量子力学 on-line 经典振子的能量正比于振幅的平方

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第一章　量子力学的实验基础
1.1黑体辐射
　　所有物体都发射出热辐射，这种辐射是一定波长范围内的电磁波。对于外来辐射，物体有反射或吸收的作用。所谓黑体就是全部吸收投射到它上面的辐射而无反射的物体。如果在一空腔上开一个小孔，那么通过这个小孔逸出的辐射是如此之小，以致它的逸出对空腔内部的辐射没有什么影响。这个小孔的作用就象是一个理想的黑体，因为任何从空腔外面射入小孔里的辐射基本上被完全吸收。从小孔逸出的辐射也叫做黑体辐射，它是内部辐射的样品。理论和实验表明，这种辐射与构成空腔的材料无关，而只依赖于空腔的温度(T)。
　　空腔内辐射场的能量密度可通过测量仪器测量从小孔流出的能谱辐射通量密度的辐射功率而确定。设ρ(υ,T)dυ是空腔内在频率υ－υ+dυ之间的辐射能量密度，j(υ,T)dυ是在频率υ－υ+dυ之间单位时间垂直通过单位横截面积发射到(θ，φ) 方向上单位立体角内的能量，那么在时间t－t+dt之间通过面元ds，在频率υ－υ+dυ之间，且传播方向在立体角Ω－Ω+dΩ内的辐射对能量密度的贡献为

式中dV=dscosθcdt是微元体积，而θ为垂直于面元的法向与辐射方向之间的夹角，c是真空中的光速。因子2是源于这种辐射可以有两个相互垂直的极化方向。对dΩ积分之后，就得到单位体积内频率在v－v+dv之间的辐射能量为

这样空腔辐射率j(v,T)与空间辐射能量密度 之间的普遍关系为

由此式可得空腔内能量密度 与在逸出小孔的辐射中测出的辐射功率

之间的关系为


式中ΔS是小孔的截面积，θ为垂直于ΔS的法向方向与辐射方向的之间的夹角，而8710;Ω是由辐射探测器所面对的主体角。
　　通常的测量曲线示于图1.1中。这种辐射是具有极大值的连续光谱。此光谱在室温(T=300K) 时处于红外区域。
　　　　　　　　　　　　　　　　图１.１
　　维思（W.Wien，1896）从热力学普通理论以及分析实验数据得出的半经验公式为

式中c1、c2是两个经验参数。除低频部分外，维思公式与实验曲线符合较好。
　　瑞利和金斯（J.W.Rayleigh，1900，J.H.Jeans，1905）根据经典电动力学和统计物理学得到了一个黑体辐射公式

式中k是玻尔兹曼(Boltzmann)常数。此公式在低频率部分与实验曲线还比较符合。用此公式计算总辐射能量密度导致

与实验明显不符，即历史上所谓“紫外灾难”。
　　瑞利－金斯公式底出那儿出了问题呢？下面不妨从其推导过程来寻找问题的答案。
　　考虑一个边长为L的立方体，并假定此立方体内既无电荷又无电流，具有能完全反射的内表面（即理想导体谐振腔）。在空腔内电磁场的边界条件要求波长的各分量满足

这样的一组数（nx,ny,nz）对应着一个可能的波长 和两个可能的振动模式（因为有两个独立的偏振方向）。对每一组（nx,ny,nz）的可能取值，就得到k空间第一卦限中中一点。所有这些点在k空间第一卦限组成边长为 的立方体，立方体的体积为 ，每个立方体有8个顶角，每个顶角分属8个立方体，因此平均每个立方体只含一个格点，也就是一个状态，那么k空间第一卦限中体元dkxdkydkz中所含状态数为


式中V=L3 立方体的体积。采用球坐标，并注意到kx2+ky2+kz2=k2，可得在波矢k－k+dk范围内的状态数目为

考虑到每一个k值，有两个可能的极化方向后，可得在频率ν－v+dv之间的状态数目为


那么空间内单位体积内可能的状态数，即态密度为

　　按照统计热力学，每一个独立振动自由度的平均能量是 (能量均分定理)，而每一个振动的平均能量 ，那么在频率v－v+dv之间的能量密度就是

这就是瑞利－金斯公式。很显然，如果我们设想每一振动的平均能量 只是在低频时为kT，而在高频时为零，则紫外灾难就可避免。这意味着，每一振动的平均能量必然与频率有关。
　　为解释黑体辐射现象，普朗克（M.plank，1900）改进维恩公式，得出了另一个两参数公式

普朗克公式形式简单，而且相对于当时己有的几个公式与实验符合得最好。此后，普朗克致力于对此公式的理论解释。

　　普朗克公式的建立仍然可采用瑞利－金斯公式同样的步骤，差别在于每一振子的平均能量的取值。瑞利－金斯公式来自能量均分定律，而能量均分定律2来自玻尔兹曼分布。实事上，
， ，
如果振子能量不象经典振子那样取所连续能量值，而只能取分立值



则频率为v的振子的平均能量为
，
这样在v到v+dv之间的辐射能量密度为

这就是普朗克公式。至于普朗克常数，当时由理论与实验数相符而确定为h=8.6385×10-34J·s，其目前测量值为h=8.62559×10-34J·s。

普朗克成功的关键是把黑体看作一组连续振动的谐振子，而振子的能量值只能取最小能量单位hv的整数倍。于是黑体与辐射场交换能量也只能从hv为单位进行。于是，黑体吸收或发射的辐射能量的方式是不连续的，只能“量子”式地进行，每个能量子的能量为hv。普朗克的能量子假说是与经典物理的基本观念根本对立的，因为经典振子的能量正比于振幅的平方，而振幅可以连续变化，所以振子的能量也就可以连续变化。因此这一假说是对经典物理学的革命性突破，导致了量子论的创立。遗憾的是，普朗克在推出公式以后的十多年里，还一直试图抛开，甚至不相信量子的概念，而把它纳入经典理论的框架内。尽管他费尽心血，采用了许多新的技巧，但是都没有成功。直到他自己提出的这个假设在越来越多的其它问题上取得了巨大成功后，才不得不确信他的假说是正确的。