牛顿linear: 速度是加速度在时间上的线性叠加 作用在一个粒子上的力是其他粒子的引力的总和

§3.3 流体力学中涡与波
§3.3 流体力学中涡与波
从上面分析可以看出所谓流体力学的经典分析中实际上已经超出了牛顿经典力学的范围，因为它同时考虑了“微观”和“宏观”的影响，形成了两种分析方法，把两种分析方法结合在一起，并产生了“非质量力”。如何把拉格朗日方法和欧拉方法以及从中两个方法中产生的各种的空间矢量偏微分和时间微分结合在一起推导出非质量力的过程这里不再讨论，它很像经典电磁场理论，由于数理逻辑上的不自洽性，各种近似方法都与具体问题有关。浩繁的书籍文献像一座大山一样。但是最根本的问题还是寻找产生非质量力的数理原因。在流体力学的经典分析中把这一“非质量力”最终用一个涡量来表示，定性地知道它是物质微观结构变形所产生的力，但是无法找到它的具体的物理机制和数学表达。这是因为在那里所谓“宏观”和“微观”的模型都是粒子模型，所能分析的物理量最终都是空间位置、速度和加速度。所以无法搞清楚产生涡量的物理原因。在欧拉分析中如果我们不采用速度u作为基本的物理场量，而采用动量密度p=ρu，这里ρ为物质密度，实际上是质量m在空间的分布。把经典分析中的涡量改为取动量的旋度而不是速度的旋度。这是完全合理的，因为涡和动量都与力有关，而速度实际上只有在粒子模型下才有明确的物理内容，而在粒子模型下它在空间是不连续的，所以速度的空间导数在数学逻辑上不严格。这样，我们看到：
(3.9)
当ρ取常数时，就与经典分析中的公式之差一个常数，但是在牛顿的粒子模型下，。这是很容易证明的，因为速度是由加速度产生的，实际上是加速度在时间上的线性叠加。所以如果加速度没有旋度，速度也不会有旋度，而加速度与力成正比，作用在一个粒子上的力是其他粒子的引力的总和，即牛顿引力是势函数的梯度，它满足叠加原理。所以在牛顿框架下，只有牛顿的质量力，而不会产生涡。这就是我们前面强调的，牛顿理论框架自身形成一个封闭的子空间。它自身是完备的。牛顿的数学逻辑是自洽的，但是自然界并不服从这个自洽的逻辑。所以所有的不服从牛顿理论框架的物理原因首先是因为有了，使涡量不再等于零。但是光是这一点还不能保证会产生非牛顿力。我们把式(3.9)两边对时间微分，动量的时间微分就是有旋力，于是有：
(3.10)
这里只是表示与具体物质的微观结构有关的介质常数。这个公式还不能保证一定会有非牛顿力，还必须涡的时间变化率也不等于零。让式(3.8)两边取旋度，我们希望能够得到这样的方程：
(3.11)
但是实际上，这一方程看来是不能从式(3.8)推导出来的。因为从同一方程推导出来的方程从本质上会是等价的。到现在为止流体力学中还没有直接看到类似式(3.11)方程的推导过程。实际上在麦克斯韦方程组中的类似的安培-麦克斯韦方程也既不是逻辑推导也不是直接从实验结果得出来的。当时麦克斯韦是用位移电流的假设得到这个方程的，但是并没有被当时的权威们所承认。这也说明假设是产生新科学的重要途径。但是，只有当这些假设在实践中被证实的时候，这个理论才能够真正获得生命力。麦克斯韦的电磁波被实验证明后，才真正被得到承认。力学场与力学波，由于它的现象比电磁波复杂得多，所以其隐含的规律要更加隐蔽。怎样来推导或解释式(3.11)的来源，看来还得作深入的研究和某些大胆的假设。这里三个系数都加上了下标g以表示是对于引力的。这些假设的合理性就是要使这些系数与流体力学的现有的感性材料保持一致，为了保持与流体力学感性材料的一致性，这些系数对于不同的问题还可以有不同的更复杂的形式。
最后当然还有一个反映真正是牛顿理论中的力，万有引力，但是这里不是以超距作用的形式而是用场方程的方程，与电磁场理论一样场有两类相互正交的场分别用旋量场Fr和无旋场Fl。
(3.12)
式(3.10)和(3.12)都是容易推导出来的，只是都加了一个比例常数。这三个方程形式上与电磁场的方程组相一致，也可以写出一个涡量的散度为零的方程。
与电磁场理论不同的是宏观力学中虽然也有波的问题，但是主要的还是运动方程，所以式(3.10-3.12)实际上只对应于牛顿理论中的力方程，其中式(3.12)与万有引力方程一致，考虑到力学波的存在还要增加式(3,10)和(3.11)一组波动方程组。只有在研究声学或地震波的情况下，像电磁场理论一样主要研究波动方程组，特别在声波的信息理论中，大部分的场计算和信息处理方法实际上都与电磁理论都用同样的方法。为了解决力学中的有质物质的运动问题，主要还得解运动方程。这个运动方程与牛顿理论中一样还是F=ma。只是力必须包含两部分：F=Fr+Fl。这样质量m也应该与两部分力有关，即与运动有关。这正是爱因斯坦狭义相对论中所指出的问题。现在看来爱因斯坦能在近一百年前指出这个问题，无疑是一个伟大的预见，对科学有重要的贡献，但是正如我们以后所讨论的，狭义相对论的时空关系并不是造成质量可以随物质运动变化的原因。牛顿理论中单一的万有引力是造成质量的僵化的真实物理原因，因而造成质量随物质运动而改变的真实原因同样是由于出现了复杂的非牛顿力。当然我们不能责怪爱因斯坦，在他的时代要认识波的性质和由此产生的完全不同的力的形式是完全不可能的。爱因斯坦能从牛顿时空关系的不合理中(这种时空关系的不合理同样是由单一的万有引力所造成的)，发现质量应与运动有关，质量可以和能量相互转换，确实可以永载史册了。但是由于爱因斯坦相对论的基本假设是不合理的，所以他所推出的结果今天必须进行仔细的分析，不能全部奉为真理。对于质量也一样，正是一个特别需要认真研究的问题，爱因斯坦的质量公式没有物理内容，它的奇异性也是不符合逻辑的。爱因斯坦给我们指引了科学发展的方向，我们应该沿着他所指引的方向往前走，通过寻找正确的物理关系来发展理论，实现爱因斯坦本人所说的用新的理论代替相对论的愿望。