best physics online: 关于保守力及势能概念的深入说明

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平衡的概念

由于 TA or FA reasons, gap up，向上冲，造成一个头部除非继续有动力推动，头部的势能要释放，close gap,恢复平衡

　　3.2　关于保守力及势能概念的深入说明

　　(1) 如何理解保守力作功与路径无关的特点。
　　仔细阅读一般普通物理书籍不难发现，在讨论万有引力、弹性力这些保守力作功时，都作了一些人为的规定。如研究质量为 M 、m 的两个质点间的万有引力的功时，是假定一个质点 M 不动，而讨论只是质点 m 运动时它受的万有引力的功；研究弹性力的功时，假设弹簧一端固定，另一端被拉动，……由此得出这些力作功仅仅决定于受力作用质点的始末位置而与路径无关的共同特性。那么，这些规定是必要的吗？如果实际运动并非如此，例如 M、m 两个质点都在运动，弹簧两端都不固定，那么万有引力、弹性力的功还具有上述特点吗？

　　回答上述问题的关键在弄清保守力的功的涵义。根据牛顿第三定律，力是物体间的相互作用，总是成对出现的，保守力也不例外。实际上，通常所说“保守力的功”应是指相互作用的一对保守力的功，而不是其中一个力的功。例如，万有引力的功是指一对质点间万有引力的功；弹性力的功是指弹簧两端一对弹力的功。一对力的功的计算与参考系无关，一对保守力的功也是这样。所以，可以选择其中一个受力物体为参考系来进行计算。在该参考系中，选作参考的那个物体当然是不动的，因而，一对力的功形式上就表现为一个力的功了。在明确保守力是指一对力后，保守力的特点应一般表述为：一对保守力的功取决于有这种相互作用的两物体的始末相对位置，而与它们在运动中所经过的实际路径无关。

　　据此，在保守力特性的数学表达式 中， 应当理解为受保守力 作用的质点相对于另一质点的相对位移。整个式子表示，若一质点相对于另一质点经由任一闭合路径回到原位置，它们之间的保守力的功为零。

　　(2) 如何理解势能属于系统？什么情况下又可以说“一个物体的势能”？
　　谈到势能的归属，一般的物理教科书都已给出结论：势能属于有保守力作用的物体系统。但是，如果只是停留在这种一般的阐述上，就很难对于势能属于系统这一结论有切实的体会。如果从一对力的功来分析，这一结论就是很自然的了。

　　首先，保守力的特点是，一对保守力的功取决于物体系的始末相对位置，由此引入的势能函数 应决定于物体系中各物体的相对位置。而且，在定义式 中，保守力的功 应为一对保守力的功之和。这样，势能自然应当属于有保守力作用的系统，而不是单属于其中某个物体！

　　其次，势能属于系统尚有另一层涵义：当我们研究保守系统的能量时，如果存在势能与动能之间的转化，一般地说则是势能与系统内诸物体的总动能之间的转化。例如，当两个质点在彼此的万有引力作用下互相接近时，每一个万有引力都对受力质点作功。由动能定理可知，对质点 1、2 分别有： ， ，而 、 这一对万有引力的功对应着系统引力势能的变化，即
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

故有 　　　　　　　　　　　　　

即系统的万有引力势能与系统的总动能之间相互转化。

　　如果存在这样的特殊情况：有保守力作用的两个物体中的一个物体相对于惯性系静止，或本身是惯性参考系，例如对于相互有万有引力作用的地球及人造地球卫星系统，地球本身就是研究卫星运动时用的惯性参考系（这实际是一种近似）。这时，一对保守力中只有一个力在作功，物体系相对位置的变化体现为一个物体位置的变化，物体运动过程中，相应势能只和这个物体的动能之间转化。这种情况下，我们可以简单地说成是“一个物体的势能”。

　　(3) 势能是否依赖于参考系的选择。
　　这个问题的提出，仍然围绕着对定义式 中 的理解。

　　如果把 只理解为一个保守力的功，则由于牛顿力学中力与参考系无关，而位移随参考系的不同而不同，由上式就会得出 依赖于参考系的选择的结论。例如一个正在发射的飞船，其中有一台仪器，质量为 m ，飞船由离地心距离 处到达距离 处。从地心参考系看，引力对仪器作功 。而从飞船参考系看，仪器无位移，万有引力对它不作功。如果两种参考系中都应用定义式 ，并认为 就是引力对仪器的功，则在前一参考系中有 ，而在后一参考系中则有 。不同的参考系中得出了关于势能变化的不同结果。然而这一结论是不正确的。

　　实际上应把 理解为一对保守力的功，而这个功的计算是与参考系无关的，因而势能的计算也与参考系无关。

　　据此对上例做出分析：从地心参考系看，在仪器与地球的一对万有引力中，引力对地球不作功，而引力只对仪器作功，二者之和
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
从飞船参考系看，尽管引力对仪器不作功，但地球却有位移，引力对地球作功，二者之和仍由前后的相对位置决定，即仍为 。两种参考系所得万有引力势能的改变量 相同，

即　　　　　　　　　　　　
势能确与参照系无关。

　　(4) 势能的相对性与动能的相对性的区别。
　　动能的相对性来源于速度的相对性，即同一物体在不同参考系中观察，会有不同的动能值。也就是说动能的相对性是对参考系而言的。

　　但是，一个系统的势能并不依赖于参考系的选择，也就是说对于参考系而言，势能不具有相对性。所谓势能的相对性是指对于势能零点的选择而言的。同一系统的同一位置状态，对于不同的势能零点来说是具有不同势能的。这里要提醒注意的是，不要把势能零点的选择与参考系的选择混为一谈。