不同频率简谐波的叠加，形成复波, 不再是简谐波，而是更复杂的波（能传递信号）。

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2-10 声波


61623; 声波是机械纵波


61623; 声压、声强、声强级


61623; 超声波、次声波


61623; 复波


2-11 复波


61623; 相速度、群速度


61623; 色散


61623; 非线性效应对波动的影响（孤波、孤子）


目录


1.8 谐振分析


61623; 周期函数的频谱分析与付里叶级数


61623; 非周期函数的频谱分析与付里叶变换


作业：2-24，2-25，2-26






2-10 声波


61623; 声波是机械纵波


频率高于20000赫兹的叫做超声波。


* 声的产生、传播和接收。为听觉服务，如

声音的音质、音响效果；声学在建筑学方面

的应用，噪声的避免等。


20到20000赫兹之间能引起听

觉的称为可闻声波，简称声波。


频率低于20赫兹的叫做次声波；


* 利用声的传播特性研究媒质的微观结构；

利用声波的作用来促进化学反应，为科技服务。


研究的分类：


声的概念不再局限于听觉范围，

几乎是振动和机械波的同义词。


声波


20000Hz


20Hz






设在弹性媒质中有一平面余弦纵波， 为密度, 为声速


媒质中有声波传播时的压力(压强)与

无声波传播时的静压力之差称为声压。


61623; 声压


由体弹性模量的定义：


应变为：


稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。

由于疏密的周期性，声压也是周期变化。






所以声压 为：


声压的振幅为：


61623; 声强、声强级


* 声强就是声波的平均能流密度。


即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。


(书2.31)






式中加速度的振幅：


由此可知，声强与频率的平方，振幅的平方成正比。


这样的超声波在几个毫米范围内有比重力加速度 g

大十多万倍的正负加速度和近百个大气压，可见它

的威力。因此，有重要的应用。


声强


超声波的频率高 ，而波长在毫米数量级。

压强振幅约 大气压。


加速度 已达重力加速度的上百万倍；






引起人的听觉的声波，还有一定的声强

范围。大约为10－12瓦/米2 ～1瓦/米2。

声强太小听不见，太大会引起痛觉。


定义声强级L为：


单位为贝耳(Bel)


1Bel=10dB


单位为分贝(dB)


* 声强级


由于可闻声强的数量级相差悬殊，

通常用声强级来描述声强的强弱。


声音的响度是人对声音的主观感觉。


规定声强 I0=10-12瓦/米2作为测定声强的标准


有的地方规定户外声音

不得大于100分贝。


如炮声声强 1瓦/米2 ，声强级120分贝。






61623; 超声波、次声波


* 超声波：频率高，波长短，定向传播性好；

穿透性好，在液体、固体中传播时，衰

减很小，能量高等。


定位、测距、探伤、显象，随着激光全息的

发展声全息也日益发展，它在地质、医学等

领域有重要的意义；


近来在超声延时方面有新的发展，因为它的波速比电磁波速低。


由于能量大而集中可用来切削、焊接，钻孔，

清洗机件还可用来处理种子和催化。


特点


用途


超声波的传播速度对于介质的密度、浓度、成分、

温度、压力的变化很敏感。利用这些可间接测量

其他有关物理量。这种非声量的声测法具有测量

精密度高、速度快的优点；






频率在10－4～20赫芝之间

的机械波，人耳听不到。


* 次声波


因为大气湍流、火山爆发、地震、

陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自

然活动中，都有次声波产生，因此，

它是研究地球、海洋、大气等大规

模运动的有力的工具。


特点一


用途


由于它具有衰减极小的特点，

具有远距离传播的突出特点。

已形成现代声学的一个新的

分支—次声学。


特点二






任何一周期函数都可表示为简谐函数的合成。

也就是说，任何一个复杂的周期振动都可以

分解为一系列简谐振动之和。


称为周期函数 的付里叶级数,

而 和 称为付里叶系数


1.8 谐振分析


61623; 周期函数的频谱分析与付里叶级数






这些分振动中频率最低的称为基频振动，它

的频率就是原周期函数的频率。称为基频。


其它分振动的频率都是基频的整数倍，称为谐频。


频谱：以频率为横坐标，以相应的振幅为纵坐标

所作的图解，称为该振动的频谱。






1


3


5


7


1


3


5


7


1


3


5


方波


三角波


锯齿波


阻尼振动


连续谱和离散谱






频谱分析:周期性振动具有离散谱。

这种将任一振动分解为简谐振动的

方法称为频谱分析。


61623; 非周期函数的频谱分析与付里叶变换


任一非周期函数也都可表示为简谐函数的合成：


上式称为非周期函数的付里叶积分。

或是 的付里叶逆变换。


称为非周期函数的

付里叶变换。






非周期振动的频谱是连续谱。波形和频谱互为

付里叶变换，它具有鲜明的物理背景，频谱分

析是研究振动的重要方法之一。二十世纪六十

年代以来，


称为非周期函数

的付里叶变换。


付里叶变换的方法把电子衍射图形

与电子显微成象有机地结合在一起，

为晶体结构的研究开拓了新的途径。


非线性达到一定程度时，才能激发分数频率，

称为周期分岔，预示混沌现象的到来。


见从单摆到混沌课件。






不同频率简谐波的叠加，形成复波。


两列波的合成波：


2-11复波（波包）


61623; 复波


它不再是简谐波，而是更复杂的波（能传递信号）。


设有两列沿X轴正向传播的简谐波：






令：


则合成波可写为：


上式可看成是

振幅 以频率

缓慢变化着

而各质元以频

率 迅速振动

着的波。


频率比为 3:1 两列简谐波的合成


复波


某时刻






如果忽略两成分波的相速度的差别，


这一相速度也就等于成分波的相速度。


61623; 相速度 、群速度


* 群速度是复波振幅包络线对应的相的运动速度：


振幅包络线称为波包或波群。


* 合成波的相等于常数时 在空间

移动的速度定义为复波的相速度：


携带和传递信息的是波包的振幅，

即群速度是能量的传播速度。






不同的频率或不同波长的光波具有不同的颜色，

它们有不同的相速，相应有不同的折射律，称

为色散现象。显然波的色散是由媒质特性决定。


在 和 很接近的极限情况下，群速度


代入 得：


61623; 色散


相速 u 与波长 无关的，称为非色散媒质。

如在媒质中传播的弹性波。


反之相速 u 与波长 有关为色散媒质。


相速


群速






通常，称 为色散关系，由它可以求出群速度


所以，随着时间的推移，波包将会逐渐

扩散开去，即波包的宽度将逐渐增大。


群速小于相速，称为正常色散；


群速大于相速，称为反常色散；


代入 得：


或






61623; 非线性效应对波动的影响


* 恢复力与媒质形变成正比 ,因此波动方程为线性，

且遵从叠加原理。同时，波的传播速度只与媒质的

性质有关，与振动状态无关。


* 当考虑非线性项,导致媒质中各点的波速与质元

的位移大小和正负有关；波形随着传播距离的增

大而发生越来越大的畸变。原来的简谐波可以变

成非简谐波，即高频谐波将积累增强，形成冲击波。


如：






* 非线性波的另一个性质是叠加原理不成立。


* 非线性效应使媒质对低频波的吸收也增大。


因为媒质对波的吸收通常随波的频率增高而增大，

所以，通过媒质后留下的主要是低频波。


通常，称 为色散关系（色散效应）。


非线性动力学方程导致媒质中各点的波速不同

与质元的位移大小和正负有关，称之为媒质对

大振幅波非线性效应。






孤子具有定域性、稳定性、是完整性的孤波。

（所谓完整性指当两个孤波发生碰撞后仍然

能保持原来的形状、速度各自传播)。近年来，

在各种不同的学科领域中，理论和实验中都

出现了孤子的这种运动形态，例如流体中的

涡旋、超导体中的磁通量子、激光在媒质中

的自聚焦以及神经系统中信号的传递等等。


是在媒质中大振幅波的非线性效应

以及媒质的色散效应的共同影响下，

所形成的一种特殊的波。即在一定

的条件下，色散效应与非线性效应

所产生的影响相互抵消时，波峰的

形状在传播过程中保持不变，便形

成了孤波。


孤波


孤子


《波动与光学》101页，“信号和能量随着复波传播，其传播的速度就是波包移动的速度，即群速度。理想的简谐波在无限长的时间内始终以同一振幅振动，并不传播信号和能量，和它相对应的相速度u只表示简谐波中各点相位之间的关系，并不是信号和能量的传播速度。”我们知道，振动不会传播能量，而传播能量的是波动，因此这里的理想的简谐波应该就是一种纯粹意义上的振动而不是波动了，注意这是概念本身的内涵决定的