频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和相位来表征。将各正弦分量的振

many funds: who is doing what at what price level, with how much money, major player or major players'action makes market

最后结果是一个线性合成：不同价位不同基金不同行动，10块钱买，11块买，也是一种频率，如果是大基金，图形就是正玄波

大基金, 大正弦分量, other 分量 small impact, 交响乐队


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中国通信网－通信资源 咨询 人才 培训分享 » 信号处理专区 » 提问讨论区 » [再次有奖问答]傅里叶变换的本质ziyoubenpao 发表于 2006-5-24 08:45

[再次有奖问答]傅里叶变换的本质
信号处理专区的光顾者多数是从事理论研究的学生,或者是本科生,对傅里叶变换的接触很频繁,不过究竟有多少人能真正说出它的本质?它又有什么弱点?

对此理解清晰者请献身回答吧
大家都可以根据自己的理解做答
参与有奖
回答正确者重奖
yunhao_26 发表于 2006-5-24 09:03

傅立叶变换的本质就一句话可以说明：把时域信号变为频域信号，在频域中对信号进行分析处理；反之，傅立叶反变换的本质就是：把频域信号变为时域信号，在时域里对信号进行分析处理。
yunhao_26 发表于 2006-5-24 09:10

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类
傅立叶变换特点：
1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;
2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).
至于搂主说的弱点不明白是什么意思。
greatdevil 发表于 2006-5-24 09:20

FT属于频域分析方法。
用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。
频域分析法是研究信息系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。
ziyoubenpao 发表于 2006-5-24 10:23

今天的讨论大家都很积极了
谢谢大家的参与


本质的东西应该更深入一点,比如从相关的理论方面考虑,频域中的每一个数值是怎么得来的

至于傅里叶变换的劣势,可以与小波变换做比较,应该可以得到一些答案
fd9616893168 发表于 2006-5-26 07:59

一.fourier变换的本质就是把时间和频率联系了起来,时域的东西可以在频率上分析,频域上的东西可以在时域上看;就差不多可以换个角度去分析信号.楼上几位对其已进一步分析了.
二.fourier变换的不足:
1.fourier缺乏时间和频率的定位功能:所谓时间和频率的定位功能是指:对给定的信号x(t),希望知道在某一个特定时刻(或一很短的时间范围),该信号所对应的频率是多少;反过来,对某一特定的频率(或一很窄的频率区间),希望知道是什么时刻产生了该频率分量.而由fourier变换可知,对给定的一个频率,为了求该频率处的fourier变换,需要对t的积分从负无穷到正无穷,即需要x(t)整个时域的"知识";反之,如果要某一时刻的值x(t0),同样也需要整个频域的"知识"
实际上,由fourier变换所得到的X(w)是信号x(t)在整个积分区间的时间范围内所具有的频率特征的平均表示;同理,fourier反变换也是如此.
2.fourier变换对于非平稳信号的局限性:fourier变换里的信号,不论是单频信号还是多频信号,都是假定信号的频率不随时间变换的,这样的信号称为平稳信号.然而现实中所遇到的信号几乎是非平稳信号.
fourier变换反映不出信号频率随时间变化的行为,因此,它只适合分析平稳信号,而对非平稳信号,它只能给出一个总的平均效果.
3.fourier变换在分辨率上的局限性
分辨率是信号处理中的基本概念,它包括频率分辨率和时间分辨率,其含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小间隔.分辨率的好坏,一是取决于信号的特点,二是取决于信号的长度,三是取决于所用的算法
一个好的信号分析算法,应能适应信号的特点自动调节时域的分辨率和频域的分辨率.
对fourier变换而言,它的基函数在频域是位于w的冲击函数,因此当用fourier变换来分析信号的频域行为时,它具有最好的频率分辨率,但是在时域就有着最坏的时间分辨率
对fourier反变换而言,分辨率的情况正好相反.


针对fourier变换的不足,之后就出现了时间-频率联合分布,短时fourier变换和Gabor变换,之后就出现了现代的小波变换.小波变换不仅扩展了信号时频联合分析的概念,而且在信号的分辨率方面具有对信号特点的适应性.

[[i] 本帖最后由 fd9616893168 于 2006-5-26 08:01 编辑 [/i]]
wbsuccess 发表于 2006-5-26 15:36

本来想回答一下的，但是看到三楼的回答，真是太好了。没的说了：）
sreight 发表于 2006-5-26 16:00

我用我以前做的笔记来回答吧

信号及其描述
信号的分类与定义：
正弦周期
周期―――
复合周期
确定信号――― 准周期
非周期――－
瞬态
信号-----
平稳随机
随机信号―――
非平稳随机
确定信号及其特性：
1、时间特性：
表示信号的时间函数，包含了信号的全部信息量，信号的特性首先表现为它的时间特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅度变化的特性：
――同一形状的波形重复出现的周期长短。
――信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度）。
以时间函数描述信号的图像称为时域图，在时域上分析信号称为时域分析。
2、 频率特性：
信号的频率特性可用信号的频谱函数来表示。在频谱函数中，也包含了信号的全部信息量。
频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和相位。
――频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和相位来表征。将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低次序排列成频谱。
――频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限，但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率范围称为该信号的频带。
以频谱描述信号的图像称为频域图，在频域上分析信号称为频域分析。
3、 时域特性与频域特性的联系：
信号的频谱函数和信号的时间函数既然都包含了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点,那么，信号的时间特性与频率特性必然具有密切联系。例：周期性脉冲信号的重复周期的倒数就是该信号的基波频率，周期的大或小分别对应着低的或高的基波和谐波频率；



频域分析:
对于时间函数的激励和响应，可通过傅立叶变换将时间变量变换为频率变量去进行分析，这种利用信号频率特性的方法称为频域分析法。频域是最常用的一种变换域。如同时域分析把信号始终看成是时间的函数一样，在频域分析中，任何信号又可看成是频率函数。频域分析的基本工具是傅立叶分析，包括傅立叶级数和傅立叶变换。根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成分的正弦波之和。
一、周期信号的频域分析方法――傅立叶变换
对于周期信号而言，其频谱由离散的频率成分，即基波与谐波构成。
1、三角傅立叶级数
对于任何一个周期为T，且定义在区间 内的周期信号 ，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：

其中：
为直流分量


为基波角频率
例1：

信号 的波形图和频谱图如下所示：

每一条谱线代表一个正弦分量，谱线的位置代表这一正弦分量的角频率，谱线的高度代表该正弦分量的振幅。信号 的成分正好是角频率为 、 、 、 的正弦波。式中 称为基波频率，简称基频，基频的倍数称为谐波。（这里的频谱只是振幅谱）

例2 数字信号的谐波：




小结：
所谓三角傅立叶级数就是把一个定义在区间 内的周期信号 用完备正交函数集 来表示。系数的计算使用的是公式：

三角傅立叶级数还可以改写为：

式中：
直流分量


， 分别称为幅值谱和相位谱，统称为频谱。


2、指数傅立叶级数
周期信号 可在时间区间 内用完备的正交函数集 （其中n=0,±1,±2,……）表示，即有指数傅立叶级数：


是关于变量 的复函数幅角设为
指数傅立叶级数是用正交函数集来表示周期信号的另一种更常用的方法。三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计算。它们之间根据欧拉公式可以互相变换。
信号分解的任务也就是求出 ，指数傅立叶级数的系数 三角傅立叶级数的系数之间的关系为：



当 的情况只在
指数型傅里叶级数中出现，

指数型傅里叶级数中出现负频率分量，这只是一种数学表达形式，没有太多的物理意义。实际上，正负频率分量总是共扼成对地出现。一对共扼的正负频率分量之和构成一个实际的谐波分量，即



二、非周期信号的频域分析方法――傅立叶变换
对于定义于区间 上的非周期函数，也能分解成许多正弦波的叠加。（也要满足狄利希莱条件）。如果在表示周期信号 的傅立叶级数中令周期 ，则在整个时间内表示 的傅立叶级数也能在整个时间内表示非周期信号。即有傅立叶变换：


频谱函数 的物理意义及其自身特性
周期信号的指数型傅里叶级数 表明，周期信号可以分解为无限多个频率为 ，复振幅为 的指数分量 的离散和。而非周期信号的傅立叶积分 则表明非周期信号可以分解为无限多个频率为 ，振幅为 的指数分量 的连续和（积分）。这样，周期信号的分解就推广到非周期信号。周期信号的频谱是离散的，各频率分量的复振幅 为有限值，而非周期信号的频谱则是连续的，且各频率分量的复振幅为 ，如果 是有限值时，则 为无限小量，所以其频谱不能直接用复振幅表示。由于各频率分量的复振幅均与 成正比，因此为了比较各频率分量之间的相对大小，把各频率分量的复振幅除以 ，即用 来描述非周期信号的频谱特性，这样就可以避免各频率分量的复振幅均为无限小而无法比较的困难。 即为单位频带的复振幅，称为频谱密度函数，在与周期信号频谱不发生混淆的情况下也简称为频谱。 一般为 的复函数，可以写作：

是 的模，它代表信号中各频率分量幅度的相对大小； 是 的幅角，表示信号中各频率分量之间的相位关系。习惯上把 ， 的曲线也分别称为幅度频谱和相位频谱。

周期信号的傅立叶变换
周期信号也能建立傅立叶变换的表示。可以直接有周期信号的傅立叶级数表示构造一个周期信号的傅立叶变换，所得到的变换在频域上由一连串冲激所组成，各冲激的面积正比于傅立叶级数的系数。
一个傅立叶级数系数为 的周期信号的傅立叶变换，可以看成是成谐波关系的频率上的一连串的冲激函数，发生于第 次谐波频率 上的冲激函数的面积是第 个傅立叶级数系数 的 整数倍。
信号的能量谱与功率谱
除时域和频域的关系外，时间信号的另一个重要特征是能量和功率随时间分布的关系，即能量谱密度和功率谱密度。
一、 归一化能量和平均功率
信号 在1 电阻上所消耗的能量定义为信号的归一化能量，简称能量，表示为：

只有在上式给出的积分值为有限时信号能量的概念才有意义。
当信号能量趋于无穷大时，可定义平均功率，简称功率，即：

二、帕塞瓦尔定律
1、若 为能量信号，且其傅立叶变换为 ，则有如下关系：

说明：时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量能量的连续和。

2、若 为周期性功率信号，T为周期信号的周期， 为傅立叶级数的系数，则有：

说明：周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。

三、信号的能量谱与功率谱
1、对于能量信号 ，其能量谱 当然一定存在：
的实偶函数
2、对于功率信号则有功率谱 为：

功率谱具有明显的物理意义：在以 为中心的单位频谱宽度内，信号 的频率分量对功率的贡献。
功率谱只与功率信号频谱的模值有关，而与相位无关。凡具有相同幅度频谱特性的信号，不管相位频谱特性如何，都具有相同的功率谱。

离散时间信号的频谱
采样定理

随机信号分析

要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要有无限长时间记录。但实际上这是不可能的。通常用统计方法对以下三个方面进行数学描述：
1、幅值域描述: 均值、方均值、方差、概率密度函数等。
2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数。
3、频率域描述: 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。

一、 连续随机信号



自相关函数的性质：








自相关函数的应用：



当延时t很大时，随机噪声的自相关函数趋于零，而周期信号的自相关函数仍是周期函数，且其周期不变。

互相关函数描述一个信号的取值对另一个信号的依赖程度。
互相关函数具有以下性质：
1、两周期信号具有相同的频率，才有互相关函数，即两个频率不相同的周期信号是不相关的。这是说确定信号的情况。
2、两个相同周期的信号的互相关函数仍是周期函数，其周期与原信号的周期相同，并不丢失相位信息。
3、两信号错开一个时间间隔 处相关程度有可能最高，它反映两信号 、 之间主传输通道的滞后时间。

二、 时域离散随机信号
1、对于所有的m，若 则称两个随机序列正交。
2、对于所有的m，若 ， 则称两随机序列不相关。
正交等价于互相关为零。如果均值为零，则正交也等价于不相关，否则不成立。



注意区别以下几个概念：
1、 确定信号相关性（周期信号作为特殊情况）。
2、确定信号正交（正交和相位差 没有必然的联系？）。
3、随机序列正交。
4、随机序列不相关。
maxinwx 发表于 2006-8-26 20:21

傅立叶变换相对于小波变换的不足可能是一般的傅立叶在频域的分辨率是相同的，这样在低频端可能分辨率偏低，在高频段分辨率过高。
不知正确与否，请指正。
platum0 发表于 2006-8-27 20:41

楼上的应说复立叶变换在频域的分辨率是不同的，样在低频端可能分辨率偏低，在高频段分辨率过高。小波变换可看作是常数Q滤波器组，在频域的分辨率是相同的。
pureweed 发表于 2006-9-6 23:27

还可以看成一组滤波器了，具体可见Proakis的《Digital communication》（Fourth Eidtion）中第十二章第6题。
upiter 发表于 2006-9-7 09:19

弱点就是需要满足一定的条件
meiliwuxian_m 发表于 2006-9-9 08:21

发表点学习傅立叶变换的感觉 只学习理论时感觉相当难懂和晦涩 但是如果使用matlab来 仿真就会感觉很好理解 下面发一段matlab的仿真程序 大家一起来研究研究
clear
% Global time and frequency vectors
T=1e-4; % Sampling period of the system
L=10; % 10 seconds
t=0:T:L-T; % time vector representation
Ng= length(t);% so if T=1 then t=[0 1 2 3 4 ... 9]
Fs=1/T;
F=Fs/Ng; % Global Frequency Step
f=-Fs/2:F:Fs/2-F; w=2*pi*f; %frequency vector representation

% The Analog Signal

% Sinusoid Signal
d=1;R=500;To=R*T;fo=1/To;wo=2*pi*fo;a=1;x=a*sin(wo*t);

% Linear Frequency Modulation Signal
%d=0;a=1;e=.7;fo=10;To=1/fo;fm=fo+e*t;wm=2*pi*fm;x=a*sin(wm.*t);

% Signal Spectrum
if d==0,X=fftshift(fft(x))/Fs;
else, X=fftshift(fft(x))/Ng;
end

figure(1),
subplot(2,1,1),plot(t,x),axis([0 100*To -2 2]);
xlabel('time');ylabel('magnitude')
subplot(2,1,2),plot(f,abs(X)),axis([-100 100 0 1]);
xlabel('frequency');ylabel('magnitude')
程序中有两种信号一种是 sin 一种是 线形变话的sin 生成傅立叶变换后的图象 大家可以比较一下变换前后
*****szh 发表于 2006-9-26 14:34

强啊 受益匪浅啊 谢谢啊
karmark 发表于 2006-10-31 17:27

由傅里叶反变换知x(t)=∫X(j2πf)exp(j2πft)df （积分限为负无穷到正无穷），从式中可以看出x(t)可以看成由无穷多个exp(j2πft)信号叠加而成，而每个exp(j2πft)信号的幅度为X(j2πf)即x(t)傅里叶变换，傅里叶变换体现了用一系列exp(j2πft)去逼近x(t)的思想。大家都知道exp(j2πft)为线性时不变（LTI）系统的特征函数，即exp(j2πft)的响应为exp(j2πft)乘以一个常数（记为H(j2πf)），我们知道该常数为频率的函数，于是用傅里叶变换可以方便的求出x(t)对任意线性时不变（LTI）系统的响应，即y(t)=∫X(j2πf)H(j2πf)exp(j2πft)df ，从而解决求线性时不变系统响应的问题。
若对傅里叶变换进行推广，即将任一信号表示成若干微元信号的叠加，即可得到其他许多变换，如离散时间傅里叶变换（DTFT）x(n)=1/2π∫X(jω)exp(jωn)dω（积分限-π到π），同样是把x(n)看成无穷多个exp(jωn)叠加的结果
实际上傅里叶变换是由周期函数的傅里叶级数展开推广得到的，那里x(t)=∑X(jnΩ)exp(jnΩt)（n从负无穷加到正无穷，Ω为其基波频率），这种叠加逼近的思想更为明显
temp_110 发表于 2006-11-24 15:07

那么关心它的本质，呵呵
我敢说随便拿个概念，大家都说不清楚它的本质。
还不如老老实实看几本书，并在应用中揣摩。
liuhy2000 发表于 2006-12-3 21:18

五楼说得很好。可以比较一下小波变换，短时傅立叶变换和傅立叶变换的区别。小波变换是时频分析工具，被称为数学上的显微镜。可以参考一下有关小波变换的书。
cti 发表于 2006-12-14 09:53

付里叶变换是信号与付里叶算子作的卷积运算而已，卷积是一种特殊的内积算子，信号与小波算子内积就是小波变换，信号与gerbe算子内积就是gerbe变换，这没什么好疑问的，主要是它的物理应用。比如，经过IFFT之后，相当于多载波调制。
longdi 发表于 2007-1-4 20:47

我的理解：
傅立叶变换本质上是对信号x(t)进行正交分解，因为exp(j*2*Pi*f1*t)与exp(j*2*Pi*f2*t)是正交的
（只要f1不等于f2）；当信号本身满足一定条件时，exp(j*2*Pi*f*t){注：f取值从负无穷到正无穷}
构成该信号的完备正交基。


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