自由度的個數與體積成正比。普通熱力學也支持這種看法

自由度是一個基本理論的重要性質。在場論中，給定一個空間體積，原則上沒有對自由度的任何限制。場論中的紫外發散的來源就是因為任意高能或者任意小的空間都有自由度。當重力介入，自然的想法是普朗克長度帶來距離上的限制，理論有一個紫外截斷。紫外截斷的引入使得一定空間體積中的自由度成為有限，很類似將連續的空間變成格子，所以自由度的個數與體積成正比。普通熱力學也支持這種看法，因為一般地說能量是一個空間上的延展量，也就是說能量與體積成正比。給定一個體積和一個紫外截斷，最大的能量的載體是一個達到普朗克能標的量子。將最小能量的量子到最大能量的量子加起來，熵也與體積成正比，從而也是一個空間上的延展量。

貝肯斯坦曾經考慮一個問題：給定一個系統的尺度（假定三個空間方向上的尺度一樣大）以及一個能量，該系統最大可能的熵是多少？如果沒有引力介入，或者引力的作用是微弱的，他的結論是，熵的上限是體統的尺度乘以體統的能量。這看起來似乎與前面說的熵是空間上的延展量矛盾，因為假如能量與體積成正比，貝肯斯坦熵的上限就與尺度的四次方成正比。其實這裏沒有矛盾，因為我們還沒有計及引力的作用。當引力存在時，貝肯斯坦上限依然有效，但能量不再是空間上的延展量。這就是黑洞的作用。能量足夠大，引力使得整個系統成為不穩定系統，系統塌縮形成黑洞。我們知道，黑洞的能量，也就是質量，與視界半徑成正比。將這個結果帶入貝肯斯坦公式，我們發現，熵的上限與系統尺度的平方成正比，也就是和黑洞的視界面積成正比，這就是貝肯斯坦－霍金熵公式。這是很奇怪的結論，黑洞的作用使得我們通常的微觀直覺失效，從而熵不再是空間延展量。由於黑洞本身是宏觀的，所以這個結論與空間的最小截斷無關。我們看到，黑洞的存在揭示量子引力的一個反直覺的性質，微觀與宏觀不是獨立的，體系的基本自由度與宏觀體積有關。