河流体系内部的能量分配、耗散特点也应能由熵理论决定的能量制约关系来反映

河流系统能量分配耗散关系的分析

孙东坡

(华北水利水电学院水利系)


摘 要 根据冲积河流发展趋向性法则，从系统角度探讨了冲积河流自我调节机制及河流能量分配耗散特点，引入河流熵和变分原理，推求了河流系统的能量耗散规律；研究分析了人类活动对河流系统的干扰以及反映在河床调整上的能量分配耗散关系。

关键词 河流系统，河流熵，横向能耗，反馈调整。

本文于1998年7月20日收到，系“八五”国家科技攻关项目(85 926 02 01 04)的部分研究成果。

冲积河流是自然环境中一个永不停息的动态反馈系统，河相关系的特点、河流演进变化的规律以及对外界干扰的调整等一直是河流动力学界关注的焦点问题。进行理论分析的方法主要有以向量法为基础，依据动力学原理研究；一类是以变分法为基础，依据能量耗散理论研究。前者在描述局部微观现象时比较可靠、得力；而后者在探求复杂巨系统时具有更强的宏观把握能力。杨志达[1]、张海燕[2]、邓志强[3]等人从不同方面都进行过研究。本文拟从系统角度，探讨冲积河流所遵循的能量耗散原理以及河流反应的制约准则。

1 冲积河流系统的调节机制

在许多河流趋向于平衡的发展过程中，都可以看到河床形态总是不断进行多方面的调整，以适应多变的来水来沙，亦即河流系统中存在着力求与环境适应的调节机制。冲积河流的演进变化历程，反映了这种自我调节机制受河流体系能量分配和耗散原理的制约。

冲积河流也遵循复杂系统所具有的自组织平衡趋向性[4]。当总系统受到外界环境干扰偏离平衡态后，各子系统便不再相互适应，总系统因失去整体特性而内部呈现无序状态。当系统的自组织能力使各子系统间的关联足以约束各自的独立性时，整体效应使总系统逐渐适应环境的变化，逐渐由无序转而呈现出新型的稳定状态。反映河流体系可调自由度的河床形态因子、水力因子、挟沙因子等方面的自组和协同，是河流自身对外界环境干扰的具体反馈响应形式。河流体系调整的基本特点是对平衡态的趋向性，是力图维持水流动力与河床形态在新环境下的和谐有序。

河流系统的调整方向是受河流熵变化规律的控制，主要表现在系统调整过程中能量分配呈空间均配的趋向性和能量耗散保持最小能耗的趋向性。当河流系统的输入条件变化时，系统的调整会力图使能量沿程分配保持均匀一致，也就是力图将调整尽量均匀分散在与水流能耗率有关的各要素上，例如河宽、水深、流速、坡降等相关因子都要调整，并使各因子的变化尽可能小，这就是所谓能量均配的趋向性。当河流系统对外界干扰进行响应调整时，系统力求使单位重水体的能耗率尽可能低，例如系统在固定流量和坡降时力求使输沙率保持最大，这就是所谓能耗最小的趋向性。

2 河流系统的能量分配耗散关系

2.1 河流系统的能量分配规律 在任何不可逆的自然过程中，熵的变化体现了一个系统内能量的分配关系。因此河流体系内部的能量分配、耗散特点也应能由熵理论决定的能量制约关系来反映。熵可作为系统处于某种状态的概率来表示，这样联系熵与状态概率间的关系式可表示成：

Φ=klnp+C (1)


式中p为状态概率，k,C分别为常数。

对于河流系统，设河流总能量为E，沿程各河段的能量分别为E1，E2，E3，……，En，第i河段的能量为Ei。与热力学体系中的能量关系类似，根据式(1)，第i河段的能量为Ei的或然率可表述为：

pi～exp(-Ei/E) (2)

整个河流的熵为：
Φ～∑lnpi (3)

通常河流系统在能量分布调整时，总要使体系内能量分配具有最大或然率。这就要求各状态的或然率相等，亦即仅当河流熵值Φ→Φmax时，系统沿程能量的分配便达到最大可能性。便有：
E1=E2=E3=……=En=C (4)

上式中C取决于每一河段的特性。这表明冲积河流的调整将使体系内能量的沿程分配保持均匀一致的有序状态，这也将制约河流能量的时间分布。对于任一河段，相对下游端的单位体积水体所具有的能量E?i可表示为相对势能和动能之和。即：
Ei=γΔzi+vi2/2g (5)

式中Δzi,vi——分别表示河段i的落差和平均流速。

从长时段平均考虑，前述能量分布规律也应满足：

(6)

上式右端第一项(相对)势能或称势能改变量，就是河段i内河流能量的沿程耗散。亦可说是水流克服当地摩阻，切割地貌所做的功。其中：

γΔzi=γJiΔli=γJiviΔti (7)

式中Ji、Δli分别为河段i的总比降和河槽长度；Δti为水流流经河段i的时间。

式(6)中左侧若有一项能量发生变化，另一项能量也必然会有相应改变。例如水沙条件变化引起的动能项γvi2/2g改变，则势必会通过调整河段比降、长度等使势能γΔzi有相应改变。

若某一河流系统的上游加入了人为干扰因子(如修建大型水库)，这必然会大大影响并改变下游天然径流泥沙的量值及过程，引起一些水文因子、河床形态因子出现响应性反馈调整。一般水库调节总是使其下游年内或年际间的径流过程调匀。尽管长时段内总水量不会有变化，但是流量过程“Q～t”不均匀程度的减弱总会使流速v的变幅大大降低，也相应引起高次方均值因子(如水流动能、挟沙力)的减小。若以下角标1、2分别表示河流某特征量处于性质不同的前后两个时段(如上游水库修建前、后)或表示河流某特征量处于同一时段的两种不同状态(无水库的自然状态和有水库的人为干扰状态)，那么在等长时段T内显然应有：

(8)

由于河流体系在一长时段内通过自身调整，仍然保持每一河段时均总能量相同且不变的分布状态。故由式(6)也可得到：
(9)

或
(10)


这说明当外界干扰使水流时均动能减小时，相应会引起致该河段的势能即能量耗散的增大。

2.2 河流系统的能量耗散规律 对于一个封闭的耗散系统，系统的平衡有序结构需要通过能量耗散来实现，在向平衡有序结构发展的进程中，系统的能量耗散率只能减少。在河流熵理论中，河流系统处于平衡状态时的水流功率(能量耗散率)是最小的，这一结论也可借助变分理论由紊流运动方程导出[1]。

对于不可压缩流体，紊流运动的时均雷诺方程用张量形式可表示为：
(11)

式中γh——水的时均重力势能；ui——时均流速；σij——雷诺总应力张量，引入涡粘系数νt=ρε，则雷诺应力也可写成：

(12)

式中p——时均压强；δij——二阶单位张量；

若考虑雷诺数不太大的明渠恒定渐变流情况，公式(11)左边的惯性项忽略不计。则时均雷诺方程便可简化为：
(13)

这里把紊流的耗能函数φ(单位体积水流的耗能率)定义如下：
(14)

由公式(12)φ也可写成：
(15)


若流速分布为ui，的这种流动满足时均雷诺方程(13)、水流连续方程和一组已知的边界条件。再假设另外任一流动状态，其流速分布为(ui+)，它只满足水流连续原理却不满足时均雷诺方程，但与前种流动具有相同的涡粘性质和一组边界条件。根据公式(14)，这种水流的能量耗散函数为：


(16)


对所研究的总流区关于φ积分，可得这种水流的总能量耗散率E(可以证明，上式等号右边第二项的积分为零)：
E(ui+)=E(ui)+E() (17)

因为E不可能取负值，故对任何水流(ui+)恒有：
于是 E(ui)=E(ui+)-E()≤E(ui+) (18)


上式表明满足时均雷诺方程(13)的流动ui所导致的总能量耗散率小于所有不满足时均雷诺方程的任何假想流动。亦即在满足连续方程和一组边界条件的所有流动状态中，只有使E变得极小的那种流动状态才能满足运动方程。从系统结构角度看，只有使E变得最小的运动状态才能使河流体系趋于稳定状态；从求解流动问题解看，根据连续方程和已知边界条件，满足流速的泛函E(ui)取最小值的系统ui才是正确的流动解。

河流系统在自我调整过程中，总是力图使熵到最大而使熵的产生率达到最小，只有处于这样一种状态的系统结构才代表低能耗的稳定系统结构。因此能耗率亦即单位水流功率总是趋于最小这个制约关系就可以用来分析河流演变、河床形态调整的趋势和造床机理。

2.3 黄河内蒙河段近年河流能量耗散规律分析 黄河内蒙河段属可自由发展的冲积性河流，巴彦高勒至头道拐这一段的河道特征还与黄河下游河道有相似之处。自从黄河上游刘家峡水库(1968年)特别是龙羊峡水库(1986年)分别投入运用后，极大地改变了下游内蒙河段的水沙过程及搭配关系，近年来使内蒙河段的河性发生较大变化。两座大型水库运用使下游河道的流量过程均匀化，统计近年来月均流量离差系数仅是建库前的0.568倍。常年小水使造床流量(平滩流量)逐年降低、河槽萎缩，见表1。汛期水沙搭配失调还造成黄河干流有时被支流(十大孔兑)的高含沙洪水淤堵。

内蒙河段大部分是具有弯曲外形的冲积性河流，任一弯曲河段的长度Δl可由该河段的曲折系数ζ和上下两断面间的直线长度Δl′表示，即Δl=Δl′/ζ；而河段的能量耗散关系均可由互相制约的两部分来反映，总比降便表示为：

J=J′＋J″，
(19)


J′——纵向能坡(纵向能量耗散率)；
表1 昭君坟河段平滩流量及特征值不同时段变化统计


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时段/年 平滩流量/(m3/s) 月径流离差/Cv 滩面平均高程/m

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1931～1968
3200 0.636 1002.6
1969～1986 2300 0.506 1008.1
1987～1994 850 0.361 1008.9

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J″——横向能坡(因弯道环流作用所引起的横向能量耗散率)。

近年来内蒙河段由于径流过程调匀，大流量出现机遇骤减而小流量持续时间增长。这种变化使河流系统内部能量发生再分配调整，这种调整是通过塑造河流地貌，使河床形态适应新条件下的平衡输水输沙予以实现的。资料分析表明：河段的反馈性调整实质上是反映了该河段的v、J(J′和J″)、Q造这些能量特征值之间与河段几何形态条件Δl、ζ、/H等之间的相互转换、制约关系。根据能量分配耗散关系的要求，河流体系便相应有以下调整：

2.3.1 平面活动性增强，河流横向切割、摆动作用加剧 由于能量分配的要求，水库运用引起的河流时均动能减小，必然就造成该河段势能即能量耗散的相对增强。在J′相对减小的情况下，只能通过增大J″才得以实现。在河流体系内部能量分配耗散的格局中，J″的增大就意味着弯道环流作用的增强、河流横向切割作用的加剧、弯曲河段增多、河段曲折系数ζ增大、河段长度Δl加大，见表2.实质上这些河床形态的调整都是横向能耗J″作用相对突出的结果。作者通过分析研究得到，该河段的曲折率ζ直接与水库运用引起的水沙条件改变及对下游径流过程的干扰程度相关：

ζ=1.003(S/Q)0.124Cv-0.098 (20)


式中S/Q——来沙系数；Cv——径流过程的离差系数。

表2 三盛公至头道拐河段平面变形特征值统计


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时段/年 平均流量/(m3/s) 月径流离差Cv 平均摆动速率/(m/a) 最大摆动速率/(m/a) 平均摆幅/m

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1977.4～1986.7
842 0.56 53.6 128 482
1986.8～1990.5
609 0.38 231.4 676 1157

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2.3.2 横断面形态调整，造床流量逐年下降 河道横断面的变化是河床自动调整过程中的一种主要形式。近年来由于长期小流量作用的结果，内蒙部分河段主槽淤积、深泓点抬高、过水面积逐年减小、断面趋于相对宽浅、/H逐年增大、过洪能力不断下降。典型断面统计表明1991年与建库前的1962年相比，过水面积减小16%，宽深比/H增大了近1.42倍，深泓点抬高1.18m，而造床流量则减小为建库前的34.1%.随来水来沙改变而引发的横断面调整实际上也是河流能量重新分配的结果。调整本身体现了一种能量分布的原则：这就是要力图在小流量下通过河床形态对水沙变化的反馈响应，调整其河相关系/H和过洪能力(Q造)以适应新条件下的平衡输水输沙。实际的河床变形发展完全反映了这种由能量重新分配所制约的断面调整趋势。

在河床自动调整过程中，河流体系内能量的分配、耗散规律总是根据来水来沙的变化以某种方式来制约调整的方向、范围和程度。如果以河槽平面摆动速率Vp表征河床不稳定性，以来沙系数S/Q表征上游来水来沙条件，以σ表征径流过程的不均匀程度(年内月平均流量的方差)。对一些典型不稳定河弯河床平面活动性指标的统计资料分析表明：一种内在的调节机制确实存在，即平均摆动速率与该河段径流、泥沙的特征值间有某种制约关系，可写成：

(21)


式中下角标1、2分别代表龙羊峡水库投入运用前后的各有关量。上式反映了水库投入运用前后径流泥沙条件改变所引起的河床自动调整与河流能量分配耗散间的内在关系。尽管还缺乏其它河段更多的实测资料予以校验，但是内蒙河段近年来受大型水库运用等人为干扰因子的影响，河床形态趋向性变化的客观实际，说明上述关系式的存在实质上就是河流体系能量保持均匀分布这一规律在河床形态系统反馈调整过程中的某种表现形式。

3 结语

严格说，河流系统处于平衡状态时能量耗散率为最小的这一原理只是在恒定均匀流或无旋流条件下可以由变分极值原理导出。这反映了粘性流体流动时流速分布在一定条件下必须遵循的一种规律，在该原理中流速的泛函具有能量的形式。因此有人认为最小能耗原理不能反映一般水流条件下河流能量在时间和空间的分布规律，不宜将其做为研究河流演变的理论基础。笔者认为虽然能量耗散原理在基本理论体系上并非完善，但在研究复杂的河流系统时，在宏观简化条件下运用这一思想，从河流能量分配耗散关系角度讨论冲积河流的自动调整作用及河流反应的平衡趋向性问题，是一种较适宜的工具。笔者在研究水电工程对下游冲积性河流再造床过程的影响时，采用这种方法就取得了较好的效果[5]、[6]。对于冲积河流这样的复杂巨系统，能量平衡的观点、系统分析的方法，应该更适合于河流系统与人类活动协调关系的研究中。

参考文献

1 Yang, C.T., Minimum Unitstream Power and Fluvial Hydraulics, Hydraul.Div., ASCE,107(HY7).PP:919～934,July 1976.

2 张海燕.河床演变工程学.科学出版社，1990.

3 邓志强.基于最大熵原理的河相关系.首届全国泥沙基本理论学术讨论会论文集，1992.12：pp441～449.

4 尹国康.系统科学在地貌学中的应用.地理学报，1991，(3).

5 李国庆，孙东坡.大型水电工程对下游冲积性河道的影响分析.水科学进展，1996，(6).

6 Sun Dongpo. Study on Basic Characteristics and River Reaction of Alluvial River System, International Academic Publisher, 1996.