自然对数底数 "e" 2008-06-02 21:32:08 来自: diz_Child(the third industrial revolu...) 这个无理数 e 是怎么来的? 是纯数学推导出来的吗? 它有直接对应的物理意义吗? 为什么自然界那么多物理量都和它有关? 如果它是通过测量发现的,那么它的值(和指数运算关系)又是怎么总结出来? 如果是通过纯数学推导出来 那是不是应该有个因为发现了它而成名的数学家? X 登录 · · · · · ·Email: 密 码: 忘记密码了 在这台电脑上记住我 >还没有注册... 2008-06-02 21:40:13 和平超人 编对数表，以这个为底最好编 > 删除 2008-06-02 21:45:55 diz_Child (the third industrial revolu...) 在没确定是对数关系之前不需要编对数表啊~ 好编又是以什么做标准的呢? > 删除 2008-06-02 21:51:34 est (12539;´65386;`12539;) 欧拉公式 e＾iθ=cosθ+isinθ, 令 PI = 6.2831853071795862 e ^ (i * pi) =1 平衡的美，4个无敌的常熟, pi, e, i, 1，奠定了基础数学的根基！ > 删除 2008-06-02 21:57:31 diz_Child (the third industrial revolu...) 哈哈 多谢楼上 你们学校是我们学校所谓的总校... > 删除 2008-06-02 22:06:28 diz_Child (the third industrial revolu...) 但是我问的是"怎么来的",即怎么发现的 楼上的意思是定义出来的? > 删除 2008-06-03 10:45:35 ★各位保重 你可以看这个网页 以及这个网页提供的相关连接 http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm 市面上有一本我们国家的数学家写的关于 e 的书 > 删除 2008-06-03 10:52:49 和平超人 2008-06-02 21:45:55 dizzy_Child (中山) 在没确定是对数关系之前不需要编对数表啊~ 好编又是以什么做标准的呢? -------------------------------------------- 什么叫“在没确定是对数关系之前”？ > 删除 2008-06-03 10:58:22 和平超人 反正大致就是以前编对数表，又没计算器，觉得用10做底太麻烦了，想找个好算点的数做底，就找了这个数。为什么好编么，(lnx)'=1/x 00年左右某期“中等数学”上看的 > 删除 2008-06-03 18:38:45 vivienne (四月的阳光) 这和普郎克数应该都是自然的吧。。。推导得出来吗？ > 删除 2008-06-03 21:18:54 没没够 pi, e, i, 1,0 五朵金花 找个等式把他联系一下 > 删除 2008-06-03 21:28:15 和平超人 2008-06-03 18:38:45 vivienne (上海) 这和普郎克数应该都是自然的吧。。。推导得出来吗？ ====================================================== 。。。不知道(1+1/n)^n的极限是e么 > 删除 2008-06-03 21:57:05 A.E.小凡 e，作为数学常数，是自然对数函数(Natural Logarithmic Functions)的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它的数值约是（小数点后10位）： e ≈ 2.7182818284 第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)，他尝试计算下式的值： lim n→∞ (1+1/n)^n。 已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然往后年日有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。 用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。 > 删除 2008-06-04 06:03:15 真实的D 是的,e是LS所说的极限值。可以证明的。 > 删除 2008-06-04 08:57:49 潘格温 2008-06-03 10:45:35 x7x7囧不要鉆入我腦袋搗亂 (武汉) 你可以看这个网页 以及这个网页提供的相关连接 http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm 从上面找的， (ln(x))'=1/x,但是如果不以e作为底，就没有这么简单的形式了。 > 删除 2008-06-04 12:09:03 大笨狗 (某阳瘐毙的犯人，也有一个梦想) 还有一个欧拉常数，大家听说过吗？不是e! > 删除 2008-06-04 12:33:46 diz_Child (the third industrial revolu...) ... pi 也有类似的极限值 很多物理计算跟 pi 有关 可以理解 因为这些计算跟圆有关... 但是 e 呢? ______________________ "e" 的几何意义 : 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限循环数。 (http://baike.baidu.c8203;om/view/11033.htm) ______________________ 那么与 e 有关的物理(几何)计算 是否都与螺线有关(不管多么微妙的关系) 比如 PN 结中的电流: Id=Is(e^(Ud/Ut - 1)) 难道其中的电流是成涡流状流动的? 或者其他量与螺线有关? ____________________________________________ PS:多谢 2008-06-03 21:57:05 A.E.小凡 (威海) > 删除 2008-06-04 13:14:51 和平超人 2008-06-04 12:09:03 大笨狗 (济南) 还有一个欧拉常数，大家听说过吗？不是e! ====================================== 00年左右某期《中等数学》也有讲这个 > 删除 2008-06-04 21:55:57 A.E.小凡 转篇文章： 自然律——美学家和艺术家的瑰宝 钟健夫 （原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》） 旋涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星…… 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限循环数。 数，美吗？ 1、数之美 人们很早就对数的美有深刻的认识。其中，公元前六世纪盛行于古希腊的毕达哥斯学派见解较为深刻。他们首先从数学和声学的观点去研究音乐节奏的和谐，发现声音的质的差别（如长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。例如发音体（如琴弦）长，声音就长；振动速度快，声音就高；振动速度慢，声音就低。因此，音乐的基本原则在于数量关系。 毕达哥斯学派把音乐中的和谐原理推广到建筑、雕刻等其它艺术，探求什么样的比例才会产生美的效果，得出了一些经验性的规范。例如，在欧洲有长久影响的“黄金律”据说是他们发现的（有人说，是蔡泌于一八五四年提出了所谓的“黄金分割律”。所谓黄金分割律“就是取一根线分为两部分，使长的那部分的平方等于短的那部分乘全线段。”“如果某物的长与宽是按照这个比例所组成的，那么它就比由其它比例所组成的长方形‘要美’。”）。 这派学者还把数学与和谐的原则应用于天文学的研究，因而形成所谓“诸天音乐”或“宇宙和谐”的概念，认为天上诸星体在遵照一定的轨道运动中，也产生一种和谐的音乐。他们还认为，人体的机能也是和谐的，就象一个“小宇宙”。人体之所以美，是由于它各部分——头、手、脚、五官等比例适当，动作协调；宇宙之所以美，是由于各个物质单位以及各个星体之间运行的速度、距离、周转时间等等配合协调。这些都是数的和谐。 中国古代思想家们也有类似的观点。道家的老子和周易《系辞传》，都曾尝试以数学解释宇宙生成，后来又衍为周易象数派。《周易》中贲卦的表示朴素之美，离卦的表示华丽之美，以及所谓“极其数，遂定天下之象”，都是类似数学推理的结论。儒家的荀卿也说过：“万物同宇宙而异体。无宜而有用为人，数也。” 庄子把“小我”与“大我”一视同仁，“小年”与“大年”等量齐观，也略同于毕达哥拉斯学派之把“小宇宙”和“大宇宙”互相印证。所谓“得之于手而应用于心，口不能言，有数存在焉与其间”。这种从数的和谐看出美的思想，深深地影响了后世的中国美学。 2、黄金律之美 黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。我们知道，黄金律不仅是构图原则，也是自然事物的最佳状态。中世纪意大利数学家费勃奈舍发现，许多植物叶片、花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的，这即是著名的“费勃奈舍数列”：1、 2、 3、5、8、13、21、34……动物身上的色彩图案也大体符合黄金比。舞蹈教练、体操专家选择人材制定的比列尺寸，例如肩宽和腰的比例、腰部以上与腰部以下的比列也都大体符合黄金比。 现代科学家还发现，当大脑呈现的“倍塔”脑电波的高频与低频之比是1：0.618的近似值(12.9赫兹与8赫兹之比)时，人的心身最具快感。甚至，当大自然的气温（23摄氏度）与人的体温37摄氏度之比为0.618:1时,最适宜于人的身心健康,最使人感到舒适。另外，数学家们为工农业生产制度的优选法，所提出的配料最佳比例、组织结构的最佳比例等等，也都大体符合黄金律。 然而，这并不意味着黄金律比“自然律”更具有美学意义。我们可以证明，当对数螺线： φkρ=αe 的等比取黄金律，即k=0.0765872，等比P1/P2=0.618时，则螺线中同一半径线上相邻极半径之比都有黄金分割关系。事实上，当函数f（X）等于e的X次方时，取X为0.4812,那么，f（X）=0.618…… 因此，黄金律被“自然律”逻辑所蕴含。换言之，“自然律”囊括了黄金律。 黄金律表现了事物的相对静止状态，而“自然律”则表现了事物运动发展的普遍状态。因此，从某种意义上说，黄金律是凝固的“自然律”，“自然律”是运动着的黄金律。 3、“自然律”之美 “自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：(1+1/x)^x 当X趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究(1+1/x)^x 当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e= 2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。 现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。 生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。 “自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。 如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。 e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。 英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？ 我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。 古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。 有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！ 有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。 “自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律” 永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。 > 删除 2008-06-04 22:04:56 A.E.小凡 2008-06-04 12:09:03 大笨狗 (济南) 还有一个欧拉常数，大家听说过吗？不是e! ----------------------------------------- 欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值。 它的近似值γ ≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼(Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。 目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10^242080。 > 删除 2008-06-05 22:34:55 海若 (I believe I can fly!) 齐民友《重温微积分》里面有讲欧拉是怎么算e的。 > 删除 2008-06-05 23:12:19 czy LS说的那本书是极好的书 里面一开始就讲e 好像从增长模型引出来的 > 删除 2008-06-14 20:15:59 Vanillafish (寻找概率背后的真实) 2008-06-04 12:33:46 dizzy_Child (中山) ... pi 也有类似的极限值 很多物理计算跟 pi 有关 可以理解 因为这些计算跟圆有关... 但是 e 呢? ______________________ "e" 的几何意义 : 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限循环数。 (http://baike.baidu.com/view/11033.htm) ______________________ 那么与 e 有关的物理(几何)计算 是否都与螺线有关(不管多么微妙的关系) 比如 PN 结中的电流: Id=Is(e^(Ud/Ut - 1)) 难道其中的电流是成涡流状流动的? 或者其他量与螺线有关? ____________________________________________ PS:多谢 2008-06-03 21:57:05 A.E.小凡 (威海) ============================================= 莫非电磁学中的麦克斯韦微分方程从某些层面上反映了螺旋性质？ > 删除 2008-06-15 01:03:35 组长专员 e选的好 > 删除 2008-06-22 02:54:02 est (12539;´65386;`12539;) 2008-06-03 10:58:22 和平超人 反正大致就是以前编对数表，又没计算器，觉得用10做底太麻烦了，想找个好算点的数做底，就找了这个数。为什么好编么，(lnx)'=1/x 00年左右某期“中等数学”上看的 这个不是偶然，呵呵 > 删除 2008-06-22 21:35:56 和平超人 2008-06-22 02:54:02 est (成都) 2008-06-03 10:58:22 和平超人 反正大致就是以前编对数表，又没计算器，觉得用10做底太麻烦了，想找个好算点的数做底，就找了这个数。为什么好编么，(lnx)'=1/x 00年左右某期“中等数学”上看的 这个不是偶然，呵呵 ===================================== 是指在另一组也见着我了么。。。 > 删除 2008-06-25 20:41:24 sanqi (晨星|明天你还在？) 第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)，他尝试计算下式的值： lim n→∞ (1+1/n)^n。 ---------------------------------------- 暂同这个说法,学极限概念就提到这个 > 删除 2008-06-25 21:12:08 Knossos 还真忘了 这数是怎么来的 > 删除 2008-06-29 21:06:10 王富强 我的数学老师说跟星体的运动有关． pi e i 间偕震动的解把他们联系起来了．奇妙啊！ > 删除 2008-07-07 19:08:46 yangziqing 因为物理中的一些常微分方程的自变量是以1/x的形式出现的，一积分就成lnx了。明白？ > 删除 2008-07-07 20:45:38 fzfasfafhrred e^{i*pi}+1=0 > 删除 2008-07-07 20:55:15 diz_Child (the third industrial revolu...) 2008-07-07 19:08:46 yangziqing 因为物理中的一些常微分方程的自变量是以1/x的形式出现的，一积分就成lnx了。明白？ 这个解释似乎不错~ > 删除 2008-07-24 23:12:05 孤天天 看不懂``现在高3刚接触e`` > 删除 2008-08-02 22:57:47 naphy e并不直接对应任何物理意义，这个是明显的。 至于用对数表示的定律，那也只是一种形式表达， 至于用什么作底数，没任何影响。 > 删除 2009-05-14 15:54:37 纯粹的科学人 (不虚美，不隐恶) http://bbs.matwav.com/redirect.php?goto=lastpost&tid=152775 > 删除 2009-05-15 01:11:36 Everett e 是所有线性微分方程的通解， 几乎所有的物理过程， 在一阶近似下都可以用线性微分方程描述， 所以经常有 e > 删除 2009-05-15 01:12:54 Everett 另外就是物理学家喜欢平面波和Fourier分析 > 删除 2009-05-15 03:14:17 轩辕一水 (她说，成仙的感觉，·~~~~) 这个问题也困扰了我很久，当年我刚接触e的时候，我查了不少资料，但是没有一个让我满意的答案 > 删除 2009-05-16 16:14:43 Phillip 2009-05-15 01:12:54 Everett 另外就是物理学家喜欢平面波和Fourier分析 ================================= 确实很多方程的求解都是从平面波解入手, 再利用Fourier进一步讨论 但是对于非线性的那就复杂了.
