd»id»j ; (1.3)
其中±ij是Kronecker ±符号, 即
±ij = ( 0; 当i 6= j;
1; 当i = j:
这里沿用了爱因斯坦求和的书写规则: 当一项中有两个指标相同时, 对该指标的所有可能的取值求和, 求
和号则予以省略. 这样,度规(1.3)等价于
ds2 =
3 Xi=1
3 Xj=1
±ijd»id»j :
这一规则大大简化了书写, 它的应用遍及全书.
¤这里把弯曲时空的几何统称为黎曼几何，在名词上不再区分椭圆型和双曲型等情况. 然而，本书关心的只是广义相对论的时
空，它的度规矩阵的特征值为一负三正，属于双曲型.
1
2 第一章弯曲时空里的张量代数
E3的度规在一般坐标系fxig中不再具有(1.3)的简单形式. 例如在球坐标系(r; µ; Á)中为
ds2 = dr2 + r2dµ2 + r2 sin2 µdÁ2:
它的一般形式为
ds2 = gijdxidxj ; (1.4)
其中dxi是相邻两点的坐标差. 量gij是度规表达式中的关键部分, 它表示空间的几何性质, 称为度规张量.
在一般坐标系里, gij是坐标xk的函数. 欧氏空间度规的特点是存在一个全局的坐标变换使度规gij在每一
个空间点都变成±ij .
闵可夫斯基度规狭义相对论中的时间和空间结合在一起, 构成了4维的闵可夫斯基时空M4. 采用
直角坐标系(ct; »; ´; ³), 其度规可写为
ds2 = ¡c2dt2 + d»2 + d´2 + d³2; (1.5)
其中时间项前面的负号表示时间与空间的区别. 时间是有方向的, 不会倒流. 引入符号f»®g (® = 0; 1; 2; 3)
表示直角坐标, 并用fx®g表示任意坐标系, M4的度规为
ds2 = ´®¯d»®d»¯ = g®¯dx®dx¯; (1.6)
其中´00 = ¡1, ´11 = ´22 = ´33 = 1, 而´®¯的其余分量为零. 狭义相对论的时空M4在一般坐标系中的度规
张量g®¯总可以通过某一个坐标变换在时空的每一点都转换成闵可夫斯基度规张量´®¯. 例如,下面的度规
ds2 = ¡(1 ¡
!2r2
c2 )c2dt2 + dr2 + r2dµ2 + dz2 +
2!r2
c
cdtdµ; (1.7)
是用柱坐标表示的在以!为角速度旋转的参考系中的M4度规. 这时g00 = ¡(1 ¡ !2r2=c2), grr = 1,
gµµ = r2, g0µ = gµ0 = !r2=c, 其余的度规分量为零. 显然,只要做坐标变换将µ 换成µ ¡ !t, 再将柱坐标变
换成直角坐标, 度规(1.7)就可以全局地转换成闵可夫斯基度规(1.5). 这说明度规(1.7)对应的时空是平直
的.
弯曲时空的度规广义相对论中的4维时空是弯曲的, 它的度规一般可写为
ds2 = g®¯dx®dx¯ (1.8)
度规张量g®¯是时空坐标x¹的函数, 具体的形式依赖于具体时空的性质. 它的各分量的形式也依赖于坐标
系的选择. 对于弯曲的时空, 不存在一个全局的(全时空的)坐标变换,使度规张量g®¯像度规(1.7)一样, 在时
空的每一点都转换成闵可夫斯基度规´®¯. 例如,一个球对称的恒星周围时空的度规是著名的施瓦西度规,
ds2 = ¡(1 ¡
2Gm
c2r
)c2dt2 + (1 ¡
2Gm
c2r
)¡1dr2 + r2(dµ2 + sin2 µdÁ2); (1.9)
其中G和m分别为牛顿引力常数和恒星的质量. 在学习了黎曼几何后,容易证明上述度规不可能变换成闵
可夫斯基度规(1.5).
度规张量在度规的表达式(1.8)中, 代表时空几何的量显然是g®¯. x1.3将说明它是一个2阶张量的
坐标分量, 称为度规张量的协变坐标分量, 常简称为协变度规. 名词\协变"的含义将在本章的后行章节中
予以解释. 在广义相对论中度规张量是对称的, 即恒有g®¯ = g¯®.
x1.1 度规3
现在看度规张量的协变坐标分量在坐标变换下的变换规律. 设进行坐标变换, 从fx®g系到fx®0g系, 注
意ds2是坐标变换的不变量，从(1.8)有
ds2 = g®¯
@x®
@x®0
@x¯
@x¯0 dx®0dx¯0 = g®0¯0dx®0dx¯0 :
所以度规张量的协变坐标分量在坐标变换下的变换规律是
g®0¯0 = @x®
@x®0
@x¯
@x¯0 g®¯: (1.10)
上式可写成矩阵形式. 记G = (g®¯)和G0 = (g®0¯0 ) 分别为2个坐标系中由度规张量的协变坐标分量组成的
矩阵, J = (@x®=@x®0 ) 为坐标变换的雅可比矩阵, 则
G0 = JTGJ (1.11)
其中JT表示J的转置矩阵.
定义G¡1 = (g®¯)为G的逆矩阵, 即
g®¯g¯° = ±°
®: (1.12)
g®¯由g®¯唯一地决定，可以猜测两者并无本质的区别, 今后将更严格地说明两者都是度规张量在不同基
底下的坐标分量. 称g®¯为度规张量的逆变坐标分量，常简称为逆变度规. 名词\逆变"的含义将在本章后
行章节中解释.
从(1.12)和(1.10)不难得到g®¯在坐标换下的变换规律是（见习题1.1）
g®0¯0 = @x®0
@x®
@x¯0
@x¯ g®¯: (1.13)
或
G0¡1 = J¡1G¡1J¡1T (1.14)
今后将用拉丁字母表示空间坐标1,2,3, 而用希腊字母表示时空坐标0,1,2,3. 另外, 度规协变分量的指
标写在右下角, 逆变分量的指标写在右上角, 坐标x®的指标也写在右上角. 这些规定有利于张量运算的数
学表示.
为了熟悉爱因斯坦求和指标的书写规则和用这种规则进行数学推导，现在来证明协变和逆变度规在
坐标变换下的变换规律(1.10)和(1.13)能保证两者在任何坐标系中都是互逆的，亦即(1.12)式在一个坐标
系中成立，则在所有坐标系中都成立.
(1.10)和(1.13)两式表明有下式成立：
g®0¯0g¯0°0 = @x®
@x®0
@x¯
@x¯0
@x¯0
@x¹
@x°0
@xº g®¯g¹º:
这里要注意每一个指标在一项中出现不得超过2次，初学者在进行推导时一定要经常进行检查. 上式的右
边符号®,¯,¹,º和¯0都出现2次，要从0到3求和，共有5重求和. 求和后等式左右两边都只剩下®0和°02个指
标. 这些检查有助于发现推导中的错误.
利用
@x¯
@x¯0
@x¯0
@x¹ = ±¯
¹;
上式变成
g®0¯0g¯0°0 = @x®
@x®0
@x°0
@xº g®¯g¯º:
4 第一章弯曲时空里的张量代数
假定协变度规和逆变度规互逆在坐标系fx®g中成立，则有
g®0¯0g¯0°0 = @x®
@x®0
@x°0
@xº ±®
º = @x®
@x®0
@x°0
@x® = ±°0
®0 :
这就证明了两者在坐标系fx®0g中也是互逆的.
1.2 1阶张量
切空间和切向量在图1.1中, 4维时空M是弯曲的.
M
A
T
T
A
M
图1.1: 弯曲时空的切空间和切向量.
在M上的任一点A, 有M的切空间TAM, 它是平直的, 其
维数与M相同. M上A的无穷小领域可用切空间TAM来
近似. 切向量T属于切空间, 写成T 2 TAM. 它是一个独
立于坐标系选择的几何量. 切空间中的全体切向量组成
了一个线性向量空间. 注意,在时空的每一点都有一个切
空间, 因此必须标明一个切向量是属于哪一点的切空间.
本章只讨论同一切空间中的切向量.
逆变坐标分量度规(1.8)中的两相邻点之间的
坐标差dx® 显然是一个切向量的坐标分量. 当坐标系
从fx®g变换到新坐标系fx®0g时, 按微分的计算规则, 有
dx®0 = (@x®0
@x® )Adx®:
其中下标A表示涉及的偏微商应当在点A处取值, 而dx®是时空点A处切空间里切向量的坐标分量. 今后这
一下标将予以忽略.
1阶张量T是一个切空间中的切矢量, 在坐标变换下其坐标分量的变换规律服从下面的线性齐次变换
T®0 = @x®0
@x® T®: (1.15)
上式中张量T的指标®或®0称为逆变指标, 写在其坐标分量的右上角.
两个切矢量之间的内积由度规来定义, 是一个坐标变换的不变量, 由下式计算:
T ¢K = g®¯T®K¯: (1.16)
一个切矢量和自己的内积就定义为该矢量长度的二次方, 即
k T k2= T ¢ T = g®¯T®T¯: (1.17)
注意, 前面提到过相对论时空的度规是双曲型的, 这时一个矢量长度的二次方不一定大于零. 我们将在下
一章再次讨论这一问题.
有了度规, 切空间的内积就有了定义, 这样就能计算向量的长度和两个向量之间的夹角, 充分说明了
度规这个名词的内涵. 读者也可以回忆线性代数课程中关于线性向量空间的内容. 切空间是一个线性向量
空间.
逆变基底1阶张量T本身是几何量, 与坐标基底的选择无关, 但其坐标分量T®应当依赖于坐标基
底. 记e(®) 是在时空中选择坐标系fx®g时切空间的基底, 张量的坐标分解可写为
T = T®e(®): (1.18)
x1.2 1阶张量5
注意这里基底的下标(®)加上了圆括号, 表示这是第®个基底向量，而不是基底的第®个坐标分量.
按基底的定义, 显然有
e¯
(®) = ±¯
® (1.19)
这样,根据内积的定义(1.16)式,立即可算得这组基底的相互内积恰好是度规张量的相应坐标分量,亦即
e(®) ¢ e(¯) = g®¯; (1.20)
上式说明第®个基底长度的二次方就是g®®, 也说明一般情况下基底不是正交归一的. 上述基底称为逆变基
底, 张量在逆变基底上的坐标分量称为张量的逆变坐标分量.
显然,闵可夫斯基的度规(1.6)的逆变基底是正交归一
xi
ct
e(o) e(i)
图1.2: 时空坐标系和切空间逆变基底的关系.
的, 转盘度规(1.7)的逆变基底不是正交归一基底组, 而施
瓦西度规(1.9)有正交不归一的逆变基底组. 切空间是平
直的空间, 是否总能选择到一组正交归一的基底呢? 对一
个具体的切空间, 答案是肯定的. 可以将不正交归一的基
底组重新线性组合而成为正交归一基底组. 然而, 由于时
空的弯曲,不可能找到一个统一的变换, 将时空所有点的
切空间内的逆变基底组都转换成正交归一基底组, 这和
弯曲时空的度规不能全局地变换成闵可夫斯基度规是同
样的道理. 所以, 在弯曲时空中经常面对的是不正交归一
的基底组.
图1.2显示时空坐标系和切空间逆变基底之间的关系. 在4维时空M中选择了坐标系(ct; xi), 相当于
在M上打上了坐标网络线, 在时空点A处, 对应的切空间逆变基底e(o)和e(i)与该处的坐标线相切. 它们的
大小和方向由度规g®¯决定, 一般不是正交归一的.
对应不同的坐标系, 切空间有不同的基底. 现在来看逆变基底向量在坐标变换下的变换规律. (1.18)式
左边是与坐标系选择无关的向量, 右边T®在坐标变换下按(1.15)显示的规律在变换, 于是可导出当从坐标
系fx®g变换到坐标系fx®0g时，逆变基底向量的变换关系是
e(®0) = @x®
@x®0 e(®) (1.21)
协变基底显然, 切空间中任何一组线性独立的向量都可以用来充作基底. 现在从逆变基底出发用
逆变度规来构造另一组基底.
e(®) = g®¯e(¯): (1.22)
从协变度规g®¯和逆变度规g®¯的互逆关系(1.12)可以得到
e(®) = g®¯e(¯): (1.23)
再利用内积蕴算是线性运算和逆变基底的内积关系(1.20)式可得
e(®) ¢ e(¯) = g®¯; e(®) ¢ e(¯) = ±®
¯ (1.24)
上式说明协变基底的长度和相互的夹角由逆变度规g®¯来决定，也说明在时空坐标系选定之后，切空间
自然地有协变和逆变2组基底，它们相互之间有一定的对称性.
6 第一章弯曲时空里的张量代数
关于符号书写的约定, 请注意标明是第几个基底的标记(®)对协变基底而言写在右上角, 对逆变基底
则写在右下角, 并带有括号; 而一个向量的逆变坐标分量的指标写在右上角, 下面要介绍的协变坐标分量
的指标写在右下角, 切莫混淆.
用(1.10), (1.21)和(1.22)式，可以得到协变基底在坐标变换下的变换规律
e(®0) = @x®0
@x® e(®): (1.25)
协变坐标分量这样, 张量T在选择2个不同的基底组后有不同的坐标分量: 逆变坐标分量和协变坐
标分量, 可写为
T = T®e(®) = T®e(®): (1.26)
T®称为张量T的协变坐标分量.
在定义了逆变基底和协变基底的关系后, 可以导出两种坐标分量之间的关系:
T® = g®¯T¯; (1.27)
T® = g®¯T¯: (1.28)
知道了张量逆变坐标分量和协变度规随坐标变换的变换规律(1.15)和(1.10), 从(1.27) 可得协变坐标
分量随坐标变换的变换规律
T®0 = @x®
@x®0 T®: (1.29)
总起来说, 给定的弯曲时空在选择了一个坐标系后, 度规张量的坐标分量也就确定了, 这时时空中每
一点的切空间里有2组基底：逆变基底和协变基底. 一个切向量在这两组基底上有两组坐标分量：逆变和
协变坐标分量. 它们之间的关系由度规张量决定. 张量本身与坐标系的选择无关, 但其坐标分量在坐标变
换下做线性齐次变换, 由坐标变换的切变换(亦即雅可比矩阵)决定¤.
张量之间的运算张量之间的代数运算有：张量之间的加减法，数和张量之间的乘法，张量指标
的升降，张量指标的缩并和张量积. 张量积将在下节中介绍.
首先要注意弯曲时空和平直时空的一个重要差异：在弯曲时空中不同点的切空间并不重合, 因此不
同点处的切向量属于不同的切空间. 在定义怎样把一个点处的切向量移动到另一点的切空间之前, 只有属
于同一切空间的切向量之间才能进行代数运算.
两个张量相加之后仍然是一个张量. 例如S = K+ T, 其坐标分量的关系为
S® = K® + T®; S® = K® + T®:
容易验证S®和S®在坐标变换下分别满足(1.15)和(1.29).
数和张量相乘的结果也是张量. 例如M = cT, 则有
M® = cT ®; M® = cT®:
这些规则和一般线性空间中向量的运算规则是完全一样的.
张量指标的升降用度规来实行, 如(1.27)和(1.28)所示. 两个张量间内积的定义(1.16)现在可写成
T ¢K = T®K® = T®K®: (1.30)
¤在流形上的微分几何中区分切空间和余切空间, 切向量和余切向量. 本书作为一本引导入门的教科书对此没有予以区分, 而是
强调独立于坐标系的张量和依赖坐标系选择的张量坐标分量间的区别.
x1.3 标量和高阶张量7
上式可看成是张量指标的缩并. 注意指标的缩并永远是在一个协变指标和一个逆变指标之间进行的. 2个
逆变指标或2个协变指标之间缩并的结果一般不是张量(参见本章习题1.2). 本书中规定将逆变指标写在右
上角, 而协变指标写在右下角.
最后, 请注意并不是任何一个有4个分量的列都可以看作是张量. 例如, 坐标x®就不是一个张量, 因为
坐标变换通常是非线性的, 而张量的坐标分量在坐标变换下的变换是线性齐次变换. 线性表明张量属于切
空间, 其变换由坐标变换的切变换亦即雅可比矩阵来决定. 齐次也表明张量本身与坐标系的选择无关, 一
个零张量经过坐标变换后仍是零张量.
1.3 标量和高阶张量
标量标量也称为零阶张量. 它是时空点的一个数，其值不依赖于坐标系的选择. 例如, 2个1阶张
量的内积(1.30)就是一个标量, 因为当进行坐标变换fx®g ! fx®0g 时, 有
T®K® = @x®
@x®0 T®0 @x¯0
@x® K¯0 = @x¯0
@x®0 T®0K¯0 = ±¯0
®0T®0K¯0 = T®0K®0 : (1.31)
再次提醒任何指标在一项中最多出现2次.
上面说标量是一个数, 是指在给定点的切空间而言的.在不同的时空点, 一个标量可以取不同的值, 在
整个时空上是一个标量函数. 一个典型的例子是标准钟所指示的时间. 一个标准钟的全部历史构成了4维
时空中的一条曲线, 称为钟的世界线. 在每一瞬间, 钟位于世界线上的一个点. 钟面的读数显然是确定的,
与坐标系的选取无关, 但在其世界线上的不同点,钟面的读数不同. 所以, 钟面读数是时空点的一个标量函
数, 在其世界线上有定义.
物理实验和天文观测的结果只与测量的对象和观测者有关, 与具体的坐标系选择无关, 所以一次测量
和观测到的数据应当是标量. 爱因斯坦指出弯曲时空和平直时空中的测量概念有很大的不同. 在本书后面
的章节中要比较详细地介绍在广义相对论框架中的观测量理论.
欧氏空间的不变体元下面介绍一个常用的标量：空间的体元. 一个无穷小的立方体的体积是一个
与坐标系无关的几何量，所以是一个标量. 先来看3维欧氏空间E3中的体元. 在E3中总是可以选择到一个
全局的直角坐标系f»ig，空间度规是±ij , 在其中体元的表达式是d»1d»2d»3. 设fxig为一任意坐标系，其
度规为gij，高等数学课程中中已经导出在fxig系中的体元表达式为
dV = d»1d»2d»3 = jJjdx1dx2dx3;
这里jJj是从f»ig系到fxig系坐标变换的雅可比矩阵J = (@»i=@xj)的行列式.
雅可比矩阵和2个坐标系度规的关系如(1.11)所示. 用现在的符号，有
G = JTEJ:
其中G和E分别对应fxig系和f»ig中的协变度规. 上式两边矩阵的行列式应当相等，可得fxig系中度规的
行列式g = jJj2. 这样，3维欧氏空间中的体元在任意坐标系fxig中的表达式为
dV = pgdx1dx2dx3: (1.32)
在上面的表达式中，g和dxi都随着坐标变换而变化，但是(1.32)式确是一个不变的标量. 只要知道一个坐
标系中的度规，就能写出在该坐标系中体元的表达式.
8 第一章弯曲时空里的张量代数
至于广义相对论中弯曲时空里的体元表达式，将在x5.2中予以讲述.
张量积两个1阶张量T和K的张量积M是一个2阶张量, 记成T­K=M. 规定张量积运算对T和K都
是线性的, 例如，(aT + bQ) ­K = a(T ­K) + b(Q ­K).
用T和K的基底分解表示可得
M = M®¯e(®) ­ e(¯) = M®¯e(®) ­ e(¯) = M®
¯e(®) ­ e(¯) = M ¯
® e(®) ­ e(¯): (1.33)
根据T和K在基底上分解的表达式(1.26)式, 可以得到这些坐标分量的表达式为
M®¯ = T®K¯; M®¯ = T®K¯; M®
¯ = T®K¯; M ¯
® = T®K¯: (1.34)
从上式可以看到张量积不是对称的. 设K­T=¹M, 则¹M ®¯ = K®T¯, 一般不等于M®¯.
2阶张量一般的2阶张量仍可以用(1.33)式来表示. 注意并不是任何一个2阶张量都是2个1阶张量的
张量积. 如果这一论断成立的话, (1.34)应在任意坐标系中成立，于是该2阶张量在任意坐标系中必须满足
一定的性质，例如有M11=M21 = M12=M22恒成立.
2维阵列M®¯要满足什麽样的性质才能成为一个2阶张量的坐标分量呢? (1.33)的左边M是一个独立
于坐标系选择的张量, 在不同的坐标系里方程右边有不同的基底. 基底在坐标变换下的变换规律已在
节1.2中给出, 所以2阶张量M的各种坐标分量在坐标变换下的变换规律应当服从
M®0¯0 = @x®0
@x®
@x¯0
@x¯ M®¯;
M®0¯0 = @x®
@x®0
@x¯
@x¯0M®¯;
M®0
¯0 = @x®0
@x®
@x¯
@x¯0M®
¯; (1.35)
M ¯0
®0 = @x®
@x®0
@x¯0
@x¯ M ¯
® :
因此, 可以将在坐标变换下满足(1.35)规律的2维方阵看作是2阶张量的坐标分量. 从(1.33)可见, 对于一个
给定的坐标系, 逆变基底和协变基底组成2阶张量空间的4个基底组, 从而1个2阶张量M有4组坐标分量:逆
变坐标分量M®¯, 协变坐标分量M®¯,混变坐标分量M®
¯和M ¯
® . 它们之间的换算可用度规张量来进行指
标的升降, 这样做对应基底的变换. 例如,M®¯ = g®¹g¯ºM¹º. 同时再次提醒逆变指标要写在右上角而协
变指标写在右下角, 当两指标一在上一在下时, 书写时要注意指标的次序, 并留有必要的空格.
张量的对称性和不变量如果在某一坐标系中2阶张量的坐标分量满足M®¯ = M¯®, 亦即张量对
其2个逆变指标对称, 容易证明这种对称关系在任意坐标系下都满足, 而且此时M®¯对其2个协变指标也对
称(见习题1.2). 这说明对称性是该张量的固有性质. 此时称该张量为对称张量. 度规张量就是一个对称张
量. 同样当M®¯ = ¡M¯®时称该张量为反对称张量. 对于反对称张量, 显然有M®® = M®® = 0 (这里对
重复指标®不求和). 电磁场张量是物理中反对称张量的一个重要例子. 在电动力学课程中讲到电场强度
和磁场感应强度是同一个物理量, 它们在不同的坐标系中相互转换. 电场强度和磁场感应强度共有6个坐
标分量, 在一起正好组成一个2阶反对称张量，在x4.4里将予以详细的讨论. 另外, 注意若在某一坐标系中
有M®
¯ = M¯
®, 这种性质一般不能在坐标变换下保持, 所以不是张量的固有属性.
容易证明2阶张量的混变坐标分量组成的矩阵之迹, 也就是其对角线上元素之和是一个标量, 不随坐
标变换而变, 而且有M®
® = M ®
® , 但是M®®和M®® (这里对重复指标®求和)一般不是标量(参见习题1.3).
x1.4 第一章习题9
这充分说明指标的缩并应当在1个逆变指标和1个协变指标之间进行.
度规张量在度规的表达式(1.8)中，左边是与坐标系选择无关的标量，右边dx®是一个1阶张量的
坐标分量，所以g®¯应当是一个2阶对称张量的坐标分量. 从它随坐标变换的变换规律(1.10)来看，也说明
它是一个2阶张量的协变坐标分量. 在x1.1中用(1.12)式引入了逆变度规g®¯. 可以用(1.33)式来说明它们是
同一个2阶张量在不同基底下的不同坐标分量.
记
G = g®¯e(®) ­ e(¯):
用(1.22)把上式中的协变基底变换成逆变基底，再利用(1.12) 进行运算，不难得到
G = g®¯e(®) ­ e(¯) = ±®
¯ e(®) ­ e(¯):
这充分说明g®¯, g®¯和±®
¯ 是同一个张量的不同坐标分量. 注意它的混变坐标分量在任何坐标系中都是±函
数, 而且度规张量是对称的, 所以不必区分两种混变坐标分量.
以上论证也可以用度规进行指标升降来进行. 从前面的学习读者应该认识到用度规进行坐标分量的
指标升降和基底用度规进行转换是一回事.
高阶张量用完全相同的方式可以认识更高阶的张量.下面仅举一个5阶张量的一种坐标分量在坐标
变换下的变换公式
T®¯
°¹º = @x®
@x®0
@x¯
@x¯0
@x°0
@x°
@x¹0
@x¹
@xº0
@xº T®0¯0
°0¹0º0 : (1.36)
读者不难总结出任意阶张量的坐标分量在坐标变换下的变换规律.
1.4 第一章习题
1.1 从逆变和协变度规的互逆关系(1.12)式和协变度规在坐标变换下的变换规律(1.10)式证明逆变度
规g®¯在坐标换下的变换规律(1.13)式.
1.2 证明2阶张量的对称性(如T®¯ = T¯®)和反对称性(如T®¯ = ¡T¯®)在坐标变换下保持不变，
但T®
¯ = T¯
® 一般不是坐标变换的不变量.
1.3 证明2阶混合张量的迹T®
® = T ®
® , 且在坐标变换下保持不变, 但2阶协变和逆变张量的
迹T®®; T®®一般不是坐标变换的不变量. 这说明指标缩并运算只能在协变和逆变指标之间进行，以
保证缩并的结果是张量.
1.4 设A®¯为对称张量, B®¯为反对称张量,
(a) 证明A®¯B®¯=0;
(b) 当C®¯为任意2阶张量, 记C(®¯) = 1
2 (C®¯ + C¯®), C[®¯] = 1
2 (C®¯ ¡ C¯®), 证明恒等式
C®¯A®¯ = C(®¯)A®¯;
C®¯B®¯ = C[®¯]B®¯:
1.5 爱因斯坦转盘系中的度规为
ds2 = ¡(1 ¡
!2r2
c2 )c2dt2 + dr2 + r2dµ2 + dz2 + 2!r2
c
cdtdµ;
写出逆变度规g®¯, 并给出逆变基底和协变基底各向量的长度及相互内积.
（参考答案：g00 = ¡1; grr = 1; g0µ = gµ0 = !=c; gµµ = 1=r2 ¡ !2=c2; gzz = 1, 其余为零.)
10 第一章弯曲时空里的张量代数
1.6 设2阶张量T®¯能通过坐标变换对角化, 且有2个以上非零的对角元素, 证明该张量不能表为两
个1阶张量的张量积, 即T®¯ 6= A® ­ B¯, 其中A®和B¯是1阶张量.
1.7 根据逆变基底和协变基底的概念证明下式并解释其含义.
e¯
(®) = ±¯
®; e(®)¯ = g®¯; e(®)
¯ = ±®
¯ ; e(®)¯ = g®¯: (1.37)
1.8 记度规张量的协变坐标分量g®¯的行列式为g. 将g和度规张量的逆变坐标分量g®¯ 看成是g®¯的函
数, 求证
dg¹º = ¡g¹®gº¯dg®¯; (1.38)
dg = gg®¯dg®¯ = ¡gg®¯dg®¯: (1.39)