"概率是对uncertainty的一种量化"

概率与随机（一）
概率是对uncertainty的一种量化。一个事件本身是非0即1，然而由于我们所拥有的信息的局限性，从而产生了不确定性，也就有了概率。爱因斯坦说“上帝不是在掷骰子”。世界上没有真正的随机，这既对也不对。

比如我从52张扑克中“随机”抽出一张牌，那么在我看来每张牌被抽到的概率是1/52；然后我把牌拿给一个朋友看了，他告诉我是红桃，那么每张红桃的概率变成了1/13，而其它牌的概率变成了0；如果他还告诉我这张牌是数字，那么概率进一步变成了1/10。然而不管这概率怎么变，并不会影响到这张牌具体是什么。随着我得到信息的改变，uncertainty也随之改变，概率也就改变了。这种sample space的改变，叫做条件概率。

再比如，我扔一枚硬币，在硬币抛离手的一瞬间，我认为正反两面的概率各一半。然而此时如果把时间静止，我们测量一下这枚硬币的角度和速度，测量空气的密度和地面的状况，那么我们就可以计算出到底哪一面朝上，甚至可以算出硬币会在地上转多少圈。所以说概率总是伴随着不确定性存在的。从这个角度看，我们在生活中所说的概率都是条件概率，都是“在我们现有的信息下”的概率。如果你是全知全能的上帝，那在你眼中不存在概率，所有的东西非0即1。

条件概率是一个极为重要的概念。记得上概率课的时候教授说过，Kolmogorov被公认为现代概率论的奠基人，因为他在上世纪30年代写了一本书比较系统的阐述了概率论。其实在那之前十几年Borel等人就已经用measure theory作为probability theory的基础了。然而Kolmogorov书里面有两个概念是创新的，一个是啥我忘了，而另一个就是他严格定义了条件期望。当然了，这里的条件期望比古典概率里的条件概率更具一般性。其存在性是Radon-Nikodym定理的一个自然推论。以前跟一个同学讨论过，他认为Real Analysis里面最漂亮的三个定理就是Radon-Nikodym定理，Hahn-Banach定理和Caratheodory's criterion (for outer measure)。Caratheodory是一个神一般的人物，经历跟Persi有些类似，难道希腊人都是这个样子的...

扯远了，言归正传。只要清楚认识了sample space和conditional probability，那么把古典概率用于解释日常生活中的随机并无不妥。大部分所谓的悖论，都是没有严格的定义sample space。我个人认为从古典概率到现代概率，并不是因为古典概率有什么逻辑上的缺陷，而是因为古典概率实在太弱小了，除了离散概率和几个经典的分布之外几乎没别的东西了。我们需要任意拓扑空间上的概率，需要概率的极限和各种收敛性，需要liminf和limsup...这些都是古典概率里所缺少的。从这个角度看，现代概率是古典概率的一个威力加强版，正如Lebesgue积分对于Riemann积分的扩展一样。

现代概率的另一个好处是对概率进行了高度的抽象化。于是概率成了一个完备的数学系统，数学家可以安心的在这个系统定义的各种规则下进行推导，而不用担心是否会跟“现实生活”中的直觉相违背。于是概率更多的成为了一门纯粹的抽象的科学。而另一披人热衷于用概率解释和预测生活中的各种物理现象，他们把这叫做“统计”。