谢尔宾斯基海绵 经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体的内在特性 (图)

http://www.xgdfz.com/Fractal/Sierpinski&%20Menger.htm “病态”、“数学怪物”的画廊 -------------------------------------------------------------------------------- 当前位置： 分形入门 数学怪物画廊皮亚诺曲线 上一页 下一页 -------------------------------------------------------------------------------- （5）谢尔宾斯基（Sierpinski）地毯：（波兰，1915～1916年） -------------------------------------------------------------------------------- 三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴趣. 1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片”： 设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无穷，最终所得的极限图形F称为谢尔宾斯基“垫片”（图5.1）. 它被用作超导现象和非晶态物质的模型. Sierpinski 垫片是如此的完美，著名的巴黎埃菲尔铁塔正是以它作为平面图。虽然铁塔并没有把分形进行到无穷，但是它已经体现了这项工程的精彩，即在不损害结构强度的条件下完成了重力的转移 。 图5.1 将类似的操作施以正方形区域（与前面不同的是这里将正方形九等分）所得图形F称为谢尔宾斯基“地毯”（图5.2） 图5.2 谢氏垫片（地毯）的极限图形的面积趋于零，而小图形的数目趋于无穷，作为小图形的边的线段数目趋于无穷，实际上是一个线集。图形具有严格的自相似性和无标度性。其维数介于1与2之间。 -------------------------------------------------------------------------------- （6）门杰（Menger）海绵（也称谢尔宾斯基海绵） -------------------------------------------------------------------------------- 数学家门杰（K.Menger）从三维的单位 立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰“海绵”（1999年以前除[加]凯依著《分形漫步》外的大部分分形论著中，均称之为谢尔宾斯基海绵，曼德尔布罗特在《大自然的几何学》1998年最新修订版中对此加以了更正，并特别予以说明.）（图6）。 构造：取一立方体，第一步把立方体27等分后，舍去体心的一个小立方体和六个面面心的小立方体，保留20个小立方体。第二步再对20个小立方体作同样处理，此时保留下来的小立方体的数目为20*20=400个。如此操作，直至无穷。于是在极限情况下其体积趋于零，而表面积趋于无穷大，所以实际上得到一个面集。 这种“百孔千窗”，“有皮没有肉”的结构表面积无穷大，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构 模型。 从表面上看，海绵立方块是:一个立方体，是三维的，但它是以某一构造为基础而规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下它能压实在一个平面上，这时就是2维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充实的3维结构，其真实维数大于2.0而小于3.0。所以可以说经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体的内在特性 。 -------------------------------------------------------------------------------- 思考：谢氏垫片（地毯）、门杰海绵有哪些特性？为什么被视作“数学怪物”？