将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点

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用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度 ... 根据单位圆中三角函数的定义可知，正弦的符号决定于纵坐标y的符号，余弦的符号 ...
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③利用单位圆中的三角函数线作出三角函数图象，更好地研究三角函数的性质。
如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。



单位圆在高一数学中的应用
佛山市南海区大沥镇高级中学 高振球

摘要：单位圆在学习高一数学、尤其在三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆三角函数值在各个象限的符号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。

关键词：单位圆、三角函数、应用

所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。
单位圆在高一数学中的应用主要体现在必修④三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识。
一、单位圆在教材教学中的应用
1、利用单位圆定义任意角的三角函数：
如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则
α的正弦为： sinα=y，
α的余弦为： cosα=x，
α的正切为： tanα= (x≠0)
用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础。
2、利用单位圆理解记忆三角函数值在各象限的符号：
根据单位圆中三角函数的定义可知，正弦的符号决定于纵坐标y的符号，余弦的符号决定于横坐标x的符号，正切是由纵坐标y、横坐标x的符号决定：同号为正，异号为负。因此，各三角函数值在每个象限的符号如下图2：








3、利用单位圆巧记特殊角的三角函数值：
由三角函数定义：sinα=y，cosα=x，tanα= (x≠0)，
结合单位圆（如图3），便容易理解记忆以下特殊角的三角函数值：

α 0° 90° 180° 270° 360°
sinα 0 1 0 -1 0
cosα 1 0 -1 0 1
tanα 0 不存在 0 不存在 0

4、利用单位圆易于理解同角三角函数的基本关系：
在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形，如图4，
由Rt△OMP中，MP2+OM2=1，
得出同角三角函数的基本关系之一：sinα2+cosα2=1；
由Rt△OMP∽Rt△OAT， ，
得出同角三角函数的基本关系之二： （α≠k + ，k∈Z）。
5、利用单位圆推导三角函数的诱导公式：
单位圆具有很好的对称性，通过对单位圆上对称点的坐标的关系来探究推出诱导公式。
如图5，角 +α的终边与角α的终边关于原点对称，
由角α的终边与单位圆的交点P1(x,y)，
知角 +α的终边与单位圆的交点为P2(－x,－y)，
推出诱导公式（二）：sin( +α)=－sinα
cos( +α)=－cosα
tan( +α)= tanα
如图6，角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，
由角α的终边与单位圆的交点P1(x,y)，
知角－α的终边与单位圆的交点为P2(x,－y)，
推出诱导公式（三）：sin(－α)=－sinα
cos(－α)= cosα
tan(－α)=－tanα
如图7，角 －α的终边与角α的终边关于y轴对称，
由角α的终边与单位圆的交点P1(x,y)，
知角 －α的终边与单位圆的交点为P2(－x, y)，
推出诱导公式（四）：sin( －α)= sinα
cos( －α)=－cosα
tan( －α)=－tanα
如图8，角 －α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，
角 +α的终边与角 －α的终边关于y轴对称，
由角α的终边与单位圆的交点P1(x,y)，
知角 －α的终边与单位圆的交点为P2(y,x)，
角 +α的终边与单位圆的交点为P3(－y,x)，
推出诱导公式（五）：sin( －α)= cosα
cos( －α)= sinα
诱导公式（六）：sin( +α)= cosα
cos( +α)=－sinα
6、利用单位圆中的三角函数线解决有关三角函数问题：
如图9，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线。所以三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段，主要应用如下：







①利用单位圆中的三角函数线理解函数值符号的变化规律。
正弦线MP与y轴同向时，有正值y，所以α为第一、二象限时sinα为正；
余弦线OM与x轴同向时，有正值x，所以α为第一、四象限时cosα为正；
当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；
当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值则不存在。
②利用单位圆中的三角函数线理解记忆诱导公式（一）。
由单位圆容易看出函数值的“周而复始”的变化规律，即：角的终边绕原点每转动一周，其三角函数线都保持不变；也就容易理解掌握“终边相同的角的同一三角函数的值相等”这组诱导公式（一）：sin(α+k8226;2 )=sinα, cos(α+k8226;2 )=cosα，tan(α+k8226;2 )=tanα，其中k∈Z
③利用单位圆中的三角函数线作出三角函数图象，更好地研究三角函数的性质。
如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。












④利用单位圆中的三角函数线推导差角的余弦公式。
如图11，设角α、β为锐角，且β PC⊥AB，垂足分别为点M、A、B、C，那么OM=cos(α－β)，
OA=cosβ，AP=sinβ， ∠PAC=∠xO P1=α,于是
OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinβ=cosβcosα+sinβsinα
所以cos(α－β) =cosαcosβ+ sinαsinβ

二、单位圆在解题中的应用
1、利用单位圆定义三角函数来求三角函数值。
例1、求 的正弦、余弦和正切值。
解：如图12，在直角坐标系中，作∠AO B= ，
则∠AO B的终边与单位圆的交点坐标为B( ， )
∴ sin = ，cos = ，tan =
析：先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标，再利用定义求解。

例2、若函数f(n)=sin (n∈Z)，则f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(102)= 。
解：∵sin =sin( +2 )= sin
∴f(n)= f(n+12)
如图13，将单位圆均匀地分成12等份，
则依次对应n=1,2, …,12时的弧度数为 ， ，…，
∵这12个角两两关于x轴对称
∴f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(12)=0
∵102=8×12+6
∴f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(102)=8×[f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(12)]+f(97)+f(98)+ …+f(102)
=0+ f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(6)
=2[f(1)+f(2)+f(3)]
=2(sin +sin + sin )
=3+

2、利用单位圆中的三角函数线解三角函数不等式。
例：利用单位圆解不等式3tanα+ >0 。
解：要使3tanα+ >0，即要tanα>－
如图14，由正切线可知 k － ∴ 不等式的解集为（k － ，k + ），k ∈Z

3、利用单位圆中的三角函数线求函数定义域。
例：求函数y= 的定义域。
解：由 得
如图15，则图中阴影部分（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分即为不等式组的解.
∴函数的定义域为{x | 2 k ≤x≤2 k + , k ∈Z }.
4、利用单位圆中的三角函数线比较三角函数值的大小。
例1、（2002年全国高考题）在（0，2 ）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为（ ）
A、( ， )∪( ， ) B、( ， ) C、( ， ) D、( ， )∪( ， )
解：如图16，作出单位圆，利用正弦线、余弦线易知，
阴影部分中sinx>cosx，所以 故选C。

例2、求证：当α∈（0， ）时，有sinα 证明：如图17，作单位圆O，角α∈（0， ）的终边交单位圆于点P，作PM⊥x轴于点M，
过A(1,0)作AT⊥x轴交OP于T，则MP是正弦线，AT是正切线
∴ sinα=MP，tanα=AT
∵ S△AOP 又S△AOP= 8226;OA8226;MP= MP= sinα
S扇形OAP= 8226;α8226;OA2= α
S△OAT= 8226;OA8226;AT= AT= tanα
∴ sinα ∴ sinα
5、利用单位圆中的三角函数线解决其他问题。
例：在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边：
① sinα= ；② cosα= ； ③ tanα=2
解：① ∵要作出满足sinα= 的角的终边，只要在单位圆上找出
纵坐标为 的点P，则OP即为α的终边。
∴ 如图18，作直线y= ，交单位圆于P、Q两点，
则OP与OQ为所求角α的终边。
② ∵要作出满足cosα= 的角的终边，只要在单位圆上找出
横坐标为 的点M，则OM即为α的终边。
∴ 如图19，作直线x= ，交单位圆于M、N两点，
则OM与ON为所求角α的终边。

③ 过点A(1,0)作直线x=1，如图20，截取AT=2，
直线OT与单位圆交于C、D两点，
则OC与OD为所求角α的终边。