在有限的时间里可以完成无限多的运动过程，只要其中每一个过程是只须用无限小的时间就能完成的过程

§4.3 逻辑时空中的数学问题
§4.3 逻辑时空中的数学问题
培根说过“所以，如果一个人的理解遭困惑实，就让他研究数学把！”这里最重要的是研究，而不是演绎。一个光会按着别人给出的规则去演绎数学，而不去研究数学的逻辑前提，不清楚自己所演绎的数学与物理实在有什么样的联系的人，就像鲁迅所说的那一群跟着带头的山羊后面走着的绵羊。
在上一章中我们曾经指出：在物理学中我们一定要放弃物质以及与物质运动相联系的任何物理量(如力和各种作用)的任何无穷的概念，而又必须保持逻辑上的无穷的概念。在时间空间的数学逻辑中实际上主要是关于无穷的概念。物理时空不需要无穷的概念而逻辑时空的基本特点就是它对于无穷概念的分析和理解。
希尔伯特说过，无穷是一个永远的谜，关于无穷的概念也像关于时空的概念那样是一个会永远讨论不完的问题。在谈到人类认识的发展历史时，人们总是喜欢说，什么时候什么人提出了或建立了什么概念，使人类的认识发展到了新的水平。这样的说法显示了人类理性的不断进步过程。但是在大多数情况下这其实并不是事实。这样的一种信念总是反反复复地折磨着那些过于虔诚的理性崇拜者。实际上大多数情况下并不是理性在进行着选择，而常常只是因为某些非理性的因素，使人们在应该接受了某种观念的时侯拒绝了它，而在应该抛弃它的时候，反而接受了它。现在绝大多数人都知道是牛顿的微积分使我们懂得了关于无穷小的概念，从而建立了关于连续的概念，由此建立了关于物质运动的合理图景。但是实际上并不完全是这样。在亚里斯多德的年代，人们这样提出关于运动的逻辑悖论：如果某个人要从a运动到b，必须先经过它们的中点，这样他的第一个运动过程应该从a到ab的中点；但是到了这个中点以后，还需要经过这个中点到b的中点，如此往复，这个人必须经过无限个这样的过程之后才能够到达终点b，一个人在有限的时间里怎么能够完成无限个过程呢？其实这只是一个思辩上的悖论，因为那个时代的人，大家也都知道每个人都可以从a点走到b点，有时候一步就从a迈到b。牛顿理论证明了在有限的时间里可以完成无限多的运动过程，只要其中每一个过程是只须用无限小的时间就能完成的过程。这确确实实是牛顿运动理论的精髓，这一概念帮助我们建立了关于粒子运动的每一个瞬态过程，使人类对外部世界的认识能力从静止的物体进入到运动过程。但是如果把物质的存在形式和运动过程都与牛顿的那种连续的或无限小的概念联系在一起，同样会产生对物质世界认识的混乱。而现在正是这样的时候，某些广义相对论大师就是在颠倒物质世界本身与描述物质世界方式的时空逻辑概念之间的关系，从而把物理世界的描述搞得一片混乱。
对于物质存在和运动形式的连续和不连续、有限和无限的更合理的表述是柯西-威尔斯特拉斯的方法，在那里函数与自变量是分开的，函数的取值范围是可以任意的，而自变量总有办法来满足它，而并不需要无限小的概念。对于物理世界来说，我们可以用函数来代表客观的物质世界，这是无法随人的意志而改变的，但是我们可以用合理的逻辑设定特殊函数结构，在那里自变量就是时间和空间，而在这个函数结构中，我们就可以用逻辑时间和空间来合理地描述物质世界的存在和运动形式。也就是说，当我们研究的物质世界的范围超出牛顿的经典物理世界的有限论域的时候，我们必须对于时间空间的逻辑界定作更精细的约束，以使实体物质不能成为无穷小点。在牛顿理论中提出了质点的假设，但是他不会想到，在四百多年以后有人真的用他的无限小的质点和由此产生无限大的力来制造出各种稀奇古怪的世界来。其实牛顿理论中对这种情况并不是没有约束的，他的第三定律和处理粒子碰撞的动量守恒定律就约束了这种无限大的力和无限小的距离所可能产生的随意性。对于宏观世界来说由于波运动的引入，波是在连续空间上运动的，波满足叠加原理，不会因为两个波之间距离为零而产生麻烦，对于波来说没有必要限制空间的距离。所以只要我们必须处理既有波又有实体物质的问题时，“奇点”就像魔影一样跟随着那些还不了解实体物质的有限论域性的经典物理学家们，他们不知道所有的奇点都是应该通过合理的数学方法去消除的，反而去发展出一种利用奇点的方法和理论。这也就是经典电磁场理论和我们提出的宏观的但又不是经典的现代电磁场理论之间的主要差别。在现代电磁场理论中对于实体物质来说仍然必须保持对于最小距离的限制，因为超过这一限度，就会有其它我们还不认识的物质规律起主要的作用。这种情况下，简单的无限小的概念就成了精确描述物理世界的障碍。这样，正确认识物理时空和逻辑时空之间的关系就成了正确认识物质存在和运动形式的基础。在逻辑时空中引入的关于连续的概念和无穷小的概念，如果运用得合理不影响我们对客观世界的正确认识，就是一种很好的工具，如果因此而混淆了物理实在和我们用来描述物理实在的数学方法之间的关系，那么还不如没有无穷小的概念，因为在物理世界中是无法接纳这样一种东西的。当然无穷小概念给我们带来过许多数学处理上的方便，但愿我们的理论物理学家能够认真了解一下这一概念的合理内涵，谨慎地使用这一概念。由于我们现在对于量子理论还没有作过深入系统的研究，现在不再对此作进一步的发挥，因为我们相信这一概念对于弥合宏观理论与微观理论的差别实在太重要了，很担心任何草率的言论都不可能反映出这个问题的本质。但是我们能够肯定的是现代的为某些权威所利用的广义相对论就是在实体物质的有限论域上出了毛病的那种理论。
上面讨论了局域和连续、有限和无穷在时间和空间的逻辑界定中的意义。在时间和空间的逻辑界定中还有一个同样重要的概念就是以欧拉的工作为标志的关于复指数的欧拉公式、复数空间和对于宏观系统的欧拉分析方法。i这一表示负1开方的符号，本来说不出有什么意义，是欧拉公式赋予了它以数学和物理上的意义。在物理上i总是首先与时间联系在一起，并在复空间上与空间联系在一起，使时间与空间在数学上成为既能分离的，互相独立的，又有联系的一种特殊的关系。有了欧拉公式我们就可以方便地描述在时间上具有周期性的运动形式。在电磁场理论和物理学的研究中，我们觉得笼统的把空间和时间联系成四维空间在物理上并没有宽广的用途，因为空间的三个元素与时间有很不相同的数学物理性质，如空间的三个元素在物理上组成一个矢量。注意这种物理上的矢量与数学上的矢量(或向量)是完全不同的两个概念。物理上的矢量偏微分运算只对真实的物理空间才有意义，把时间列在一起形成四维空间，就没有了数学上的统一的运算法则，也就是说这类空间没有严格的数学性质。这就是说，四维时空，要么没有矢量偏微分运算的功能，要么没有统一的运算法则和关于空间的严格的逻辑结构。时间和空间在矢量运算法则上是无法联系在一起的，能把它们联系在一起的就是复空间。要真正研究物理上的空间和时间的性质，就必须对时间和空间分别进行研究，然后在复域内把它们联系起来。现在物理学家研究四维时空是以亥姆霍兹方程组为基础的，实际上这一方程组不代表波动方程的精确形式，只有双旋度方程组才是波动方程的真实形式，因而四维时空的数学运算不能满足双旋度算子的数学要求。所以，一般说来它并不能解决物理学中的问题。闽可夫斯基把以复指数表示的时间与空间组成另一种有别于经典数学的四维时空形式。在那里时间表示成指数的虚的和实的两部分。这一工作为复域上的时空分析开创了方向，但是闵可夫斯基空间本身并没有形成一个完整的数学理论。指数为复数的复时空框架的出现，大大提高了万物运动的表现能力：在实轴上我们可以描述纯的牛顿力学的运动，而在虚轴上我们可以描述纯的波运动(这里所谓的实轴和虚轴常常与信息科学中所用的复传播常数分析中的实轴和虚轴相反)。在虚轴上时间的因数被一个常数ω或k所代替了。这样时间的因数在分析过程中被简约掉了，它只被保留在常数ω或k中，通过应用复指数的欧拉公式，并以其实部表示实际的物理量时，又重新出现。通过这一过程，即保证了分析过程中，时间和空间的独立性，而物理量的最后形式中时间和空间又不是分离的，它们作为三角函数时，宗量又耦合在一起了。这样复域的分析方法也许就是把牛顿时间空间框架中所必须保持时间与空间的独立性，与爱因斯坦所指出的时间与空间在物质运动中不能僵化地没有联系，这两个要求合乎逻辑的统一在一起的方法。如果没有欧拉所引入的复数运法则，要精确描述波运动形态是不可能的。因为在实数集中，所有波动的问题时间和空间是不能分离的，这将给数学分析带来困难，而复域中所有波函数时间和空间是分离的，这就给数学分析带来了极大的方便。这样一个-1开方，通过欧拉公式把四则运算法则从实数集扩展到复数集，现在又通过它把牛顿所要求的时间-空间的稳定性，即运算过程中的可分离性，和爱因斯坦所要求的时间-空间之间的联系性，即在运动描述中的相互关连性统一在一起了。现在再让我们回顾一下§1.3中库珀[1]所说，“然而他们认为自然现象从根本上通过一些简单到惊人地步的规律相互联系着，并且这些规律性可以用数字之间的关系来加以描述，就这点来说，他们无疑是正确的。”我想欧拉自己也不可能想到他的简单到惊人地步的规律，复指数公式，在几百年以后，把牛顿和爱因斯坦这样两个开创物理学时代的巨人所造成的及其复杂的问题就那么简单地统一了。
分析宏观系统的欧拉方法实际上就是关于波运动的分析方法。虚轴上的万物运动具有完全的周期性，这时时间被一个常数所代替。所以任何虚轴上的运动都是理想状态下的运动，而不是真实的运动。与虚轴一样，实轴上的运动同样只是一种理想状态，即经典力学的运动状态(这一点还需要进一步论证)。真实的物理运动既不是像古典数学中所描述的经典物质运动，也不是波函数空间中所描述的波运动，而是在复空间上的运动。在这一复空间实轴上的运动从数学上可以也是正负双向的，但是最后通过欧拉公式表达的物理运动形式中，只能是单方向的，即时间只能前进，不能后退。当然从数学上时间也可以后退，以回顾已经发生过的历史过程。在理想的周期运动中，时间在变化但是物理运动状态却反复地周期性回到原来的状态。因而我们说这里时间被虚化了(即实际上被冻结起来只在一个周期内反复)，在现代物理学中越来越多地出现虚的量，把握这些虚的物理量在时空中的真实物理含义是最重要的。这种理想的周期性运动是不存在的，所以是“虚”的时间。最后还得加上实轴上的时间不可逆的运动，才是真正的物理运动的形式。正如歌中所唱：“太阳下山明朝还会爬上来，花儿谢了明年还是一样的开……我的青春小鸟一去不回来。”其实何止青春小鸟一去不回来，科学告许我们，总有一天太阳不会再爬上来，花儿也不会再开。但是人类文明所带来的结晶会不会就此消亡，还是以怎样的方式存在和发展，这就超过了物理学的范围。
时空框架上的复指数形式，可以同时表达时间上可逆的和不可逆的，即经典力学的和纯粹的波的运动状态提供了逻辑基础。但是现在为止，真正已经完成的还只是实轴和纯虚轴上的分析方法，真正完整的波与粒子的复空间上的运动形式还有待于今后的工作。但是现在信息理论和信号处理的方法已经使我们可以获得某一时刻t在?t内时间平均的瞬时图像，而且这个?t也不是越小越好，而必须与所用的电磁波的频率相适应。正是这种先在频域上求解波动方程，再通过频域的傅立叶积分的方法得到某一时刻的瞬时值的方法，不仅得到了物体的精确图景，也使我们更清楚地认识了人类获取图像信息的原理，原来人的眼睛获取的也不是真正的瞬时信息，而是时间平均的信息，只是我们的大脑自动地进行着这样的数据处理的工作。我们相信真正合理的的逻辑时空框架应该自动地包含在既有实物又有场与波的方程组的正确求解过程中，而不可能来自人为的某个常数。也就是说对于物理实在的理解应来自反映感性材料的方程中，而不可能来自人为的时空框架所制造的方程式中。牛顿理论由于没有考虑波方程所产生的局限性只能通过深入研究波理论，建立关于波与实物相互作用的更普遍的方程组和求解方法来解决。一个从猜想的时空关系得到的方程组，有时候正好与某个特殊的物理问题有类似的地方，得到与实际相近似的结果，不仅解决了当时还无法解决的实际问题，也在某种意义上为这一新的物理领域的研究指出了方向，这当然是有意义的，例如爱因斯坦和一些严肃的相对论学者所研究并指出的时间与空间的相互联系的性质以及量度公式的引入都对理论的发展起过很大的作用。但是怎么可能把这一与特殊物理关系有些相似的时空关系变成一个普遍的真理，无限制地制造没有与物理实在相对应的数学公式呢？