粒子必定在空间某处出现，归一化积分与时间无关; 并不是像经典波那样代表实在的物理量的波动

2.2物质波的统计解释
　　电子所显现的粒子性总是以具有一定的质量、电荷等属性的客体出现，但并不与粒子有确切的轨道的概念有什么必然联系；电子显现出的波波动性，也只不过是波动性中最本质的东西——波的相干叠加性，并不一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在一起。把微观粒子的粒子性与波的相干叠加性统一起来是玻恩（M.Born，1926）提出来的几率波。
　　德节罗意提出的物质波或波函数所描述的并不是像经典波那样代表实在的物理量的波动，而只不过是刻画粒子在空间的概率分布的几率波而已。由于波函数 可以是复数，而几率总是实数，因此

决定t时刻在空间 处发现粒子的几率。同时，发现粒子的几率正比于所考虑体积的大小。让 是t时刻在体元dV=dxdydz内发现粒子的几率，那么

它归一化为1，即几率波幅 满足

也就是说，粒子必定在空间某处出现，归一化积分与时间无关

波函数 是平方可积时，它才是归一化的。波函数的几率解释还是个假设，其有效性必须由它预言的成功来证明。如果系统的运动限制在一定范围内，这个态是束缚态；如果它不受限制，就是自由态。一般而言，束缚态(E 　　1.即使加上了归一化条件，波函数仍然有一个模为1的因子的不定性，或者说，位相不定性，即对任意实数 ， 和 描述的是同一状态。唯一性的不足源于事实，只有几率密度 有物理上的实质作用。
　　2.自由态波函数不能按 归一化。一个例子是描述动量 ，且有不确定空间坐标的自由粒子运动的平面波

其中N是实常数。对这样的波函数有两种方案归一化。
　　①箱归一化，即定义所有函数在一个边长为L的立方体内，且假定按微观标准，L很大，以致边界条件对体积V=L3内粒子运动的影响很小。所以，能以相当简单、任意的形式选择边界条件。通常选以L为周期的周期性边界条件

现在归一化因子N确定为

所以 。这样，归一化波函数为

边界条件限制了动量 的可能值

其中nx，ny，nz取整数，因此 ，还有 是量子化的。


在极限条件下L→∞，相邻 以及能量E值之间的差趋于零，即回到无限空间中自由粒子的运动。这样，波函数 构成正交函数系，使

②归一化为δ函数，即

其中