线性的数学期望只能应用于处理概率模型是确定的情况

系统平衡：when price y going up, time is the agent of X, bears, while price y going down, time is the agent of bulls

线性的数学期望只能应用于处理概率模型是确定的情况

彭实戈 现代概率论的本质 数学期望是线性的 处理概率模型是确定的情况 (图)


来源: marketreflections 于 09-08-31 12:07:58 [档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话]





回答: 期望效用函数 U(X) = E[u(X)] = P1u(x1) + P2u(x2) + ... + Pnu(xn) 由 marketreflections 于 2009-08-31 10:58:11



http://www.bicmr.org/PublicLectures/PL090615/index.html

数学大师柯尔莫哥洛夫1933年建立的现代概率论已被广泛应用到不同的领域，这个理论的本质是：数学期望是线性的。但线性的数学期望只能应用于处理概率模型是确定的情况。在模型不确定情况下，为了克服线性期望在描述、解释和处理经济、工程问题时的不足和缺陷，曾有许多著名的数学家与经济学家长期致力于研究非线性数学期望，如著名数学家、位势论专家Choquet 曾经定义过非线性概率（即Choquet 容度）和 Choquet 期望等。但这些理论框架在定义t 时刻已知信息下的条件期望时遇到了本质困难，从而无法建立非线性期望理论框架下的布朗运动、随机积分、以及相应的随机分析理论。在建立大数定律和中心极限定理方面也遇到了巨大的困难。

通过一个全新的视角，我们引入了非线性期望理论框架下的正态分布（G-正态分布或G-高斯分布）的概念，我们用一种全新的方法证明了：对于概率、统计模型不确定的系统，对于一个“独立同分布”的随机序列，中心极限定理依然成立，而其极限分布就是G-正态的。这个结果不仅可以直接用来解释一些经济学现象，也揭示了全非线性二阶偏微分方程与不确定模型的概率统计理论的深刻内在关系，并推动发展了一种全新的非线性蒙特卡罗方法。

我们还建立了模型不确定时的连续时空的理论框架，这是一个新的优美而有力的理论体系、包括了G-布朗运动、相应的随机积分、随机微分方程和新的Ito公式。这也是现代动态金融风险度量理论的基础和计算工具。