凸集 只要掌握了其所有顶点（如果有顶点），那么其所有点（从而该凸集）也都掌握了（于是我们可能“用局部代替整体”）

“凸”、“凹”是数学的而非经济的概念。

基础地，一般讨论点集是否有凸性。凸（点）集的关键特征是，属于该集合的任意两点的（直）连线上的所有点仍然属于该集合（“集合内任意两点的连线仍在集合内”）。这是一个很“好”的特征，它表明凸集的形状比较“规矩”（“有规可循”）。这个特征表明，对于一个凸集，只要掌握了其所有边界点（如果有边界点），那么其所有点（从而该凸集）也都掌握了（用连线的方法）。如果边界点构成的图形是“平直的”，那么只要掌握了其所有顶点（如果有顶点），那么其所有点（从而该凸集）也都掌握了（于是我们可能“用局部代替整体”）。圆、平行四边形、三角形等（由它们的边围成的平面区域并包括它们的边）都是凸集。

凸集还有一个关健性质表现在“两凸集分离定理”。（这里先不讲其精确表述，只举一个具体例子介绍一下“感觉”：同一平面内的两个圆，只要它们没有公共点，则一定可以找到一条与两个圆都没有公共点的直线，该直线一边一个圆）

经济学中涉及的许多优化（规划）问题，最后都可以归结为凸集的性质的问题（有一类规划特称“凸规划”）。经济学分析中引入凸集，或者把某些经济情形表述为凸集，利用凸集的性质我们可以很方便地讨论最优解的存在与确定问题。


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发表于 2007-9-4 16:30 | 加为好友 | 发短消息 | 只看该作者 补充版主的：

1、利用凸集可以定义拟凹函数，而根据分离（超）平面定理，可以从中得到极值的（存在性与）唯一性。

2、利用凸规划——库恩、塔克定理——可以确定最优化问题的一阶充分条件，而不必再去计算二阶条件且局部极值就是全局极值。

3、利用凸集，可以确定，在线形预算约束下，拟凹的效用函数的最优化问题的二阶充分条件“不证自明”——与拟凹判别条件等价。

根据2、3，大部分静态的经济学最优化问题的二阶条件都可以不用再去计算和判别，通常都是满足的。



[此贴子已经被作者于2007-9-4 16:33:26编辑过]


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sungmoo 发短消息加为好友sungmoo 当前在线
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发表于 2007-9-4 17:33 | 加为好友 | 发短消息 | 只看该作者 再补充一点：凸要素需求集等价于拟凹生产函数，凸偏好等价于拟凹效用函数。



本文来自: 人大经济论坛 详细出处参考：http://www.pinggu.org/bbs/viewthread.php?tid=230385&page=1