杨本洛 西方人构建的现代自然科学体系 整个西方哲学体系

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... 表述，甚至把某一个特定坐标系“分量集合整体”中的某一个“单独分量”孤立开来，以一种过分简单的“形而上学”方式讨论张量的特征，恰恰成为对“张量本质”的根本背离。 ...
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作者：杨本洛



呼唤我国职业科学工作者的科学良心和社会责任

—— 回复复旦大学辜英求老师再次来函并致谷超豪、李大潜等职业数学家的公开信

杨本洛

2009-03-10


复旦大学数学科学研究所的辜英求老师与我素昧平生，以往彼此没有任何接触，我也从来没有听说过这位从未谋面的老师，更不知道辜老师曾经读过我在批驳“相对论”方面写过的文章或著述，并且似乎还颇有兴趣（无论是肯定还是批判的）。辜英求老师于2月26日给我发来了电子邮件，随信寄来他所写《相对论中的悖论与重新解释》的文章，要徵求我的意见。其后，针对我的回复，辜英求老师又相继发来两封来函。（此文算作是对其最后一封来函的公开回应。）1

读了辜英求老师信中所附《相对论中的悖论与重新解释》文章，笔者发现，文中提及几乎所有最基本的科学理念，与自己已经出版一系列著述所表达的观点截然相反，完全处于根本的对立和冲突之中。显然，对于辜英求老师的来函，恐怕不单单是一种纯粹私人意义的通信往来。更为准确地说，应该是辜英求老师本着“学术民主、自由争论”的基本原则和优秀传统，对笔者所持学术观点一次较为系统的反驳和公开论战。谈论所及，无不涉及最基本“科学观”的严重分歧，关系到对一系列彼此相关重大“科学命题”两种完全不同的判断。因此，笔者不仅理应承担一种严肃的科学责任，对辜英求老师来信所提问题做出明确回应，而且还因为这些问题是如此根本、重大和具有一般性意义，本质上表现为“认同”与“反对”当代西方科学主流社会所持科学观的原则性分歧，所以需要遵循学术争论“公开、公平、公正”的原则，将彼此的学术歧见公示于社会大众。当然，这同样是笔者以为需要以“公开信”的方式，希望与以谷超豪和李大潜院士为代表的我国主流数学界，针对一系列最基本的数学以及科学命题进行公开讨论的根本原因。

这些年来，我国学界“反相对论”浪潮迭起。然而，笃信“相对论”的主流科学工作者能够真正站出来，使用严肃的科学语言，公开回应对“相对论”批判的并不多见。众所周知，在20世纪的西方科学世界，曾经掀起一个“物理学几何化”的运动。但是，甚至陈省身先生也坦言“在讲述一半自己不懂的题目”的时候，物理学的“几何化”运动已经完全失去任何可信的基础。几何学和物理学同属自然科学体系。但是，几何学和物理学各具独立的有限论域，绝不能将两者混为一谈。在辜英求老师的文章中，首先开宗明义地做出“相对论不是别的，而仅仅是一种几何”的前提性判断，试图以这个因为得到科学主流社会普遍认同，所以看似“毋庸置疑”的大前提，为只允许建立在个别人“直觉顿悟”基础之上的“相对论”的“合法”存在，做出一种同样看似“毋庸置疑”的辩护。但是，恰恰因为“物理学几何化”存在导向性错误，给自始至终充斥着矛盾和悖谬的“相对论”蒙上了一层神秘的面纱，最终异化为任何人不可能真正读懂的“神学”而已。

从1996年开始，笔者相继出版了一系列学术著述。除了针对西方科学体系许许多多局部性推导和立论之中几乎无处不在的逻辑不当或错误提出批判，并相应作一系列重新建构以外，笔者逐渐形成并公开表述这样一种“整体性”的判断或科学观：包括“相对论”、量子力学以及Riemann微分几何在内，一切只允许建立在“公理化假设 —— 约定论”基础之上的陈述系统，不仅因为缺失“实体论”基础的必要支撑，异化为没有任何实际应用价值的主观独断，而且还因为相应缺失确定逻辑前提的必要约束，必然充斥着矛盾、悖谬和荒唐。与此同时，笔者还明确指出：主要由西方人构建的现代自然科学体系，之所以堕落为崇信“约定论”的虚妄和自欺，出现放弃逻辑和理性的荒唐，还可以逻辑地归因于西方哲学家在“认识论”方面始终无法回答的认识困惑。故而，国人需要重新建树“理性原则”的准绳和信心，重新拿起西方人无奈放弃的“逻辑批判”武器，不仅针对主要由西方人构建的现代自然科学体系，还需要对整个西方哲学体系进行一次“历史性和全局性”的梳理。

其实，只要稍加认真思忖辜英求老师最初寄来的信件与信中所附文章，那么，它的矛头所指，无疑是对我个人所持科学观或者几乎所有研究结果的整体性挑战和否定。于是，我的公开信已经不仅仅针对某个研究者“个体”所提根本否定做出的郑重回答，本质上应该视作两个根本对立“思想体系”之间的一次十分严肃的学术争论。或者说，面对主要由西方人构建的现代自然科学体系乃至西方哲学体系的整体，在“挑战、质疑经典理论并试图重新建树理论体系”的一方与“认同、坚守和维护旧理论体系”的另一方，一次不无严峻、深刻和尖锐的大论战。勿庸置疑，这样一种学术交流或思想交锋，本质上已经不再具有纯粹私人之间通信的意义，它需要每一个真诚和严肃的科学人坦荡待之。而且，为了尽可能避免20世纪末西方知识社会那一场“科学大战”从喧嚣震荡开始、最终却一切重归沉寂和初原的无效循环再次出现，人们必须针对具体的学术命题，进行公开、平等和严肃的交流和争论。事实上，面对对立的基本科学观，或者重大科学命题不同研究结果的重大差异，这种态度一直是笔者长期秉持的处理方式与遵循的基本原则。

随着笔者的学术著述陆续出版，特别是对主要由西方人所构建自然科学体系以及西方哲学体系的批判愈益广泛和日渐尖锐，理应将一些读者的来信或批判公诸于众，一方面，努力汲取营养，公开修正和改正可能存在的一切不足、不当和错误；另一方面，坚守自己认为是正确的理念和研究结果，坦然地将自己置身于“科学批判一只靶子”的位置之上。事实上，这同样是笔者接受许多朋友的建议，于不久前设置“个人网站”的初衷。只有“坦然诚恳”地对待科学争论和批评，秉持“公平、公正、公开”的基本原则，才可能在我国的科学生活中逐渐形成一种“健康正常”的学术交流氛围，相应构建“科学、理性和有效”的学术论证机制。

当然，针对严肃的学术命题进行公开严肃的讨论，其实恰恰符合辜英求老师在3月4日信中提出“既然写这样的论战信，理应把我的文章一起附上，这样别人才知道你在说些什么”的正当要求。可惜不知什么原因，辜英求老师何至于如此快地出尔反尔，在3月6日的来信，使用“更可气的是不经他人同意就把它挂到了网上。请你赶快删掉，我没时间和你扯淡，别惹更多麻烦”这样一种完全超出知识分子文明范畴的语言甚至恫吓。在辜英求老师3月4日来信中，既然已经做出“我的文章尚未公开，不过以咨询方式征求你的看法，怎么具体建议没有一条，倒引出这么个充满火药味，不着边际，横扫一切的公开信。这种学风是不是很不正常，涉及道德问题”的严厉批评，那么，涉及“学风”这样的原则性问题就不要轻易放弃，更不应该随便放纵违背学术道德的严重错误。作为一个显而易见的事实，笔者遵循科学研究和学术讨论中一以贯之“力求严谨”的习惯，将辜英求老师文章中所提众多立论前提整理为九条，并逐一提出自己完全不同的观点。不仅于此，还明确提出“实体论”的微分几何、流体力学、电磁场理论中许多没有真正解决的数学命题，希望我们的职业数学工作者能够给予关注。难道所有这一切还不是“具体建议”吗？无论面对褒扬还是批评，每一个科学工作者都需要保持科学研究的执着、坚毅和平常心，襟怀坦荡地接受科学准则和科学道德的审视和批判。至于辜英求老师3月6日的来信，甚至提出“今天稍微细看了你的什么公开信，我发现你纯粹是个疯子：自己啥也不懂，除了一大堆废话，剩下的就是赤裸裸恶毒攻击”的骂人之语，只能将其视作来信者情急之下的冲动和失态，才会如此有违大学教师的起码风范。当然，笔者无须也完全没有兴趣、时间和精力，当真追究辜英求老师这种可以大致推测和体谅的愤怒和失态了。

然而，涉及严肃学术命题争论的帷幕既然已经打开，对于任何一名严肃的科学工作者而言，就不可能草率地将大幕再随意阖上。可以相信，所有关注人类科学事业如何健康发展，期待我国的基础科学研究尽快步入世界民族之林的人都明白：笔者在题为《反思一文若干概念前提》的公开信中，针对辜英求老师所提一系列概念前提的所做的批判和根本否定，以及关于目前科学生活中大量反常（或者人们一般所述的科学腐败）现象提出的批判和建议，完全不像辜英求老师所述只是一大堆废话，相反，它们是如此基本和重要，反映了“两种科学理念、两种研究方法、两种研究结果、两种治学精神、两种道德准则”的根本对立和冲突。并且，之所以要将这场争论公布于众，因为在本质上它完全不涉及个人之间的意气之争，而关系到现代自然科学体系得以存在“哲学基础”所提出的质疑和否定，针对主要由西方人所构建现代自然科学体系一系列没有解决的重大科学疑难的重新解读，乃至涉及我国科学生活中大量不健康现象所提严厉批评的根本否定。总之，它们不是废话，而是实实在在的大是大非问题。

同样因为此，最初辜英求老师能够理直气壮地站出来，打破我国学术界长期存在的呆滞沉寂，勇敢地亮明自己的学术观点，公开对不同的学术观点和研究结果提出质疑和挑战，笔者仍然表示高度赞赏乃至一种由衷的感谢。面对如此基础和如此根本的重大科学命题，乃至整个科学体系存在的基础遭受质疑和否定，科学主流社会中许多“权威人物”的缄默和冷漠实在是让人感到不寒而栗。既然人民给予我们的“科学权威”以崇高的学术地位，则理应保留一份起码的科学良心 —— 诚实，承担一份应尽的科学责任，没有任何理由对重大科学命题的争论视而不见、充耳不闻。

作为20世纪美国一位著名的科学哲学家，G. Sarton曾经把“科学偶像崇拜”斥之为一种最坏的形而上学。何况人们需要面对的是“世界性和世纪性”科学难题，那么，更没有“科学权威”可言。非如此，又何以谈得上“世界性和世纪性”的科学难题呢？毫无疑问，对于我们大多数的“院士”或者一些知名的“职业科学家”而言，需要首先懂得怎样做人，为人师表，需要对科学、对给予自己太多荣誉和期待的人民负责，淡然对待名誉、利益和地位，更切切不要因为自己“简单尾随”西方科学世界而得到些许赞赏，就飘飘然起来，真的把自己当作“大师”对待。

在20世纪中后期美国的数学界，M. Kline曾经是一位多产且具有广泛影响的著名数学评论家。通过《数学：确定性丧失》一书，Kline指出和大致分析作为现代数学体系存在基础的“公理化体系（以‘人为约定’作为构造‘形式系统’的唯一基础）”必然导致矛盾和冲突的问题。众所周知，现代数学体系的哲学基础处于严重的对立和冲突之中。一个多世纪来，西方的数学家们对此几乎已经完全无能为力。大量矛盾的存在，导致西方科学主流社会不得不公开放弃一切合理陈述必须严格遵循的“逻辑相容性”原则。但是，尽管如此，在美国著名的《数学评论》杂志上，还会出现每年仍然要刊登“30,000条左右重要数学成果”的极大反常。对于这种荒唐和不可思议的数学繁荣，Kline做出尖锐而不无深刻的嘲讽。与此同时，Kline对西方的许许多多职业数学工作者做出如下诚恳告诫

正确的数学所面对的困境是：究竟哪一个学派的思想是最合理的，甚至就是同一个学派里还有许多错综复杂的公理化方向供数学选择。这种困境本将给纯粹数学家们一个喘息的机会，在创造在逻辑上可能站不住脚的新数学以前，首先致力于基础性问题的研究。但是，他们却轻率地在未被应用的数学领域中产生新的成果。…… 对于这个时代的许多数学家来说，个人的成就是绝对重要的，文章发表得越多越好，不管是对还是错。

可以相信，Kline言辞锐利的批评极其深刻，阐述的道理几乎是完全自明的。作为“普通逻辑”的自然推论，只要容忍“约定论”的随意杜撰，那么，重要“数学成果”的创造自然会变得十分容易，但本质上毫无意义，只能成为形形色色投机者实现“个人伟大抱负”的重要法宝。

因此，面对这样一种严峻的局面，对于我国众多的院士、职业数学工作者而言，难道不需要保持足够的警戒，难道不需要凭借科学的良心扪心自问，能否真正承担人民给予的荣誉和一份相应的责任吗？毫无疑问，如果接受现代西方主流科学社会的理念，公然将自然科学体系视作“科学共同体共同意志”的集合，那么，根本不可能存在一种符合科学理念的“考察和评价”机制，对我们每一个人“到底做出什么真正贡献”的问题做出合理判断。既然“数学基础”的问题没有解决，处于对立和冲突之中，根据逻辑，我们的职业数学工作者所做的一切研究同样失去可靠基础，充其量只能混迹于Kline所嘲讽的“每年30,000条重大研究结果”之中而已。其实，甚至陈省身先生也只能坦言“在讲述自己一半不懂的题目”的时候，如果说我们的众多院士没有能力亲身回答众多基础数学的难题，那么，恰恰需要将其视之为一种常态。正因为此，对于我国的职业数学工作者而言，本来完全无须跟着西方“数学大师”的“人为约定”随风起舞，努力要求自己保持一份内心的平静，以及一种真正清醒和理性思考的独立意识。同样，既然面对的是“世界性和世纪性”的难题，我们的职业数学工作者完全可以秉持科学研究必需的坦荡和诚实，表示“认同或反对”他人的研究结果，乃至公开承认自己既“没有能力看懂”经典理论，同样也“没有能力看懂”他人对经典理论所做的批判和修正。但是，绝不允许自己置身于严肃的“科学争论或科学批判”之外，与需要承担的“科学道德”和“社会责任”彻底背离。特别对于那些肩负重大社会责任、具有相当地位的科学工作者，在面对自己职业研究领域中的一些基础性的重大命题时，他们没有任何理由和权力始终保持沉默。

显然，辜英求老师的过于“情绪化”有一种必然性，以至于前后问辩出现明显的思维抵触。此处，无须也无法继续单独回答或理会他作为“研究者个人”提出的质疑甚至泄愤。但是，辜英求老师最初提出的一系列前提性命题则是严肃的，并非不同科学工作者“个人琐见”之争，而涉及“现代微分几何学”及其哲学基础，关系到“相对论”得以存在的逻辑前提以及与Maxwell理论体系相关的“微分方程定解问题”等许多属于基础数学方面的重大命题。故而，自从接到辜英求老师第一封来信开始，笔者就形成一种清醒意识：这应该是面对一个维护西方主流科学社会基本理念的我国职业数学工作者群体，与这个特定群体“共同意志”之间一次严肃的对话。

应该看到：人类的科学事业，从来不是西方人的专属物或私器。人类的科学史，本质上应该由一个一个“科学命题及其解读”串接而成。如果某一个科学命题的结论是正确的，那么，它必须拥有独立于不同研究者“主观意志”之外、某种“实体论”的基础和内蕴，原则上同样能够为其他的科学工作者得到。于是，发现正确科学结论的“科学人”个体，充其量只能当作科学史中的某一些“特定符号”而已，无需也不应该像西方科学世界习惯所为，故意无限夸大研究者“个体”的作用。同样，在科学争论中，人们往往采取“以人议事”的习惯完全不当，人们必须学会彻底摆脱对“研究者个体”争论不休的恶习，重新回归对“科学命题”自身的严肃讨论之中。当然，针对“科学命题”不同观点或研究结果的争论，无法回避持不同观点“科学人”之间进行严肃学术讨论的特定过程。只有在最终取得共识之后，作为不同学术观点代表的“人”才会自动退出历史舞台。在这个意义上，公开致函谷超豪、李大潜院士，向这些职业数学工作者的代表人物提出严肃挑战故然难免失敬之处，但也是一切严肃科学讨论的必需甚至无奈。可以相信，每一个具有科学理想、诚实的科学工作者绝不会害怕被批判，同样也不会畏惧批判别人。他们一个共同的目标依然是：如何有效推进科学发展，对科学命题的正误真伪做出判断。

故而借此机会，再一次吁请谷超豪、李大潜等院士，为了人类科学事业得以持续健康的发展，为了中华民族伟大复兴大业的实现，同样也为了作为一位科学工作者避免缺失“科学良心”而必然造成的遗憾，已经没有任何余地继续保持沉默，需要诚实地站出来，努力使用无歧义的数学语言，针对一系列重大数学命题提出的批判、质疑和重构做出明确的回答，忠实履行科学和祖国赋予每个科学工作者的起码责任。

不当之处，恳请所有关注科学、期盼我国科学事业早日振兴的人们批评指正。



补充说明：

归咎于西方哲学体系始终无法解决的“认识论”困惑，曾经做出开拓性巨大历史贡献西方人已经彻底放弃科学陈述必需的“实体论”基础，依赖和纵容连中世纪经院哲学家也不屑一顾的“约定论”重新泛滥，主要由西方人所构建的现代自然科学体系，实际上早已是矛盾重重、千疮百孔。作为自然科学体系一个重要组成部分、并通常视作“科学语言”的现代数学体系，在“公理化体系”的名义下，公然接受“纯粹人为假设”的杜撰，最终只能同样陷入矛盾重重、分崩离析之中。

作为“非欧几何”创始人之一的罗巴切夫斯基，曾经睿智地指出“人类认识史就是一部认识错误的历史”。毫无疑问，当西方人已经彻底放弃逻辑和理性原则的时候，我们恰恰需要重新拿起西方人无力使用的“逻辑批判”武器，对主要由西方人所构建的现代自然科学体系乃至西方哲学体系，进行一次“历史性和全局性”的梳理。为了便于职业数学工作者了解一系列尚未解决重大数学命题的真实存在，以及相关的认识歧义，将笔者在《自然科学体系梳理》一书“数学”篇中提出的质疑和重新解读附于本文最后。（所有与这些命题相关的具体数学证明，散见于笔者的其他著述之中。）

需要再次指出，这些数学命题是如此根本和基础，谷超豪、李大潜等我国数学界的代表人物没有理由置身于局外人，继续保持沉默，容忍甚至纵容许多错误和荒诞不经的东西继续泛滥。只要这些研究结果是正确的乃至是大体正确的，那么，我国的科学主流社会没有权力继续维护你们从来没有真正读懂（因为建立在“约定论”基础之上，所以任何人永远不可能真正读懂）的“现代数学”体系。众所周知，现代数学体系存在众多逻辑悖论，早已是长期困惑西方科学世界，并且至今没有任何解决迹象的重大科学疑难和哲学疑难。面对如此基本的质疑、否定和重新建树，我们的职业数学工作者完全有表示“反对”的权力，但是却没有权力视而不见、置之不理，必须同样使用无歧义的数学语言，对这些否定和建树重新提出否定和批驳。


《自然科学体系梳理》

数学篇


从整个自然科学体系考虑，数学本质上隶属于语言系统的范畴。或者说，作为科学陈述的一个工具，数学本身并不能给出超越前提以外的任何东西，数学的全部意义和内涵仅仅在于如何保证相关论述与推理的严格逻辑一致性。因此，在描述自存物质世界的自然科学研究中，一旦被描述的物质对象得以理想化的界定，那么，在原则上，相关的陈述系统仅仅是最初理想化认定的逻辑必然。也正因为此，为了保证整个科学陈述系统的严格逻辑相容，或者为了避免出现因为任何细微矛盾导致的自否定荒唐，数学在自然科学研究中始终扮演了一个极其重要的角色。可以做出这样一种论断，对于人们熟知的所有科学难题，几乎没有一个不伴生着相关数学推理失当的问题。

当然，作为整个自然科学体系的一个重要基础，数学自身同样真实地面临着如何严格遵循逻辑，需要严肃解决数学体系自身存在许多众所周知的逻辑不自洽问题。而且，数学体系自身的矛盾，必然与自然科学体系其它领域中暂时存在的认识困惑或者逻辑不自洽问题形成一种影响更为深刻和广泛的交叉作用。

纵观19世纪末到20世纪初的西方科学世界，不仅需要面对物理学一系列众所周知认识困惑的挑战，而且还因为涉及数学基础的许多逻辑悖论的发现，使他们意识到作为科学语言的数学工具同样面临深刻的危机。毫无疑问，所有的这一切，最终必然归结为包括“哲学、数学和物理学”等学科在内的整个人类认识体系是否需要服从“理性或逻辑”这个最为根本和核心的问题。


1.1 数学基础三大逻辑悖论及相关基础命题重释


众所周知，19世纪末到20世纪初叶，出现了至今尚无力解答的数学基础三大逻辑悖论问题。并且，最终导致了一种“搁置矛盾”的公理化方法，本质上将数学引入了歧途。

事实上，如果说当代科学主流社会面对一系列的逻辑不相容问题长时间无所作为，以至于公开放弃数学严谨性的时候，这样一种思潮同样深刻影响着数学自身。因此，对于无视数学基础一系列众所周知逻辑悖论的存在，却在一个没有可信性基础之上进行无穷推理的方法，正是目前科学世界公然放弃逻辑，推崇无理性可言的“第一性原理”这样一种普遍态度的反映。当然，以默认逻辑悖论为思考前提的推理，同样没有任何可信性而言，而且，在不当立论前提之上进行推理本身就是对数学精神的一种背叛。


1.1.1 数学基础的三大逻辑悖论与“存在性”基本原则

数学基础的三大逻辑悖论通常指“理发师悖论”、“Cantor悖论”和“Russell悖论”。考虑到“理发师悖论”本质上只属于一般意义上的“病态”语句，此处仅列出与逻辑更为直接关联后两个悖论及其相关辨析，并且，提出对于所有形式表述具有一般意义，并且与理论物理中的“物质第一性”原则保持一致的“存在性”基本原则。


命 题 经典陈述或结论 修正结果或解释 一 般 分 析




Cantor
悖论
对于元s i 所构造的集合M，以及相应构造的幂集合P，即

不难推得


故而出现悖论
提出形式系统必须普遍遵循的“存在性原则”

&


可以做出证明：出现于数学基础上的所有逻辑悖论，都同样违背了这两个基本原则。

与上述原则保持一致，“拥有”和“从属”属于两种完全不同逻辑关系，必须加以严格区分，即
1. 形式表述的“性质”和拥有性质的“存在主体”在逻辑上并不等价。事实上，不仅仅性质f，而且定义性质的所有形式量x, y, z都仅仅逻辑地从属于它的逻辑主体：某一个特定的理想化物质对象集合；
2. 与Hilbert所说“桌子、椅子、啤酒瓶”一种纯粹主观随意的公理化理念完全相反，在定义形式量以及借助于形式量所表述的某一特定关系以前，首先需要对“理想化存在”本身做出前提性的认定。没有形式系统逻辑主体的前提存在，就没有整个形式系统；

3. 集合论“概括原则”未能区分拥有和从属两种不同逻辑关联，将它们与全同逻辑混淆了；

4. 无论域限制的性质以及无论域限制的集合都不存在。尽管Cantor试图提出“相容性”条件加以约束，但是仍不能根本改变构造无论域限制集合论的错误导向。






Russell
悖论
对于任何两个给定集合x, y

由集合论概括原则


再次出现悖论。





1.1.2 Hilbert形式主义公理化思想隐含的逻辑悖论

如果说，Brouwer认识到数学基础中逻辑悖论的真实存在，不得已提出了一种表面上似乎是以“拒绝逻辑”为基本特征的“直觉主义”理念。但是，恰恰由于对矛盾存在采取了一种诚实的态度，数学直觉主义者所提的“构造对象（Constructive Object）”的“前提”恰恰吻合于逻辑，即对“拥有者”和“从属特征”在形式系统中的不同地位做出严格区分，从而与上述“存在性”原则保持一致。只不过Brouwer没有形成一种理性意识，认识到任何形式表述的对象仅仅属于某一个特定的“理想化”物质对象罢了。

恰恰与Brouwer对于矛盾存在持一种诚实的态度完全相反，面对数学基础中存在的一系列逻辑悖论，Hilbert同样没有能力给予正面回答，却提出诸如“允许以桌子、椅子、啤酒瓶取代几何中的点、线、面”这样一种完全荒悖理念的所谓“公理化”方法，相应构造一个以回避矛盾存在为本质的“形式主义”数学思想，为以承认矛盾为前提从而必然始终充满矛盾的“相对论”、“量子力学”等陈述系统公然采取否定逻辑的“无理性”提供了所谓的依据，成为20世纪“物理学几何化”的始作俑者，使得人类的自然科学体系进一步陷入以牺牲以逻辑相容性为本质内涵的“理性”原则为代价的纯粹实用主义哲学之中。

既然与Einstein以承认矛盾为前提构造相对论的基本理念一致，Hilbert以无视集合论悖论这样一些前提性矛盾存在为基础，甚至根本不在乎“桌子、椅子、啤酒瓶”与几何学中的“点、性、面”之间存在的前提性差异，他的形式主义当然同样始终充满逻辑悖论，主要表现为：

Hilbert形式主义的“无论域限制”的本质内涵，与“普适真理”必然隐含的神学思想之间遥相呼应；
为“桌子、椅子、啤酒瓶取代几何学点、线、面”所充分显示一种对于“公理化”所做前提性认定的纯粹人为随意性，同样与Hilbert本人无人解决的“概括原则”隐含的逻辑悖论互为呼应；
对于Hilbert使用“桌子、椅子、啤酒瓶取代几何学点、线、面”所构造的几何学，无法获得任何与“度量”相关的确切信息；
几何学中的“变换”仅仅限于“始末”几何图像之间的变化特征，而无力对几何图像从“初始”状态到“终了”状态的变化过程特征做出描述。即使引入完全荒谬的“时空观”变化，广义时空中的几何变换仍然无法对物理学的运动过程做出描述。


1.1.3 公理化集合论无法改变集合论悖论的本质存在

正如经典集合论创建者Cantor曾经意识到的那样，集合论之所以存在悖论的根本原因在于，这个陈述系统企图构建一个没有“论域”限制的普适体系。因此，形式主义的公理化思想，如果不正面和解决这样的前提性问题，遵循一切形式表述系统必须严格遵循的“存在性”原则，那么，仍然始终充满着形形色色的逻辑悖论。

可以证明，在现代数学中，对于诸如Minkowski所构造的“伪Euclid空间”等一系列被冠以“伪（pseudo-）”字头的概念，往往掩盖了相关概念的“真伪性”或者隐含了它们对某些前提性概念所构成的“逻辑否定”。2


简单结论

绝对不是简单否定建立“公理化”假设基础之上构造形式系统所具有的根本意义，但是，任何公理化假设必须首先以对描述对象的理想化假设为基本前提，以吻合形式系统必须普遍遵守的“存在性”原则。数学上的存在性原则对应于物理上的物质第一性原则，它们共同成为逻辑相容性的保证或者基础。

必须注意，由于数学基础之上存在的逻辑悖论，不仅仅出现了“物理学几何化”这样一种完全错误思维导向，而且，对于在一个并不可靠的经典集合论之上建立起来的“拓扑学”，以及进而在“无穷光滑”认定之下所构造的现代“微分几何”，无疑都需要严肃地考虑这样一个前提性的问题：对于实验室提供的某种数据集合，不妨赋予其足够的光滑性，以能够相应构造一种仅仅存在于理念之中的信息流形，但是，如果已经确信人类面对的物质世界充满差异，为什么将一个高度连续的流形强加于这个本质上属于一个离散物质世界呢？对于一个连自身逻辑前提所存在不相容也无力对待的无穷推理，它的结论自然不具可信性。


1.2 古典数学物理方程理论中的几个没有解决的问题


无视被描述对象本身，无需相应做出任何前提性的限制，仅仅依赖于纯粹人为提出的假设作为形式系统的公理化基础，本质上成为对“无约束”思维的随意放纵，为当今科学世界为形形色色具有普适意义的真理系统层出不穷提供了土壤。

实际上，即使在古典微分方程理论中仍然存在许多没有真正解决的问题。正是作为数学工具自身问题没有获得解决，使得人们至今没有意识到经典电磁场理论中“Maxwell位移电流”只能作为一种人为假设提出时必然存在的逻辑不当；不可能意识到Coulomb以及Lorentz分别提出的“正则变换”实际上蕴含着不同物理内涵，以及由此而引起在数学和物理上的无理性；当然，也不可能意识到在这个不当基础之上进一步创造的“规范场”必然隐含着前提性认识不当；……。

因此，人们必须懂得自觉杜绝Hilbert那种本质上仍然是以“无视矛盾真实存在”为前提的“公理化”思想，拒绝那些没有任何约束和过分轻松的“创造性”思维，扎扎实实地处理古典数学理论中一些并没有真正解决的问题。


S.1.2.1 双旋度Poisson方程

关于矢量势Ψ所构造的双旋度Poisson方程


属于古典数学物理理论中的重要一类，广泛应用于诸如电磁场理论这样的“场”分析中。但是，在如何构造恰当积分表述、决定恰当定解条件、矢量势散度恒为零假设的存在基础，能否将该方程转化为一般Poisson方程等一系列基本问题都没有真正获得解决，从而导致理论物理中需要使用该方程许多重大命题以及它们的推论存在错误。


命 题 经典陈述或结论 修正结果或解释 一 般 分 析











积
分

表

述


0-阶
表述
1. 如果假设矢量势散度等于零则修正表述重新回归为经典表述。但是，两者隐含不同物理内涵，经典陈述缺乏相关证明;
2. 古典表述只能被视为一种“整体”意义上的约束方程。由于未知量数少于约束方程数，不能直接用作边界积分方程，相应构造一个相关的离散形式;

3. 在任何恰当的形式表述之间，必须满足逻辑相容性要求。

4. 两种处理方法存在的细微差别显示：前者允许推理过程中添加人为假设；而后者则只允许将基于物理真实所做的“限制”置于推理之初，以满足逻辑推理必须满足的严格一致性。



1-阶
表述

两类表述逻辑关联 无法通过对0阶积分表述作求旋运算导得1阶积分表述。两类积分表述处于逻辑不相容之中。 可以借助于对0阶积分表述作求旋运算，直接导得1阶积分表述。两类积分表述处于逻辑相容之中。


积分表述
奇异性

分析
经典奇异性分析，往往总凭借添加如Cauchy积分主值、Hadamard有限积分的“假设”，以消除奇异点的存在，从而解决形式表述可能存在的奇异性问题。这样，形式表述的恰当性，只能逻辑地依赖于人为假设的存在而存在。 与经典的奇异性分析相反，首先确认任何有意义的物理量必须满足无奇异前提。因此，作为其逻辑推论，广义函数只能预定义在Cauchy积分主值与Hadamard有限积分之上，而Green公式自然定义在删除奇异点空间域中。




正则假设 仅作为自明及唯一形式的假定

被应用于物理学中，相应缺乏数学证明或者物理基础。而且，尚未注意相应存在的约束方程


该约束表明不能随意将矢量势法向分量用作边界条件。
如只将“矢量势旋度”定义为待解函数，则存在如下任意假设

相应有如下所述的约束方程


经典正则假设仅仅属于上述一般假设中的一种特定形式。
形形色色正则假设源于双旋度方程自蕴含的“欠定”特征，适用于只求解矢量势旋度的场合，此时矢量势法向分量不能用作边界条件。一般情况下，矢量势散度仍然对应于某种确定物理内涵，故而不能使用正则假设。








势
分

析

附
加

势







势分析得以存在的基础，是所论微分方程以及相应积分表述具有的线性特征。
由于经典理论在双旋度Poisson方程的积分表述上存在一系列的







认识紊乱，经典理论从来没有进行相关的势分析。

针对双旋度Poisson方程所做的势分析揭示了不同源项的影响。无论从数学或者物理学考虑，这种分析都具有重要意义。由于不同分量势具有不同的数学特征，显示该方程与一般Poisson完全不同的特异性质。在所有这些特性中，特别值得关注两个特征性的差异：
1. 附加势对矢量势的旋度没有任何影响，从而与在仅仅求解矢量势旋度时可以对矢量势散度做出任意假设一致；

2. 由于体积势的二阶旋度并不等于体源项，体积势不能被简单地视为泛定方程的特解。这是与一般Poisson方程另一个重要的差异。


体
积

势





单
层

势




双
层

势




齐次方程
的

唯一性定理
存在许多逻辑紊乱，例如边界上的全连续性条件

被不恰当地用作齐次方程解的恒为零条件。
重新证明，仅仅是边界上的矢量势旋度切向分量

才可以使齐次方程“普遍”地满足解的恒为零条件。
1. 经典分析混淆了全同逻辑和蕴涵逻辑；
2. 齐次方程恒为零条件经典分析中的所有不当，与相关积分表述中的失当相关。





单个
双旋度

Poisson

方程

构造的

定解问题


定解对象 尽管具体问题中，实际上总以矢量势的旋度作为定解对象，但是，由于缺乏相关的严格分析，导致整个经典分析的紊乱。 单个双旋度Poisson方程所构造的定解问题恒为欠定，仅仅是矢量势的旋度

而不是矢量势本身才可能成为单个双旋度Poisson方程的定解对象，除非增加与矢量势散度有关的另一个独立方程。
必须严格区分：由单个双旋度Poisson方程和补充了散度方程的两类独立定解问题。经典分析中，与广义Biot-Savart公式的逻辑不当一致，存在太多随意的和彼此矛盾的关于边界条件的陈述。正因为关于这个数学方程的许多基本问题没有解决，经典电磁场理论存在认识不当。甚至可以说，经典电磁场理论中，关于变化中电磁场的动力学方程并没有真正建立。





定解条件 1. 根据第2类积分表述，根本不存在恰当的定解条件；
2. 基于齐次方程恒为零条件的习惯分析，边界条件为



3. 如按第1类积分表述，则为



这些不同的结论处于矛盾之中。
1. 如能补充矢量势散度方程，边界条件

此时，法向分量仍然不能用作边界条件。

2. 由于矢量势自身不定，边界条件只能取唯一的形式


并且，能够与物理学陈述保持一致。


关于
双旋度形式

和

一般向量形式

Poisson方程

的变换
基于正则假设

似乎总存在“等价”变换


®


该变换广泛用于物理学不同领域中。
即使允许作正则变换，作为泛定方程，两类方程也不等价，即


相应构造的定解问题，无论在数学形式与物理内涵方面都完全不同。
1. 正则假设必须基于双旋度形式方程的存在而存在，该方程不存在，当然正则假设也不再存在；
2. 两方程具有不同物理背景，定义于不同几何空间，对应不同定解问题；

3. 后者可以用n·Ψ作边界条件，前者不然。








泛定方程组
构造的

定解问题








由于对正则假设得以存在的数学物理基础缺乏正确认识，同样没有意识到该泛定方程组所构造定解问题的独立意义，无相关论述。 该泛定方程组所构造的定解问题直接以矢量势Ψ为定解对象，属于一类独立的数学物理问题。 1. 该定解问题属于一类独立的定解问题，完全不同于单个双旋度Poisson方程构造的定解问题。后者只能以矢量势的旋度Ñ´Ψ作定解对象，而前者以矢量势Ψ为定解对象，旋度只是其导出量；
2. 两类定解问题对应于完全不同的物理背景，相应展现不同的物理真实；

3. 该泛定方程组构造的定解问题，成为分析双旋度算子波动方程的基础；

4. 由于没有认识到该数学模型的独立存在，电磁场理论基本方程组的数学推导存在许多逻辑不当。并且，一个恰当的电磁场动态方程并没有得以真正建立。

与单个双旋度Poisson方程对矢量势散度任意假设逻辑相容，单个双旋度Poisson方程的两种积分表述依然成立，即

与

相关定解问题的唯一形式为




1.2.2 用任意给定标量函数和无散向量函数作散度和旋度表述向量场的问题

在场分析中往往出现这样的命题：对于空间域V中一对任意给定的标量函数q 和无散向量函数ω，如何构造一个恰当的边值问题，即求解满足唯一性要求的向量场u，使其散度和旋度分别等于两个给定函数


与其等价的另一种提法，则表示为求解待定向量场u的一对势函数问题


对于以上命题，一般简称为用散度和旋度表述向量场的问题，通常归结为如何确定相关的边界条件问题。但是，由于在唯一性定理、积分表述等一系列相关的经典分析中存在大量逻辑不当，该问题实际上仍然属于至今没有得到解决的古典命题。


论 题 经典陈述或困难 修正结果或解释 一 般 分 析






齐次方程
唯一性分析

与

边界条件
作为一种习惯认定，往往将线性微分方程边界条件的确定转化为相关齐次方程解的恒为零条件问题

继而由无旋条件


于是得“法向”边界条件


即为通常所说的经典唯一性定理。
实际上，如果严格按照经典分析的推理结构，还并行存在其它中间模型

以及


根据形式逻辑，共性必须寓于个性之中，得

与经典结论不同。
1. 经典唯一性的问题在于混淆了蕴涵逻辑与等价逻辑两种不同的逻辑关联；
2. 一个恰当的一般性结论，必须存在于所有特例之中，从而导得与经典唯一性定理不同的边界条件；

3. 经典唯一性定理所述的法向边界条件仅仅适用于2维场分析中，不具一般意义。

4. 与经典表述中相关的积分表述处于矛盾之中。


定解问题 一般情况下，经典表述是一个欠定的数学物理模型。
（该结论已经得到数值计算的验证）





积分表述

0次表述
1. 经典表述的积分表述是完全不当推理的结果，并且，与前述经典唯一性定理矛盾；
2.广义Biot-Savart公式无未知量，不能用来构造边界积分方程，故从未真正予以应用；

3. 重新导出的积分表述仍然与以上的所有分析保持严格的逻辑一致；

4. 修正的积分表述还可以进一步做出简化，以能够形式地与边界条件保持一致。



1次表述 经典理论中，仍然将这个没有未知量的表述称之为广义Biot-Savart公式。




1.2.3 向量场求散和求旋的逆运算问题

与任意给定一对标量函数和无散向量函数，寻求一个向量场使其散度和旋度分别等于两个给定函数的上述命题不同，此处所述纯粹属于向量场求导运算的“逆运算”问题，即


其势函数形式表述为


此时，两个给定函数q 和ω并不真正独立，源于那个相同的待求向量场u，故而隐含某种关联，而作为逆命题，必须满足边界上的“全”连续性条件。

尽管向量场求导运算的逆运算问题，或许只属于纯粹形式逻辑的范畴，更多的只具有形式意义。但是，因为以往的经典分析没有意识到该命题与前述命题的不同，还因为长期存在所谓的“超定”问题，所以该问题不仅仅是一个没有解决的古典命题，而且，这个问题的存在还引起了许多认识紊乱。


论 题 经典陈述或困难 修正结果或解释 一 般 分 析



方程耦合
和

超定问题
由于没有认识到一对给定的源函数并不真正独立，当然，也不可能相应意识到控制方程之间本质蕴含的耦合现象，这样，在强行让控制方程“脱耦”的不同形式的方案中，始终共同面临不能摆脱的“超定”问题，使得向量场求导运算的逆运算问题成为一个至今没有解决的问题。 两控制方程之间的耦合属于该数学模型的本质特征，因此，相应需要构造仍然处于耦合之中的边界条件，即所谓广义Robin条件 1. 当一对给定标量函数和无散向量函数并不真正独立，而源于某一个向量场的时候，该两函数必然隐含某种内在联系，从而使方程之间的耦合成为一种内蕴特征。此时，任何强行脱耦的努力都成为对这种内蕴特征的否定，当然，不可能成功；
2. 与方程内蕴的耦合特征一致，无需也不能强行对全连续性边界条件作形式分解，并且，成为构造广义Robin边界条件的基础；

3. 作为向量场求导运算的逆运算，必须相容于全连续性边界条件；

4. 必须满足边界上的全连续性条件，并不意味着该边界条件成为定解问题的必要条件。可以做出证明，尽管并不因为全连续性边界条件而出现超定问题，但是，该条件是边值问题的充分而非必要条件，仅仅切向分量的边界条件已经足以唯一确定待求的向量场。这样，向量场求导的逆运算问题又能重新与前述命题保持逻辑相容。





积分表述

0阶表述




无


1阶表述




相容性
分析




无 此处所说相容性问题，是指与前述用散度和旋度表述向量场命题之间的逻辑相容性问题。可以证明，上述积分表述仍然逻辑相容于仅仅使用“切向”边界条件的积分表述，即




1.2.4 双旋度算子构造的波动方程

在理论物理，主要是经典电磁场理论中，人们往往会自然地导得如下形式的偏微分方程


该方程即为此处所说的双旋度算子构造的波动方程。显然，如果相比于另一个通常所说的波动方程


那么，即使仅仅从定义于空间域的Laplace算子Ñ 2 与双旋度算子Ñ´Ñ´ 对应于完全不同形式的边界条件考虑，也可以断言它们属于两类不同的独立方程，对应于不同的物理背景，相应表现“扰动”在几何空间中的两种不同的具体传播形式。

但是，本质上归结为S.1.2.1所述，与双旋度Poisson方程相关一系列基本问题没有得到解决，至今的经典理论只能不恰当地将双旋度波动方程转化为一般波动方程，使得该方程实际上成为一个至今从来没有得到深入讨论的基本方程。当然，也正因为此，理论物理中的许多习惯论断，如经典电磁场理论中的Coulomb规范和Lorentz规范，以及由这些不当基础上希望构造的“规范场”本质上处于不同的逻辑前提之中。

由于经典理论几乎从来没有对双旋度波动方程进行任何独立研究，不具与经典陈述的可比性。因此，针对双旋度波动方程导得一些独立结果，只能与一般波动方程的相应结果进行比较。


论 题 一般波动方程 双旋度波动方程 一 般 分 析
形式
表述
作为空间域中的两种导数算子，表现了完全不同的空间变化特征。


与其对应的空间域定解问题

需要注意：波动方程表现的是因变量Ψ而并不仅仅是其旋度Ñ´Ψ在空间中的变化。因此，与其对应的空间域方程并不是单独的双旋度Poisson方程。

边界
条件
右式为广义形式，系数C, B为二阶张量。
与控制方程对应，边界上的函数完全不同，相应显示不同的方向性特征。
波动
特征

纵波
横波 如果将边界条件视为小扰动源，则波动的方向性特征与其对应。


定解
问题

形式

不仅仅边界条件的形式不同，泛定方程同样存在相当大差异。即使因变量散度J等于零，两个方程都具有根本差异。何况一般情况下，J具有独立的内涵。

无穷大域中积分表述 仅仅在无穷大体积域，并且，因变量的散度J恒为零时，两种积分表述才相同。但是，即使在这种情况下，其导数ÑΨ仍然存在不同的方向性特征。



简单结论

总之，场分析中Laplace算子和双旋度算子是定义于空间域中两个不同的独立算子，相应具有不同的空间特征，绝对不能简单混为一谈。事实上，场分析中以上所说的几个不同数学命题互为依赖，逻辑相容地存在着。


1.3 现代数学体系普遍存在的逻辑倒置

形式系统的存在性原则的根本意义在于指出：为形式系统所定义性质集合，只能逻辑地从属于理想化实体，如果没有理想化属体的前提存在，不仅仅不可能存在这些特定的性质集合，而且表现这些性质的形式量自身也不存在。因此，只要承认“拥有”和“从属”两个关联词所蕴含的不同逻辑内涵，那么，绝对不能仅仅因为Hilbert将性质集合预称为“公理化假设”，就可以自欺欺人地将其置于理想化实体之上。

正因为在这个前提性逻辑关联的认定上出现了认识错误，现代数学体系中大量存在形式逻辑的逻辑倒置问题。


1.3.1 几何公设的重新认定

尽管数学本身属于抽象意义的思维，无需要求形形色色几何体的真实存在。但是，从严格的逻辑推理考虑，对于几何公设以及不同几何公设所定义几何体，两者之中究竟哪一个处于前提性地位的问题需要加以明确界定。


命 题 经 典 结 论 修 正 结 果 一 般 分 析


前提
和

推论

将“几何公设”处于前提性位置之上
$ (Postulates)

®

$ Geometry: Geometry « (Postulates)

即首先存在人为认定公理化体系，再由公理化体系定义特定的几何体。
经典认识反映人们的真实意识过程，从逻辑结构考虑则必须将其颠倒过来，即
$ Idealized Geometric body

®

$(Postulates) ÎThe Geometric body

几何公设及其构造的形式系统逻辑地属于理想化的几何体，甚至该几何体只具抽象意义，并不真实存在。
1. 必须将被描述几何体置于前提位置，严格区分“拥有”和“从属”之间的不同逻辑关联；
2. 几何体永不绝对真实。逻辑上明确性质从属于特定对象同样属于抽象“客观性”；

3. 几何体与被描述对象大致一致，才可能成为有意义的描述；

4. 不同几何体的概念（线、角度等）并不同一。但正因为不同对象构造了有限论域，才可能保证它们逻辑相容。


Euclid
几何
根据Euclid的5个基本公设，定义Euclid几何
$(5 Postulates) ® $ Euclidean Geometry
首先存在理想化Euclid空间，才可能有属于该理想化空间的5个基本几何公设
$E. space ® $ (Postulates) Î E. space

进而构造定义于其上的形式系统。


非Euclid
几何
根据平行公理以外的Euclid公设，定义非Euclid几何
$(4 Postulates) ® $ Non-E. Geometry
相仿存在弯曲几何体之上非Euclid几何
$N.E.Space ® $ (4Postulates) Î N.E.S.

因此，非Euclid几何并不能为完全虚妄的“广义相对论”提供存在基础。





1.3.2 张量分析隐含的逻辑倒置

同样，对于“张量分析”目前普遍存在的描述方式也要根本改变，无需对某一个几何体在不同形式坐标系变换显示的变换关系给予过分关注。事实上，这样的描述随着坐标系形式选择的不同，原则上无以穷尽。

相反，则需要凸现张量存在的“客观性”基础。由于几何体自身的客观存在，并且，独立于坐标系的人为选择，因此，随着坐标系的不同，自然显示相关的变换。


1.3.3 各向同性张量函数的形式定义

尽管与以上数学命题相比，怎样形式地定义“各向同性”张量函数似乎要简单得多，并且，主要为致力于“现代理性力学”研究的应用数学家所关注。指导构造这样一个形式量的主要思想在于如何与建立于17世纪至19世纪初期的经典理论保持一致。目前，为相关领域普遍接受的结果，是M. Reiner于1945年针对各向同性函数所构造的一个形式定义。但是，这个形式定义其实并不准确，没有意识到应力应变经验方程实际蕴涵的某种方向性特征，从而掩盖了经典“本构理论”存在的认识不当。


命 题 经 典 结 论 修 正 结 果 一 般 分 析



形式
定义
各向同性仿射量T：

其中Q表示任意的正交仿射变换，而各向同性变换F，其形式定义为
对于各向同性张量以及各向同性张量函数所构造的经典定义，仅仅表现了“各向同性”必然蕴含的基本属性，而不能反映“各向同性”本质蕴含的“无方向性”特征。因此，各向同性的等价定义就是无方向性的标量： 1. 一般张量展示的是几何空间中“数量”与“方向”特征一种有序的综合表述；
2 各向同性的本质内涵在于无方向性，并非经典定义所述：各向同性张量函数自变量转动一个角度以后的值，等于原自变量下函数转过相同角度以后的函数值；

3. 因此，仅仅零阶张量，即标量性质的缩放变换才可能称得上是各向同性的。各向同性不同于仿射变换，属于线性变换中的一种最简单形式；

4. 张量的基本特征在于独立于坐标系选择。经典定义的4阶各向同性张量无法表示为独立于坐标系的形式，同样显示原定义的不当。



2阶张量之间
各向同性变换


4阶变换张量函数：


仍然只允许是常函数变换




简单结论

从赋予概念本身的本质内涵出发，时刻保持一种警觉，严格检讨经典理论可能存在的任何不合理性，进而较为准确地揭示相关陈述的物理内涵，而不是相反：对一切经典陈述采取一种无条件简单认同的形而上学态度。其实，随着认识的不断深化和准确，绝对不是那些以搁置矛盾为基础，凭借所谓直觉和顿悟，没有任何理性支撑的“科学观革命”，而只能是这样一种基于理性认识的批判性继承才真正符合科学精神，当然，也才可能显示对科学先行者的真正尊重。



1.4 若干基本数学命题逻辑梳理的补充


随着人类步入21世纪，西方一些有良知的科学工作者又重新提出这个困扰现代西方知识社会长达一个多世纪、至今丝毫没有任何解决迹象、任何诚实的科学工作者无法回避、关于数学基础的争论。并且，将人们所熟知20世纪关于数学基础所谓“形式主义（公理化思想体系）”、“逻辑主义”和“直觉主义”三大认识体系的争论，更为合理和本质地归咎于“实体论”和“约定论”两种对立认识论基础的争论。

其实，作为20世纪初“直觉主义”思潮奠基人的Brouwer，不仅仅他所提出“逻辑不可能告诉人们任何真理”的论断充满睿智，而且恰恰吻合于“逻辑只是同义反复”的本来意义，从而对Hilbert的“公理化体系 —— 桌子、椅子、啤酒瓶都可以视作几何学点线面”之类“独断论”的荒唐构成致命一击。不仅于此，Brouwer提出“构造性对象（Constructive object）”的概念，并以此作为建立整个数学体系的思想同样是准确、深刻和合理的。不难证明，面对无穷无尽、充满差异和复杂性的物质世界，Brouwer所说的“构造性对象”本质上正是对物质世界某个局部真实构造的某种抽象。因此，Brouwer关于数学基础思考的内核并不是他崇信的直觉，而正是他因为没有形成理性意识而加以反对的逻辑。

如果能够把18世纪西方著名哲学家Kant所说“缺失对象的概念只能流于空洞”视作至理名言，那么，它同样并非依赖于Kant曾经一再渲染“先验哲学、先验理念”的启示，仍然只是逻辑的必然：性质必须逻辑地从属于拥有性质的逻辑主体，拥有性质的逻辑主体始终是第一位和具有决定意义的；反之，缺失逻辑主体的性质不仅仅流于空洞和虚幻，而且还因为空洞和虚幻必然矛盾重重。

不容否定，西方人曾经为人类自然科学体系如何构建“形式系统”的问题作出了开拓性的历史贡献。但是，人们还必须理性或者逻辑地懂得：逻辑推论永远不可能超越它的逻辑前提。故而，对于自然科学体系中包括数学自身在内的任何一个形式系统，最终仍然必须本原地归结为它希望描述的特定物质对象，而绝非源自一些内心浸透着“西方至上主义”情结者一种自以为是的“天才”创造。

仅仅渊源于逻辑：人类所面对一个无穷无尽、谜一样的大千世界，不仅仅是激发智慧的人类构造知识体系的源泉和动力，是人类自然科学体系得以存在的唯一基础，而且，对特定物质对象构造的理想化认定还在逻辑上为相关科学陈述（包括数学）设置了一种限制，从而保证整个科学体系逻辑相容。反过来，无视特定对象所构造“有限论域”的约束，代之以美其名曰“公理化假设”的随意杜撰，不仅使逻辑荡然无存，而且还必然普遍出现“数学家读不懂自己所创造数学”这种人类认识史中难得一见的荒诞不经。[6, 7, 8, 9]


1.4.1 现代拓扑学基础隐含的逻辑悖论


如果说20世纪Hilbert的“公理化思想”体系原则上只能视作一种纯粹哲学意义的“约定论”主张，那么，由同时代Frechet所创造的拓扑学，则应该看作是对这种哲学主张的一次具体实践，并被广泛应用于现代数学体系的构造之中。然而，既然是“约定论”的，缺乏属性赖以存在的逻辑基础、前提和限制，它必然导致逻辑悖谬。并且，根据为20世纪科学世界普遍接受的Popper“证伪学说（本质地相容于逻辑）”思想，对拓扑学任何矛盾或悖论的揭示，都足以对该理论体系构成完全。


命 题 经典陈述或结论 修正结果或解释 一 般 分 析






拓扑公理

对于集合S ={a, b, …}所构造的子集族
τ ＝ {A, B, …}

该子集族的成员为开集，并且

1. 集合S及空集都属于τ；

2. τ的任意成员的并属于τ；

3. τ的任意有限成员的交属于τ

那么，子集族τ称作集合S的拓扑，而集合S和它的拓扑τ一起共同构造了拓扑空间。
试图通过闭域（或开域）与覆盖（包容）等一般概念的提出，将“连续空间连续性”特征进一步抽象化，从而不仅将其应用于“连续变形（拓扑不变）”的空间结构，还能够像集合论期望的那样用于“任意集合”之中，从而成为无需约束的“普适性”公理。
不难推测：拓扑学构造者Frechet的所有想象，最初均渊源于对连续空间前提存在的思考。但是，如果没有这个特定空间的“实体论”基础，集合的边界、开域、闭域根本无法定义，又何以谈得上具有普适意义的拓扑公理呢？
与整个西方哲学的“认识论”基础至今没有解决的困境保持一致，西方思维不仅具有形而上学片面、绝对和僵化的诟病，而且还因为缺乏严格逻辑推理的能力，却动辄喜好把许多肤浅猜测随意上升为无穷真理，并进而自诩为天才的恶劣倾向。
1．根据逻辑，性质必须隶属于实体，没有缺失对象的概念或性质的独立存在。因此，实体是任何属性得以存在的前提、基础和限制；

2．仍然根据逻辑，既然性质隶属于拥有性质的实体。因此，实体的性质本质上需要视作是一个不可分割、喜好依存的整体；

3．任何形式无视对象的公理化假设，不仅最终导致逻辑的紊乱，还因为缺失对象的逻辑前提，对概念构成逻辑否定；

4．现代数学若干“公理化体系”的实际应用并不能否定以上一般规则，只不过人们忽视特定对象的前提存在罢了。




距离公理

不妨将现代数学体系的距离公理视作对距离特征的一种合理抽象或总结，违背该原理的形式表述不能称之为距离。尽管如此，根据一般逻辑，性质必须从属于拥有该性质的逻辑主体。因此，如果缺失逻辑主体的前提存在，那么，原来的性质特征不仅无法存在，还必然失去赋予它的本来意义。

离散空间的距离
毫无疑问，虽然为离散空间定义的距离符合距离公理，但是既然是离散空间就没有距离的概念。事实上，为离散空间构造的距离定义正是对距离本来意义的完全否定。




1.4.2 约定论微分几何的错误基础与大量逻辑悖论


18－19世纪Gauss创建的微分几何，渊源于对二维几何曲面的研究，并取得了许多重要的研究结果。但是，Gauss无视了逻辑学的若干最基本道理：性质必须逻辑地隶属于拥有该性质的逻辑主体；由于作为性质集合的逻辑主体的不可分割性，隶属于任何逻辑主体的性质集合本质上仍然是一个彼此逻辑关联的整体，不容分割。不难看到，Gauss古典微分几何试图对二维曲面所作“内蕴几何”局部特征和“外在几何”空间特征的人为划分，几乎存在逻辑上的明显错误，并完全违背形式表述的真实状况。于是，自18世纪Gauss凭借个人主观意志，对曲面几何属性的“整体”作出毫无疑义的人为分割，特别是19世纪后期的Kline为几何学研究提出所谓Erlangen纲领，进一步将几何变换置于几何实体之上以后，整个现代数学体系实际上已经被引入“约定论 —— 主观独断”的错误导向之中。3

当然，因为整个Riemann几何必须建立在“Levi-Civita平行移动”一个缺乏逻辑支撑或依据的纯粹人为假设之上，所以与建立在“实体论”基础之上的Gauss微分几何尚能给出许多有用的结果完全不同，这个陈述系统从头至尾充斥着由于浅薄的人为随意杜撰而必然导致的悖谬和荒唐，并且，因为晦涩难懂从而为20世纪物理学研究坠入曾经被Bohr描述为“唯恐不够疯狂”这样一种对理性和逻辑史无前例对抗的荒唐提供纯粹自欺的基础。同样因为此，不仅仅出现微分几何学研究者不可能读懂自己所创造几何学这种人类认识史中难得一见的认识反常，而且诸如“如何为曲面上向量场的梯度场构造恰当形式表述”等具有实际意义的几何学基本命题至今没有得到真正解决。



命 题 经典陈述或结论 修正结果或解释 一 般 分 析











Gauss
内蕴几何
沿用实体论微分几何的通常符号

和


其中，r为定义在3维Euclid空间中的矢径，下标u, v对应于曲面上的两个坐标，并定义


和


分别称之为曲面的第一和第二基本形式。

人们指出：曲面的第二基本形式近似地等于曲面与切平面有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的弯曲程度或曲面在几何空间中的弯曲性；但第一基本形式中的所有系数都能够定义在与曲面逐渐叠合的切平面之内，故称之为曲面的“内蕴”特征。

例如，考虑某有限曲线段C的弧长

因为其仅仅决定于曲面的第一基本形式。于是，经典微分几何指出：曲面上的度量特征仅仅属于曲面的“内蕴”特征，与曲面在其所嵌入几何空间之中如何弯曲的状况无关。
即使允许对2维曲面的几何属性作一种划分，以突出第一和第二基本形式的不同性质特征，但是，两者仍然是从属于特定几何实体的性质集合的整体，不容被人为割裂独立存在。
直观地说，曲面是弯曲的，作为工具的坐标矢量r 1, r 2只允许定义在曲面不同点处的“切平面”上，不可能成为真正隶属于曲面自身的几何量。并且，如果考虑曲面的基本方程

不难发现，两种切矢量和法矢量之间的变化互为关联，是一个依赖于曲面空间性质的整体。

此外，需要注意到曲面上有限曲线弧长计算式中的系数E, F, G是一个分布，随着曲面在空间域的弯曲变化而变化，因此Gauss微分几何中所有“度量性质”的几何量同样不允许被真的视为反映曲面局部域特征的“内蕴”量，而逻辑地依赖于曲面的“整体性”几何特征。
Gauss微分几何源于对二维曲面几何特征的研究。毫无疑问，如果Gauss微分几何中的许多概念和结果如果是正确和有用的，那么，它们必须独立于任何一个研究者的主观意志，逻辑地归结为真实存在的二维曲面。
但是，Gauss微分几何在逻辑上隐含的最大失误在于：否定整个几何描述得以存在的“实体论”基础、逻辑前提和限制；否定形形色色几何属性作为一个性质整体的不可分割性和相互依赖性；凭借纯粹的主观猜测，试图将实际上并不真实存在的所谓“内蕴特征”从性质整体中割裂开来。这样，这些人为认定不仅仅隐含太多的逻辑悖论，而且将18世纪后的数学研究引入过分浅薄粗糙的“约定论”错误导向之中。




Christoffel符号 对于Christoffel最早（1869年）引入的算符

不难将其改写为由Gauss微分几何第一基本形式构造的形式。因此，Christoffel可以视作与曲面整体弯曲特征无关的内蕴量。
仍然考虑曲面基本方程
式中的L i j就是曲面的第二类基本量，所以Christoffel符号不可能成为与曲面在空间整体弯曲特征无关的“内蕴”量。
作为Riemann几何构造形式系统的基础之一，必须承认Christoffel符号是能够反映“局部域”弯曲特征的联络。因此，一旦对其形成逻辑否定，必然对整个Riemann几何的存在基础构成完全否定。




测地线

形式定义
与

几何意义
曲面上任意一点处测地曲率为

如果连接曲面上两点的曲线每一点的测地曲率等于零，该曲线为测地线。作为曲面几何的一个“局域”概念，测地线又定义为局部最短线。
对于曲面上任意两点，它们之间存在许许多多曲线。
作为这个曲线族中长度最小的“短程线”只允许是一个依赖于整个曲面几何特征的“全局性”概念。并且不难作出证明：曲面上两点之间的短程线与测地曲率是否为零完全无关。
1. 测地线方程刻画的仍然是包括曲面弯曲特征的“整体”性质；
2.与Christoffel符号不能视作纯粹的内蕴特征一致， 测地线方程看似仅仅使用两个曲线坐标，实质上是定义于三维空间并需要满足附加约束方程的形式表述；

3. 在测地线的“有限”邻域，满足极值条件的测地线只有一条。因此，经典理论所说“给定曲面上一点和一个切方向总存在测地线”的结论，对测地线必须蕴含的极值条件构成否定。.





基本方程
测地线基本方程为
根据常微分方程一般理论，只要给定曲面上的点以及该点处任意给定的切方向，测地线方程的解总存在。因此，曲面上任意给定的方向都可以成为测地线方向。
必须首先满足曲面上曲线的“存在性”条件

以及本质上定义于三维空间的“最小值”条件








曲面上向量场的微分学



曲面上的向量场


作为现代微分几何的第一个人为认定：曲面上的向量或向量分布，必须指曲面上给定点处与曲面相切的向量或向量集合；并且，只允许讨论这样一种特殊限定的向量分布。 定义于三维空间R 3、起点在给定曲面S之上的向量场

是一个客观量。考虑到几何实体S的弯曲性，即使存在向量场a处处与给定曲面相切，它仍然是三维空间的向量分布，所以经典定义的曲面上向量场无理而无意义，从而逻辑上留下了重大隐患。
1. 向量场分析中，作为工具的坐标系的选择是自由的。随着所选择坐标系的不同，几何量的分量表述随之不同。但既然是客观的，不同坐标系中同一几何量的不同分量表述具有确定的逻辑关联，从而才可能保持本质同一；
2. 即使如现代微分几何所述，存在一个处处与曲面相切的向量场，但是，只要该曲面不能蜕化为平面，那么，该向量场本质上仍然是属于三维几何空间的向量分布，相应必须使用三维空间向量分布的规律研究曲面上的向量分布的变化规律；

3. 另一方面，逻辑推理的全部意义在于如何保证推论与逻辑前提的一致性。因此，在研究曲面上向量场变化规律的时候，按照称之为Levi-Civita的纯粹人为认定，略去与da为同阶小量的法向分量是完全无理的，破坏了逻辑推理的本质；

4. 作用于向量场A的梯度算子Ñ与向量场A一样，其本质意义在于它们内蕴的客观性。并仍然因为此，曲面上向量场的梯度场成为其“整体”具有不变意义的张量场；

5. 作为“约定论”的人为假设，Levi-Civita平移略去真实微分中与其同阶的法向分量毫无道理。以此为基础构造的协变微分同属杜撰，既破坏了逻辑也破坏了张量必需的“客观性”基础，同样毫无道理。




Levi-Civita平移 为满足上述人为认定，在讨论曲面上向量场变化规律（微分学）时，20世纪初的微分几何接受Levi-Civita提出的另一个人为认定，即平行移动假设

将向量场微变化da中与曲面垂直的分量部分略去，并称为向量场的绝对微分。
不难证明：对于曲面上给定的向量分布a，两无穷邻近点之间的真实微分da与作为人为认定所略去的法向分量属于同阶小量，即

因此，Levi-Civita平移假设明显无理，导致整个微分几何陷入悖谬。










协变微分





作为上述二人为认定的另一人为认定的后继，称形式表述
为具有张量性质的量，并称之为曲面上向量场A的协变微分或梯度分布。
三维空间R 3中的向量场A(x)，其梯度场的曲线坐标表示形式为

作为一个整体，它是张量即与坐标系选择无关的客观量，与经典理论为二维曲面所定义的协变微分完全不同。

与“实体论”之上Gauss微分几何的前半段逻辑相容，曲面上向量场梯度的恰当形式表述需修正为


在某些特定问题中，如果确信所讨论曲面确定点x点处向量A(x)的法向分量等于零


才允许在该点处将向量分布的梯度可以写成经典表述的协变微分形式。尽管如此，只要曲面上向量分布A(x)连续可微，邻点处向量场的法向分量恒不等于零，因此，条件存在的经典形式表述不具传递性。














Riemann张量
考虑三维Euclid空间中的向量场A(x)，根据“协变微分”构造的运算法则，有

按照以上所述，改变前后求导的次序，得


将两式相减


引入如下所示的形式量


相应存在


根据张量的“商原则”，4阶数组R p i j k 构造的集合称之为张量，即Riemann张量。
协变微分对应于梯度场。考虑三维向量空间的某向量场A，其梯度场梯度的“完整”表述为

使用分量标记，并模仿微分几何构造“Riemann张量”的方式，得



显然有


即


于是，即使可以视“Riemann张量”为一种记号，它仍然是没有任何数学意义的“空”陈述。事实上，这也是限定在3维Euclid几何空间中的情况下，“Riemann张量”的所有系数都恒为零的缘故。4

至于二维曲面，不仅是Riemann张量无意义，而且是构造该记号的协变微分表述都不允许存在的问题。
给定空间域的向量场A(x)以及表现向量场“不均匀性”的梯度场ÑA，乃至进一步表现向量场梯度场“不均匀性”的二次梯度场ÑÑA都属于一种被赋予“客观内涵”的存在。这种客观性内涵不仅仅成为构造相关形式表述的基础，而且还是判断相关形式表述是否恰当的唯一基准。另一方面，这些“客观性量”的形式表述较为复杂，乃至它们在不同坐标系之中的不同“分量”表述本质上需要被视为一种“整体”意义的独立存在。如果离开坐标系“特定背景”谈论张量的某种具体“分量”表述，甚至把某一个特定坐标系“分量集合整体”中的某一个“单独分量”孤立开来，以一种过分简单的“形而上学”方式讨论张量的特征，恰恰成为对“张量本质”的根本背离。




几何学
Erlangen纲领

1872年，F. Kline提出后来影响整个西方几何学研究并被称之为Erlangen纲领，也就是所谓“从变换的观点看待几何”的主张：
所有的几何必须统一在变换群之下，不同的几何学实际上对应于不同变换群的不变性质。进一步说，几何学需要研究的是空间中图形称之为几何性质的等价性或不变性质，并且，这些不变性质就是已知变换群中任意变换下的不变量。因此，应该按照变换群对几何加以分类，最终把几何学研究能够化为统一的形式。
这是关于现代几何学研究乃至涉及整个数学体系研究，一个大致反映18－19世纪西方数学研究逐步陷入“约定论”怪圈，哲学导向上完全错误的纲领。这个导向性错误纲领在思维逻辑上一系列彼此关联的致命缺陷在于：
1. 任何数值描述的几何性质特征，不仅依赖于几何体自身的物质基础，而且还决定于所使用的特定工具（坐标系）。否定任何形式“变换群”赖以存在的逻辑前提，将某种一成不变并过分简单的变换关系置于复杂的几何体之上属于明显逻辑倒置；

2. 特定几何实体的性质特征本质上是一个相互依存、不可分割的整体。变换群充其量只是几何体丰富多彩性质特征中的一个。因此，任何将变换群独立化的企图都是对这一基本事实的否定；

3. 与形式服从于实体的平凡道理一致，任何恰当形式表述只允许条件存在。反过来，由于所谓的“统一形式”在逻辑上对应于无“有限论域”限制的幼稚追求，最终必然陷入重重悖谬之中。




原则上，人类永远不可能说出比大自然本身更多的东西。与此同时，科学陈述必需的可理解性，不过是一切合理科学陈述必须满足“逻辑相容性”要求的自然推论。因此，真正科学的必须符合逻辑，最终也必然是容易为人们理性或逻辑地接受。于是，如果说陈省身先生曾经在纪念Einstein100周年大会上坦言“讲一半自己不懂东西的奇异感觉”不妨视作对现代西方科学世界普遍存在认识反常与逻辑倒置一种发自内心的困惑，那么，人们需要格外重视陈省身先生通过那本国内已经反复印刷的《微分几何讲义》一书的后记，在尽情抒发“微分几何与理论物理真是‘同气连枝、同胞共哺’了”的感叹的同时，仍然没有忘记给他的读者以谆谆告诫：

据我了解，一切物理的理论最终要“量子化”。在数学上，我们需要研究无穷维空间及其分离的现象。

毫无疑问，陈先生所说的“无穷维空间”同样只能纳入他自己所说“一半自己不懂东西”的范畴。并且，人们还可以做出符合逻辑的断言：一个充满差异或分离现象的物质世界，必然与必须以“充分光滑”为存在基础的微分流形格格不入。正因为此，正是陈省身先生这个没有忘记做出的最后补充才最为本质、深刻、发人深省。当然，这个补充也对任何人不可能真正读懂的微分几何构成了彻底和完全的否定。

作为19世纪“非Euclid几何”创建者之一的Lobatchevsky还是一名著名的教育家，他曾经雄辩地告诉人们：

人类的认识历史，就是一部认识错误的历史。

同样，面对人类深化认识的历史长河，为什么要求这些19世纪的西方人不犯错误，或者真的像M. Kline所述，必须绝对相信那些“可以无视逻辑推理的伟大人物的伟大直觉”呢？

无论试图捍卫经典理论，还是希望对经典理论做出某种严肃的批判，一个必要并且最基本的逻辑前提是：必须首先真正读懂经典理论，解读理论体系构建者内心的思想，明晰这种创造中可能存在的思想闪光点乃至往往难以避免的认识不当或谬误。如果只是简单照搬经典理论中的具体陈述，甚至还轻松谈论“讲述有一半自己不懂的东西”的乐趣，那么，这样的研究既不是真正的继承也不是合理的批判，并且，只能将从来没有仅仅属于西方人而理应属于整个人类的科学事业引入歧途。


1.4.3 张量的“不变性”意义及其“实体论”基础


众所周知：张量运算的根本价值并不在于通过省去和号的Einstein约定，能够神秘地把冗长的公式变得简洁和紧凑；张量分析之所以获得广泛应用的真实意义在于它的不变性，即不随坐标的不同选择而变化的性质。[7]

但是，真正赋予张量“不变性”意义的只能是它必需的“实体论”基础，而不是某种“约定论”的、并且看似无可非议甚至不无美妙的人为认定。正是在这个最基本逻辑前提上隐含的认识颠倒，由19世纪的Gauss，Riemann，Christoffel等最初提出，进而经过20世纪的Ricci，Levi-Civita等加以发展的张量分析，乃至催生这个极其重要数学体系的整个现代微分几何陷入基础性的悖谬之中，谁也不能真正读懂。

此处为张量分析增加的补充材料中，仅仅涉及如何对张量作出“合理定义”这个看似简单的问题。但是，对于这个问题的重新澄清，本质上归结为同样需要接受“构造性对象”作为构造张量，最终关系到整个数学体系基础的一个最基本命题。


命 题 经典陈述或结论 修正结果与解释 一 般 分 析










张量
古典定义




对于n维向量空间中的几何量T，如果它在{x}坐标系下能够用n s + k 个分量加以表述，即

而在另一个坐标系{y}中的分量表述为


并且，两种分量表述之间能够满足


那么，将该几何量T称之为 (s + k) 阶混合张量。
1. 首先需要注意，作为定义式的不同坐标系中的分量变换关系

是一个条件关系式。在不仅仅需要讨论某定点处张量的简单情况，而需要涉及张量场分析的一般情况时，只有在仿射坐标系的特定条件下才允许使用这个线性变换关系式；

2. 因此，不能使用上述特定的代数关系式作为张量的一般形式定义；

3. 反过来说，只要存在一个真实的几何量，并且当该几何量能够借助于坐标系对自己作出一种定量意义的完整描述时，那么，无论该几何量如何复杂，它在不同坐标系中的不同分量表述之间总存在确定性的关联，从而满足作为几何量必须独立于坐标系人为选择的“客观性”要求；

4. 坐标系的选择是自由的。因此，对于张量自身而言并没有“协变、逆变或混变”的区分。
毫无疑问，需要正视的并不只是张量形式定义隐含的逻辑不当问题，而在于如何彻底纠正隐含于Gauss，Riemann，Ricci等所谓西方近代几何学大师们因为缺乏对自我思想的自觉限制，下意识否定几何学所必需“实体论”的基础，从而将包括几何学在内的自然科学引入“约定论 —— 绝对唯心主义”歧途的粗糙、简单和割裂的严重错误。
1. 初期微分几何承认“实体论”基础，一些正确结论尽管为 Gauss首先获得，但是它们并不属于Gauss而属于几何体；

2. 几何体的客观存在是张量表述得以存在的基础和逻辑前提，反过来张量的不变性正是几何客观的逻辑必然，不能将两者颠倒过来；

3. 无论张量古典定义的线性变换，或者是张量现代定义中的线性函数，乃至一切形式表述的性质特征，都只能逻辑地隶属于某一个特定的对象。不仅如此，能否独立于人为约定恰恰成为性质特征是否合理的唯一试金石；

4. 性质特征是一个整体，着眼于特定分量表述的任何讨论不具本质意义；

5. 西方知识体系普遍存在缺乏依据作无穷推理或猜测的不良习惯。解析延拓不属于逻辑推理的范畴。三维空间是客观存在，不能将它的许多特征随意推广至n维空间。









张量
现代定义

自20世纪50年代以后，因为整体微分几何的需要，人们考虑采用与坐标系无关的方式来表达张量。
对于任意正整数r，如果在n维向量空间V中存在r重线性函数


则称之为向量空间V中的r阶张量。

如果r阶张量Φ作用于如下所示的一组基向量，其值


记之为


并称作 (s + k) 阶混合分量。
1. 认识到分量表述对于特定坐标的依赖性，重视张量的“整体性”意义应该视作认识的进步；
2. 此外，纠正了经典定义中提出混合张量、协变张量与逆变张量的逻辑不当，将其仅仅定义于张量的分量之上，同样体现认识的进步；

3. 但是，最根本的问题并没有真正得到解决。也就是说，此处的r重线性函数的定义


仍然必须要视作一个只允许存在于仿射坐标系中的条件关系式，故而不能当作张量的形式定义；

4. 事实上，在进行张量场分析时，只要使用曲线坐标系，就立即对上述形式定义构成逻辑否定。





1.4.4 纠正现代微分方程理论中的一系列逻辑不当


需要重视数学物理模型的“整体性”特征以及微分算子的“非独立性”意义。一般而言，在研究由微分方程构造的数学物理模型时，人们首先需要形成一种理性意识：作为泛定方程的微分方程和作为定解条件的边界条件，本质上是一对需要彼此协调互为依存的整体。进一步说，在求解某一个适用于给定空间域的分布或函数的时候，微分方程所描述的只是整个空间域每一点处都需要满足的“共性”特征或“内在”特征，但是，空间域中符合这种内在要求的分布无以穷尽，因此，只有同时满足边界条件所描述的“个性”特征或“外部”特征的时候，才可能得到一个物理上所必需即能够满足“唯一性”要求的解。

通常的数学著述虽然没有如上所述作明确交待，但是这些基本思想应该视作探讨数学物理方程时心照不宣、格守不渝的普通道理。但是，20世纪后，一些现代数学著述几乎完全无视恰当边界条件如何构造，孤立地讨论微分算子及其建立的微分关系式，乃至出现单纯借助于差分运算将微分方程化解为代数方程进行计算的错误导向。这样一种研究偏微分方程的方法，不能不视为数学乃至思维逻辑的一次严重倒退。事实上，对于人们已经发现经典电磁场理论中Maxwell方程组不可解的问题，在数学上需要归结为恰当的数学物理模型至今并没有真正建立起来的问题。

此外，在《数学百科全书》中，把波动方程在形式上固定化的方法同样是一个需要纠正的错误方法。


命 题 经 典 结 论 修 正 结 果 一 般 分 析

边界条件独立性 与数学物理模型中泛定方程必须具有独立的形式意义，相应被赋予确定的物理内涵不同，在某些特定情况（特别是量子力学）下，允许凭借待求函数的“连续性”条件构造边界条件。 边界条件必须满足与泛定方程之间的协调性要求，与此同时，还必须具有独立性意义。因此，不能仅仅凭借任何微分方程的解必须满足的连续性条件，人为地构造边界条件。 根本受限于哲学的“认识论”基础乃至整个现代数学体系的哲学基础至今没有得到解决的认识困惑，西方学者特别喜好作不作严格限制的无穷推理，使得他们建立的知识体系在揭示许许多多局部性真理的同时，又致命地陷入重重逻辑悖谬之中。
1. 与一般数学概念与表述一样，微分方程及其构造的完整数学物理模型仍然需要实在的物理内涵，不允许作纯粹想当然的主观杜撰；

2. 考虑到物质世界内蕴的离散特征，大自然中能够严格满足微分方程的解极其罕见。尽管如此，一旦抽象为微分方程描述的物理现象，那么它依然需要满足微分方程的一般规则；

3. 不仅不允许把中等数学关于代数学的简单结论简单引入求解微分方程的问题，而且还需要对具体的数值计算方法与微分方程的理论分析作严格区分。




二阶线性微分方程与
一阶微分方程组



对于给定空间域中某一个给定的二阶微分方程，只要该微分方程是线性的，那么，它几乎总可以代之以一个与其保持等价的一阶偏微分方程组。 1. 对于给定空间域中的一个恰当数学物理模型，泛定方程起码为二阶微分方程，否则无法被赋予独立意义、通常为一阶形式的边界条件匹配；
2. 在边界上，无法构造能够与一阶泛定方程匹配、并具有独立内涵和一般意义的恰当边界条件；

3. 泛定方程与恰当的边界条件是一个整体。因此，即使一个一阶微分方程组能够与某给定的二阶微分方程保持逻辑相容，但是该一阶方程组依然不可以取代最初的泛定方程。






数理方程可解性



模仿中等数学求解代数方程时的处理方法，根据泛定方程中独立微分方程的数目是否与待求变量的数目保持一致，对微分方程所构造定解问题的可解性作出判断。 绝不允许以一种过分随意和过分粗糙的方式，将求解代数方程组的简单结论外延至求解微分方程定解问题的场合。
事实上，在需要求解理论物理中具有普遍意义的矢量势Ψ时，一个恰当的数学物理模型只能是：


此时，泛定方程对应于四个具有独立意义的分量方程；而边界条件仅仅包含两个独立的方程，它们都与因变量的独立分量数不一致。






参考文献

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吴文俊. 世界著名数学家传记 [M]. 北京：科学出版社，1995
郭仲衡. 张量（理论和应用）[M]. 北京：科学出版社，1988
S. P. Parker. 物理百科全书 [M]. 北京：科学出版社，1998
卢嘉锡，梁宗巨. 自然科学发展大事记（数学卷、物理卷）[M]. 沈阳：辽宁教育出版社，1994
V. 塔西奇，蔡仲, 戴建平译，后现代思想的数学根源 [M]. 上海：复旦大学出版社，2005
R. 柯朗, H. 罗宾著，左平, 张饴慈译. 什么是数学 [M]. 上海：复旦大学出版社，2005
M× 克莱因著, 李宏魁译. 数学：确定性的丧失 [M]. 长沙：湖南科学技术出版社，2004
D. 希尔伯特著, 江泽涵, 朱鼎勋译. 几何基础 [M]. 北京：科学出版社，1995
杨本洛. 流体运动经典分析 [M]. 北京：科学出版社，1996
杨本洛. 理论流体力学逻辑自洽化分析 [M]. 上海：上海交通大学出版社，1998
杨本洛. 量子力学形式逻辑和物质基础探析 —— 现代自然科学基础的哲学和数学反思 [M]. 上海：上海交通大学出版社，2006
杨本洛，电磁场理论形式逻辑分析，上海，上海交通大学出版社，2009

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• 杨本洛 blog -marketreflections- ♂ (92 bytes) () 08/13/2009 postreply 10:27:39