非欧几何 突破感官的局限而深入于自然的更深刻的本质中去

几种建筑空间
欧氏空间
欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的性质。

欧氏构造
欧氏空间不仅仅是实坐标空间。为了去做欧氏几何，人们需要去能够讨论两点之间的距离，直线和向量的角度。这个距离函数的形式是基于毕达哥拉斯定理，并被称为欧氏度量。

实坐标空间同上面的欧氏构造（点积，以及相关的范数和度量）被称为欧氏空间，用$\backslash mathbb^n$来表示（在理解了欧氏构造之後，许多作者更倾向于$\backslash mathbb^n$自身为欧氏空间）。$\backslash mathbb^n$上的欧氏构造给出了内积空间（希尔伯特空间）、可范向量空间以及度量空间的构造。

欧氏拓扑
因为欧氏空间是一个度量空间，因此也是一个具有由度量推导出的自然拓扑的拓扑空间
欧氏空间也被理解为线性流形。我曾经有过数次被文字打动的经历,也曾有过与这文字后心灵结识的冲动,但出于默然的天性,最终只有默默的与文字交流.

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个人空间 发短消息 加为好友 当前离线 2# 大 中 小 发表于 2007-5-6 12:24 只看该作者
希尔伯特空间
希尔伯特空间(Hilbert space)由大卫8231;希尔伯特(David Hilbert)提出，是一个完备的内积空间。希尔伯特空间将傅立叶展开及诸如傅立叶转换之类的线性转换概念加以釐清并广义化。它是有限维欧几里得空间向无穷维的推广，也是巴拿赫空间(Banach space)的特例。其并出现在泛函分析之研究范畴。 一个量子系统的状态ψ，可将其张开在一线性空间，量子力学就是在这个空间裡开展活动的。集合不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件并定义了内积、由复函数构成的线性空间。在数学上再符合一些严格定义，如此的线性空间即为希尔伯特空间。希尔伯特空间中的任何一维子空间(subspace)都视为--，内积採取的方式为--与另一--之共軛--进行各基底(basis)分量的点乘(dot product)， : \langle w,v \rangle = \Sigma _i \overlinev_i = \Sigma _i \overline = \overline 顶线表示取共軛；或以狄拉克标记可表示为： : \langle w|v \rangle = \overline，其中 |w \rangle和 |v \rangle 表示两个ket--，而bra-- \langle w| 表示 |w \rangle ^
- = w_i^
- ，共軛--。 欧几里得空间、序列空间、勒贝斯格空间、Sobolev空间都是希尔伯特空间的特例。 category:数学 category:线性代数 category:群论 category:泛函分析 ja:ヒルベルト空间 ko:55184;48288;47476;53944; 44277;44036;

[ 本帖最后由 archspirit 于 2007-5-7 16:21 编辑 ]我曾经有过数次被文字打动的经历,也曾有过与这文字后心灵结识的冲动,但出于默然的天性,最终只有默默的与文字交流.

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个人空间 发短消息 加为好友 当前离线 3# 大 中 小 发表于 2007-5-6 12:25 只看该作者
巴拿赫空間
巴那赫空间定义为完备的线性赋范向量空间。即是说，它是一个实数或复数的向量空间并且有范数||.|| 。故此V裡的每个柯西序列(d(x, y) = ||x - y||) 都有个在V裡的极限。
巴那赫空间以斯特凡8226;巴拿赫(Stefen Banach)而命名。他主要研究泛函分析。巴那赫空间是个包含函数的无限维空间而且是一个完备的赋范空间，它是希尔伯特空间的推广。在巴那赫空间中定义了紧集的概念：对於一个有界闭集包含于无限的开覆盖，则必存在一个有限的子覆盖。紧集的概念是分析中有界闭集的一个推广

[ 本帖最后由 archspirit 于 2007-5-7 16:22 编辑 ]我曾经有过数次被文字打动的经历,也曾有过与这文字后心灵结识的冲动,但出于默然的天性,最终只有默默的与文字交流.

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个人空间 发短消息 加为好友 当前离线 4# 大 中 小 发表于 2007-5-6 12:28 只看该作者
罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基大约在1815年开始研究平行公理问题，开始时和大多数人一样，相信平行公理是可以证明的．1823～1826年间，他与前人一样试图用反证法来证明它．他从平行公理的否命题出发，同时保留了欧几里得的其他公理，依照严格的逻辑推理进行推导，然而矛盾却没有出现，反而得到了一系列重要的结果．罗巴切夫斯基果断地放弃了关于欧几里得几何唯一性的传统观念，大胆地提出：“由平行公理否定命题出发而得到的结果代表着一种新的几何学，尽管这种新几何学中的许多结论是令人惊异、甚至不可思议的．例如，在这种几何里三角形的内角之和小于两直角．但是它本身是无矛盾的，它可以同欧氏几何一样成立．”

　　罗巴切夫斯基于1826年2月23日，第一次公开了他的上述新思想，这个思想促使人类思维从直接经验的狭小范围内解放出来，激起了关于现实空间可能具有非欧氏几何性质的大胆思想．这一天现在公认为非欧几何的诞生日，他的报告《简要叙述平行线定理的一个严格证明》为第一篇论文．后来他又于1829～1830年在《喀山通报》上，以《几何原理》为题正式发表了他的研究结果，后人称它为世界上最早的一部公开出版的非欧几何文献．这个新思想是20世纪相对论产生的前奏和准备．后来的历史证明非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，没有这一进步，人类就不可能突破感官的局限而深入于自然的更深刻的本质中去．