爱因斯坦凝聚 无相互作用的、有质量的、粒子数守恒的

金融理论都是线性的，对市场交易者互相间影响关联研究不够，

现代金融信息超负荷复杂化，研究交易者行为相对容易，TA pricing, cup with handle typical


http://kejian.tzc.edu.cn/ckwx/pdf/316.pdf

收稿日期：!""! # "$ # "%
作者简介：苗元秀（&%$!—），女，山东威海人，清华大学高等研究中心博士生’
第!! 卷第% 期大学物理()*’!! +)’%
!"", 年% 月
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
-.//010 23456-5 578’ !"",
稀薄原子气体玻色# 爱因斯坦凝聚
近期研究进展简介
苗元秀，翟荟
（清华大学高等研究中心，北京&"""9:）
摘要：论述了自&%%% 年涡旋态在稀薄碱金属原子气体的玻色# 爱因斯坦凝聚体（;0-）中成功实现以来有关
的;0- 理论和实验研究的进展及作者近期的部分探索，并介绍了相关的基本概念和理论’
关键词：涡旋态；相位相干；宏观量子隧穿；玻色# 爱因斯坦凝聚
中图分类号：. :,& 文献标识码：
众所周知，微观粒子可分为玻色子和费米子两大
类’受泡利不相容原理的制约，在一个体系中的每个费
米子只能占据一个量子态，而玻色子则不然，因此在特
殊的条件下，体系中可能有宏观数目的玻色子占据同
一个量子态的情形出现’ 对这一现象的理论预言最早
可以追溯到$" 多年前，量子力学建立之初’ &%!: 年5’
;)?7 把光子作为数量不守恒的全同粒子来处理，成功
地导出了普朗克黑体辐射定律’ 爱因斯坦随即将;)?7
的处理推广到无相互作用的、有质量的、粒子数守恒的
玻色子气体，得出结论：低于某一特定温度时，占据最
低单粒子态的粒子数与总粒子数的比值是有限的分
数，即发生玻色# 爱因斯坦凝聚（;0-）现象，这个温度
就是;0- 的转变温度’
现实系统不同于爱因斯坦当初处理的自由粒子体
系，其相互作用是不可忽略的’ 已知的;0- 体系如液
氦!，超导中的-))87@ 对及半导体中的激子，不是相互
作用太强，就是环境过于复杂，既使得理论上不易处
理，也无法区分实验现象中起作用的到底是相互作用
还是;0- 本身’ 因此，找到一种相互作用较弱且环境
又不复杂的系统是理论和实验的共同要求’ 理论上，早
在五六十年代杨振宁、李政道和黄克孙等人就系统地
研究了稀薄的"相互作用的玻色气体，得到了很多重
要的结论［&，!］’ 实验上，在&%%> 年，随着激光冷却和捕
陷技术的发展，终于实现了9$AB、!,+C、$/D 气态原子的
;0-［, E >］，这极大地推动了对弱相互作用原子气体
;0- 的理论和实验研究’ &%%$ 年，5’ -FG、-’ -)F7H=ICH=
H)GJKD 和L’M’ 2FD**D8? 因在;0- 实验必需的激光冷却
和捕陷气体原子的研究中所作出的突出贡献而获诺贝
尔物理学奖’ 由于原子气体玻色凝聚的实验实现，对这
一领域的理论和实验研究起到了巨大的推动作用，
!""& 年的诺贝尔物理学奖授予了领导实验实现;0-
的三人：-’ 0’LD7NCH、0’ 本文着重介绍;0- 理论的基础概念和弱相互作
用;)?7 气体的理论、实验和理论研究的进展以及我们
近期所作的一些探索’
! ;0- 的一些基本概念和方程［"］
!#! 非对角长程序和序参量
对于无相互作用的自由玻色子体系来说，发生
;0- 意味着体系的单粒子基态，即零动量态上布居有
宏观量的粒子’ 而实际的系统中粒子之间的相互作用
是不可忽略的，单粒子基态不能很好地定义，因此，原
来适用于自由玻色气体的玻色# 爱因斯坦凝聚的定义
就需要推广了，这就要用到杨振宁&%Q! 年提出的非对
角长程序的概念［$］’
对于自由玻色子体系，单粒子的动量量子数是好
量子数’ 在坐标表象下单粒子密度矩阵的非对角元是：
〈!" R# !& R !〉S & ( ) " " $%7T8 D!（ !" # !），其中" 是体
积&对于费米子和玻色凝聚温度以上的玻色子来说，当
!" # !#U时，〈!" R!V
& R !〉#"& 在凝聚温度以下，零动量
万方数据
态上的粒子数是!! " "!，这里" 是总粒子数，! 是一
个有限的分数，于是当#$ # #!$时，〈#$ %"&
’ % #〉!"!
# %
所以说，本质上玻色# 爱因斯坦凝聚就是单粒子密度
矩阵的非对角元在长波极限下为非零值% 把这一观念
加以推广，对于一个一般约束下有相互作用的系统，如
果当#$ # #!$时，〈#$ %"&
’ % #〉!"!$"（ #$）$（ #）( 8943;，
我们称这个系统具有非对角长程序%非对角长程序是一
个没有经典对应的量，它的出现说明系统的单粒子约化
密度矩阵至少有一个本征值为&（"）量级的本征态%
（!）"如果系统的单粒子约化密度矩阵有多于一个的本
征值为&（"）的量级的本征态，则被称为碎裂的)*+
（,-./012314 )*+）5通常我们涉及的多是前一种情况5 此
时，复函数%（ !）就是“凝聚体的波函数”，是)*+ 的序
参量5目前普遍的选择是%（ !）"〈’%
（ !）〉，即玻色场算
符的系综平均值%类似地，对于相互作用费米子体系，判
断是否会发生)*+ 则要看二粒子约化密度矩阵"6
（!#’
，!#6
，!’
，!6
）是否存在非对角长程序"
!"# 运动方程
6! 世纪7! 年代后期，杨振宁教授等人应用*5 81-9
0: 等发明的赝势法，给出了稀薄玻色气体相互作用的
一般形式
(（ $) # $*
）" ;!+&6
, " （ $) # $*
）#-" （ $) # $*
）
此处+ 是= # 波散射长度，+ > ! 和+ ? ! 分别代表粒
子之间是排斥和吸引相互作用，, 是粒子的质量［’］%
这样，处于外势中的玻色系统的二次量子化哈密顿量
就可以写成
’.
"$4 (（ $） #&6
6,
6 ( [ ] ( ’%
（ $）(
’ 6$4 4 (（ $）’%
(（ $#）-" （ $ # $#）’%
（ $#）’%
（ $）
其中’%
（ $）是玻色场湮没算符，其运动方程是
:&%’%
%0 " #&6
6,
6’%
( (’%
( -’%(’%
’%
将场算符’%
（ $）分解成两部分，一是描写凝聚体的部
分，称为凝聚体波函数%（ $）"〈’%
（ $）〉；二是非凝聚各
态的场算符’’
（ $）" ’%
（ $）#%（ $），它满足〈’’
（ $）〉" !"
则场算符’%
（ $）可以写成’%
（ $）"%（ $）( ’’
（ $）" 将其代
入运动方程式中，并取平均，得到凝聚体波函数满足的
非线性方程：
:&%%
%0 " #&6
6,
6%( (%( -（6!$ ( %%%6）%
其中!$ "〈’&
(’&
〉% 由于)*+ 形成后，可以忽略非凝聚
的部分，得到的方程即为@-ABB # C:3.1DBE:: 方程：
:&%%
%0 " #&6
6,
6%( (%( - %%%6%
在求’&
的运动方程时需要对其线性化：略去场的涨落，
将’&
(’&
用其平均值!$代替，’&
’&
的平均值为零% 得到的
’&
的运动方程为
:&%’&
%0 " #&6
6,
6’&
( (’&
( -［6（!$ ( %%%6）’&
(%6’&
( ］
!"$ 相位相干
)*+ 系统的波函数不仅可以像一般的多体体系能
用含有各个粒子坐标的" 体波函数%（ $’
，$6
，8943;，$"
）
来描述，而且由于系统的高度相干性，还可以用单变量
复函数%（ $）描述" 这里$ 所及的范围是整个体系的宏
观尺度，而且涉及宏观量的粒子，所以%（ $）也被称为
宏观波函数，它描述了)*+ 系统的一个重要性质：相
位相干5 可以把%（ $）写成振幅和相位分离的形式%
（ $）" "&（ $）1(:（ $），"（ $）" %%（ $）%6 代表粒子数密度，
也是宏观量" 波函数的相位可以差一个任意实常数" 值
得注意的是，对于任意两点$’
和$6
，不论它们相隔多
远，只要都在体系内，其相位差(（ $’
）#(（ $6
）就是固
定的，这说明了整个体系是相干的" )*+ 的相位相干性
已得到实验的验证［F］5
!"% 超流和涡旋
原子气体)*+ 的研究与超流现象有密切关系5
’G 超流的本质是量子统计现象，与)*+ 有关［G］5 目前普
遍接受的观点是超流的性质由玻色# 爱因斯坦凝聚体
携带5 超流的主要性质有：无耗散、无旋性和能支持持
续流5 将)*+ 波函数写成上述振幅和相位分离的形
式，可以看出)*+ 中的流是无旋的且满足环流量子化
条件5 这说明了相位相干性与超流的无旋性和环流量
子化之间的密切联系5 从)*+ 波函数算出的流密度为
% " :&
6,
（% %" #%" %）" &,
" (
将% 写成% ""!B
，!B
就是超流体速度，由凝聚体波函数
相位的梯度决定：!B " &,
(，它显然是无旋的，即
I !B " &,
I (" !% 这揭示出)*+ 具有超流的无旋
性5
沿流体中的任何一条封闭曲线1 作超流速度!B
的
线积分：
’1
!B
·4& " &,
’1
(·4& " &,
（$(）1
（$(）1
表示经过封闭曲线1 绕一圈后回到起始点相位
的变化% 由于波函数的单值性决定了相位的变化只能
是6!的整数倍，因此
; 大学物理第66 卷
万方数据
!!
!!
·"! # $!!
""， "# %，& ’，& $，8943;
这就是超流的环流量子化条件#
由于超流的无旋性，使得它对旋转的响应与通常
流体明显不同# 以液氦"为例，只有当器壁转动角速度
大于某一临界值时，超流体才会转动，否则，就只有正
常流体部分在转动，而且超流体部分的转动也不同于
通常流体的整体转动，而是形成涡旋或涡旋晶格（()*+
,-. /0,,12-）3 如果外势$ 具有柱对称性，涡旋态就是
4*)!! 5 61,0-7!811 方程的一个激发态的解3 它的波函数
的一般形式为## "$（ "）-"1%，"# %，& ’，& $，8943; # 由此
给出的超流体速度为!% # !"
"
% 9
，是无旋的且满足环流
量子化条件#
涡旋是一种有奇点的拓扑激发，可以用一个拓扑
量子数，即绕数来定义每种拓扑不等价的涡旋激发# 绕
数不同的涡旋是不能通过一个连续的变化相联系的，
即在没有外界作用时这个拓扑量子数应守恒# 前述涡
旋的一般形式波函数中的" 就是它的绕数，也是它的
角动量量子数，表示:; 柱对称的阱中，涡旋的奇点是一条线，线上的原子密度
为零# 因为涡旋的能量与绕数的平方成正比，因此"=
’ 的涡旋在能量上是不稳定的，它会自发地变成" 个
角动量量子数为’ 的涡旋#
! 实验、理论进展简单概况
目前的:; 子数（即电子自旋加核自旋量子数）为整数的碱金属气
体原子，总原子数典型值为’%> ? ’%@ 个，被束缚在磁阱
或光阱中，温度极低，约为几十到一百几十AB，凝聚时
的最大密度约为’%’’ ? ’%’C 2D5 E，比在室温和大气压
的情况下，空气中的分子密度（约为’%’F 2D5 E）还要低
得多，因此使:; 度下，粒子之间的碰撞只需考虑两体之间的G 5 波散
射，可用一个参量，即G 5 波散射长度) 来表征# 在外
加磁场的情况下，甚至可以调节磁场通过H-!IJ02I 共
振的机制使散射长度改变正负号［’%］，即原子之间的相
互作用由排斥变到吸引或反之3 相互作用使:; 物质波与光发生相互作用时表现出丰富的非线性现
象，如使光速减慢［’’］、四波混频［’$］等3 实验中的:; 可以做得很纯，在极低温度下凝聚体的成分高达F%K
以上，热原子几乎看不到3
自从弱相互作用的原子气体的:; 现以来，对它的各种性质的理论和实验的探讨一直很
热3 总体来说，理论和实验主要有以下几个方向：
’）相互作用对凝聚体性质的影响
由于实际存在的原子之间的相互作用使得基态波
函数、:; 以及激发谱均不同于无相互
作用的情况［’E，’>］，研究的目的在于揭示相互作用的影
响3对于无相互作用的自由玻色子系统，其转变温度可
以解析地给出3 如果将粒子之间的相互作用再考虑进
去的话，临界温度是会改变的3 对于排斥相互作用对转
变温度的影响，不同的方法得出的结果不完全一
致［’>］3
凝聚体激发的有限温度理论还有待于进一步发
展3 从对称性自发破缺的观点来看，:; 该是无能隙的3 描述热平衡状态下束缚在势阱中的玻
色气体的标准的平均场理论，即L0*,*-- 5 H)28 5 :)M)/1+
NJ)7 理论，考虑了原子之间的关联（被称为奇异密度的
项），但它给出的激发谱是有能隙的3 如果不考虑奇异
密度项，就是6)O)7 近似，可以给出无能隙的激发谱，
但6)O)7 近似在温度* = %PQC*2
时，理论结果与实验
相差很大［’C］3
玻色5 爱因斯坦凝聚形成的动力学过程涉及热原
子之间、凝聚体原子之间以及热原子和凝聚体原子之
间的碰撞的非平衡的过程3 当体系处于离平衡态不远
时，其演化可以较好地了解，而如果体系从远离平衡态
下开始演化，问题就要复杂得多3 40*"1A-*、R)//-* 等人
发展的描述稀薄玻色气体的量子动力学理论将原子之
间的碰撞看作随机过程，所得结果与实验定性符
合［’Q，’@］3
$）光学晶格中的:; 光学晶格是由激光驻波场形成的，一维和三维光
学晶格中的:; 中的玻色凝聚体的研究已使得我们对它的相干性有了
很好的认识，但由于光学晶格是比双阱更为复杂的系
统，所以需要把已有的方法加以推广，以便可以描述这
种多团凝聚体之间的相干性3 在一维的光学晶格中，由
于晶格周期性的存在，使得它具有一些固体中常有的
性质，如:/)2I 振荡之类3 三维光学晶格中新的实验则
发现通过调节系统参数可以在这一系统实现从“T),,
绝缘体”到超流体的量子相变3
E）:; 原子气体:; 应地，研究者致力于研究:; 临界速度，能否产生涡旋和涡旋的稳定性等3 因为:; 具有超流的无旋性，因而对旋转的响应是形成涡旋3 如
果在外加旋转微扰的作用下凝聚体积累足够多的角动
量，就可以在其中形成三角的涡旋晶格3 理论上，在与
第F 期苗元秀等：稀薄原子气体玻色5 爱因斯坦凝聚近期研究进展简介C
万方数据
微扰同频旋转的转动坐标系中，!"# 系统的哈密顿量
与量子霍尔体系的哈密顿量很相似［$%］& 因此，量子霍
尔体系中的朗道能级的概念、’()*+,-. 波函数以及系统
基态性质研究的许多其他结果都可能在这里应用& 已
有文献证明［$/］，在快速旋转的极限下，体系表现出不
可压缩的量子流体的性质&
0）光阱中多组分!"# 的研究和!"# 中的拓扑激
发
由于磁阱提供的约束势依赖原子的总自旋，通常
只能束缚一种内部状态的原子，而光阱的约束势不依
赖于原子的超精细结构态，所以光阱中的!"# 由于丰
富的内部结构可以表现出更多不同的性质［$$］，对它性
质的研究是一个热点&
在多组分!"# 中，由于其平均场的对称性空间更
为丰富，使得它可以支持更多的拓扑上非平庸的激发
模式［$1］，如23456-7.，单极子等&
8）玻色子9 费米子混合体系
在将玻色子或费米子冷却到极低温时，需要粒子
间的有效高频低能2 9 波碰撞，但因为费米子满足泡
利不相容原理，所以两个费米子的2 9 波散射是被禁
戒的，而玻色子和费米子的碰撞则不受此限制，因此实
验中采用玻色子和费米子混合冷却的办法降低费米子
的温度& 这种超冷的稀薄的混合气体会进入统计的简
并态，即费米统计起重要作用，可以讨论这种系统中简
并费米子气体的可能配对机制［$0］&
:）吸引相互作用的!"#
通过调节外磁场，可以使碰撞原子的自由态和能
量接近零能的准束缚的分子态共振耦合，这就是;
?(@+ 共振［/%］! 它能够强烈的影响原子的散射长度，可
以使散射长度由正变负，即相互作用由排斥变为吸引，
当然也可以反过来! 由于粒子之间是吸引相互作用的
情况下，粒子数大于一定数值"#$
后!"# 是不稳定的，
所以在形成总粒子数超过"#$
的排斥相互作用的凝聚
体之后，利用; 排斥忽然调到吸引时，整个体系会忽然失稳、快速塌
缩，反弹并释放出高能量的原子! 这可以模拟超新星的
爆发［$8］! 此外，最新的实验还在这一系统中产生出由
很多孤立子首尾相连组成的“火车”［$:］!
A）光与!"# 的相互作用以及原子激光的研究
原子之间的非线性相互作用使光和!"# 相互作
用时产生四波混频、光速减慢等现象!
!"# 作为相干原子源可以用于基本常数的精确测
量、原子干涉仪等! 它的输出最初是脉冲式的，后来可
以做到准连续和连续地输出!"#!
! 关于旋转!"# 的近期一些理论研究
!"# 具有超流的无旋性，因此在外界旋转微扰的
作用下会形成涡旋或涡旋晶格，涡旋是与微扰同频率
旋转的坐标系中的热力学平衡态! 但如果将旋转的微
扰撤掉之后，涡旋态不是静止坐标系下的热力学平衡
态，而且，从能谱上分析知道，它在能量上是不稳定的!
我们讨论了涡旋态向能量低、无角动量激发的核心态
跃迁的动力学过程! 由于目前的!"# 实验可以将!"#
做得很纯，热原子几乎不可见，它对涡旋的不稳定不会
是主要的因素，因此考虑其他能够造成涡旋跃迁到能
量低且无角动量激发的核心态的机制是有意义的! 现
实实验中能够引起这种跃迁的机制主要是与坐标有关
的非对称的微扰，在这种微扰的作用下，涡旋态和核心
态的粒子数随时间的变化是反相振荡的! 由于微扰跃
迁的双向性，使得核心态的粒子数不能超过总粒子数
的一半! 因此，从时间平均的角度看，整个系统处于涡
旋态和核心态的叠加态，并且处于宏观量子自束缚状
态!
有旋转的微扰作用下的!"# 系统会表现出很丰
富的宏观量子隧穿现象! !"# 具有宏观波函数，整个体
系是相位相干的，因此会有宏观量子现象存在! 研究表
明，当外界微扰的转动频率固定时，在一定的参数范围
内，由于量子相干隧穿，系统处于两个宏观量子态的相
干叠加态，即薛定谔猫态! 在另外的参数范围内，当微
扰的强度足够大时，系统处于约瑟夫森隧穿的区域! 朗
道9 自诺效应是量子力学中被深入研究过的一个重要
隧穿效应，考虑到!"# 的量子性与宏观性，在这个系
统中将存在具有非线性自相互作用项的非线性朗道9
自诺效应，当微扰的转动频率随时间变化时，相互作用
参数会对跃迁率产生影响，这种效应与涡旋的形成有
密切关系!
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第D 期苗元秀等：稀薄原子气体玻色, 爱因斯坦凝聚近期研究进展简介E
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