高等代数 多元一次方程组与高次联立方程 线性代数学

高等代数发展历史沿革

"代数"一词来自拉丁文Algebra,它又是由阿拉伯文变化来的.公元820年左右,阿拉伯数学家Musa-al-khowarigmi曾用"al-jubr"作为一本教科书的题目,意思是解方程的科学.而al-jubr变成拉丁文就是algebra.我国清代数学家李善兰1895年正式把"algebra"译成"代数学".代数的特点是用字母表示数或量.所以有人说,代数就是符号的运算.

19世纪以前的代数,符号只能代表数,称为初等代数.初等代数的中心问题是代数方程的解法.我们知道,一到四次方程可用根式解,五次以上的方程能否用根式解呢?为解决这一问题,历史上一些数学家做了大量的工作.Galois等人解决了这一问题,答案是否定的.他们用符号代表任何东西,提出了矩阵,向量等概念.研究这些结构的性质就产生了《高等代数》和《抽象代数》,它们都是概念性的，公理化的.并且所讨论的对象已不是特定的实数和复数，而是非特定的任意元素集合的系统.

高等代数是早期代数学与现代代数相结合而产生的一门传统的课程，是历代科学工作者研究的成果的结晶。 早期代数学的中心课题是解方程问题。就方程本身而言，它是向两个方向发展的，一个方向是一元高次方程，一个方向是多元一次方程组与高次联立方程。前者的发展形成了后来的方程论（或多项式论）的研究，到了19世纪，还诱发了近世代数学的出现；后者的发展形成了线性代数学，它的中心内容是行列式与线性方程组理论、矩阵的理论及线性空间线性变换的理论等。

线性代数学的兴起与发展，大致与微积分学的兴起与发展是同时的，它都随着十七、十八世纪生产和科学技术的发展与要求而发展的。“线性”一词，源于解析几何中平面笛卡儿坐标系下的一次方程是直线方程，后来凡是一次的均称为线性的，这一称呼今天已深入到了科学技术的很多领域。

一般论述线性代数学的发展时，是从行列式的出现开始的。西方数学史家认为，首先提出行列式概念的是著名德国数学家莱布尼兹（Leibniz）。

人们特别提到中国古代从《九章算术》中的“方程术”开始，就实际上是应用矩阵的初等变换解线性方程组了。方程术可能对行列式概念的产生提供启示，而且它的演算实际上已经提供了今天计算行列式时，将一行（列）的若干倍加于另一行（列）这一常用的方法（下面讨论矩阵的历史时，还要谈到）。

莱布尼兹后，还有马克劳林（Maclaurin）也从事过这方面的工作。到了1750年，瑞士数学家克莱姆（Cramer）在他的《线性代数分析导言》一书中给出了用行列式解线性方程组的方法这就是后来称为的Cramer法则。那时行列式的定义中判断每一项是带正号或负号的手续比今天要复杂些，但定义的实质与今天相仿了。

首先将行列式的理论脱离开线性方程组，进行独立研究的是范德蒙（Vandermonde），时间是1772年。范德蒙还研究了用行列式的二阶子式及其代数余子式来展开行列式，这一工作当时被拉普拉斯（Laplace）推进到按k行的一切可能的子式及其代数余子式之积之和展开行列式，这一方法后来称为拉普拉斯定理。

行列式（Determinant）这一名称是著名法国数学家柯西（Cauchy）于1812年首先使用的。柯西还在1815年的文章中首先使用以等带双重脚标的字母来表示行列式的元，这篇文章中论述的关于行列式的乘法（即行列式行乘列的办法）对后来矩阵的运算有很大的影响。

在行列式理论的形成与发展过程中作出过重大贡献的数学家还有裴蜀（Bezout）、拉格朗日（Larange）、高斯（Gauss）维尔维特斯拉（Weierstrass）、西勒维斯特（Sylvester）、和凯莱（Cayley）等人。例如，正定的二次型的充要条件是它的行列式的各阶主子式为正，就是西勒维斯特的工作，他还推出了加边行列式的西勒维斯特恒等式。行列式的两条竖线，就是凯莱在1841年引进的。

1841年，德国数学家雅可比（Jacobi）著名论文《论行列式的形成与性质》，标志着行列式系统理论的建成。这之后，在行列式的理论与应用发展的同时，矩阵的理论以及与之相联系的线性空间线性变换的理论蓬勃地发展起来了。

在行列式的系统理论形成的同时，n维空间的概念也在形成。早在18世纪后半叶，著名数学家欧拉（Euler），拉格朗日和达朗贝尔（D‘Alembert）都直接或间接地提到过四维或n维空间的概念。18世纪末，拉格朗日在研究二次型化为标准形时，引入了n个变量的二次型。1844、1845年及1847年，格拉斯曼（Grassmann）与柯西等数学家分别提出了脱离了一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的n维空间概念。在此之前英国数学家哈米尔顿（Hamilton）于1843年发现了四元数 ，他想由此出发对向量作进一步研究。由于格拉斯曼与哈米尔顿等的工作，同时也由于19世纪中叶以后，近世代数学的发展，促进了n维向量空间理论，线形变换理论与矩阵理论的研究。

矩阵（Matrix）这个词是西勒维斯特在1850年首先使用的。在此之前，1849年凯莱已经介绍了可逆方阵对乘法成群，19世纪初已经出现了应用初等变换解方程组的著名的高斯消元法。在中国，这方面的历史可追溯到东汉初年（公元1世纪）成书的《九章算术》。《九章算术》第八算的题目是“方程”，所谓“方程”并不是“Equation”，而是“矩阵”。《九章算术》中说的“方程术”（兼用“正负术”下同）中的内容就是对“方程”（即矩阵）施行“偏乘”及“直除”两种运算。“偏乘”的实质就是以一个不为0的数同成一行，“直除”的实质就是将一行的同一倍加到另一行，也就是今天说的矩阵的初等变换（初等变换中的对调两行是可以通过“偏乘”与“直除”来实现的）。

例如，《九章算术》方程章的第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。向上、中、下禾一秉各几何？”就是布出“方程”（即写出矩阵）





后，通过一系列的偏乘、直除（即初等变换）化为








于是得下禾一秉实 ,之后依次求得中禾一秉实斗，上禾一秉实 斗的。



公元263年，三国时的刘徽注《九章算术》时，特别说明可以继续使用偏乘、直除之法，直到算术结果。那就是





刘徽还特别对《九章算术》中的“方程”加以说明，“此都术也，以空言难晓，古特系之以禾决之。”意思是，这是一种普通方法，由于抽象地说难以说清楚，故联系到禾的例子来决定它。《九章算术》方程章的18个题都是按照这种“方程术”来处理的，其中第13与18题都涉及到5个未知数（第13题“五家共井”还是一个不定方程）。人们清楚地看到，“方程术”就是今天线性代数中的“高斯消元法”我国在这方面的成就要比欧洲早1500年至1800年。后来，我国元代数学家朱世杰于1303年刊出的《四元玉鉴》中，也运用了矩阵。

在欧洲，由于有行列式的结果作为基础，1850年前后，矩阵理论的发展是非常迅速的，初期的功绩应归于两位长期合作的英国数学家——剑桥大学教授凯莱和西勒维斯特。其中特别是凯莱，矩阵的很多开创性工作是他作的。例如，由两个相继的线性变换引入矩阵的乘法，矩阵的乘法的性质，逆矩阵的求法与性质，转置矩阵的性质等等。凯莱还把行列式中已有的一些工作转入矩阵，如特征方程特征根等，此外如著名的哈米尔顿——凯莱定理的发现等，也都浸透了凯莱的劳动，其中很大一部分成果是他在1855——1958年间完成的。

现今的矩阵论的很多结果是在19世纪下半叶取得的。在19世纪50年代与60年代，还证明了复数矩阵中埃尔米特（Hermite）矩阵的特征根都是实数，以及实对矩阵及其有关二次型的结果。这一时期还引入了相似矩阵的概念，他可溯源于柯西在行列式中的一些工作。

一些数学史家认为维尔斯特拉斯在行列式论方面的工作，关于二次型的理论，不变因式与初等因式方面的工作，实际上为矩阵论在这方面的某些工作打下了基础。

在19世纪七、八十年代，德国数学家弗洛本纽斯（Frobenius）为矩阵论的发展作了大量的工作。他在1878年普遍地证明了哈米尔顿——凯莱定理，并提出了最小多项式的概念，在1879年引入了矩阵的秩的概念，正交矩阵的定义是他给出的；他还证明了 等公式，此外他还在初等因式与不变因式方面做了许多工作。

1870年，法国数学家约当（Jordan）用相似矩阵和特征方程的概念，证明了矩阵可以化为标准形，这就是今天说的约当标准形。

在19世纪下半叶，对行列式论与矩阵论发展作出重要贡献的还有克隆尼克（Kronecker）、道奇森（Dodgson）、阿达玛（Hadamard）、克莱伯施（Clebsch）、布克海姆（Buchheim）、泰伯（Taber）、亨泽尔（Hensel）史密斯（Smith）和梅茨勒（Metzler）等数学家。

1982年，梅茨勒引进了矩阵的超越函数，对 等建立了级数，矩阵论从矩数阵代数走向矩阵分析。

进入20世纪以后，矩阵的理论，线性代数及其应用，线性代数计算方法等又有了长足的发展，其中，我国数学家华罗庚教授也作了很多工作。线性代数的理论及其应用远远超出了数学的范围，它是物理学，力学及与电气相关的技术学科的主要数学工具之一和一般工程技术的常用数学工具，今天，甚至像生物学，医学等过去运用数学知识较少的学科都有线性代数的应用。线性代数学已经成为科学技术工作者的必备知识，线性代数课已经成为大专院校学生的必修课，不少国家在中学阶段就开始教授线性代数的基础知识了。

线性代数及其应用、矩阵论仍在继续发展中。（本文作者：清华大学应用数学系李文汉副教授）