数学中的不动点定理, 所谓的一般均衡状态也就是输入等于输出

来源: marketreflections 于 2009-04-09 11:26:27 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (12860 bytes)
回答: Prieur du Plessis: fundemental 由 marketreflections 于 2009-05-03 16:37:45

『经济论坛』 [经济杂谈]被神化了的数学(转载)


作者：子夜的刀 提交日期：2003-7-9 0:49:00 访问：519 回复：15

前不久在图书馆见到一则轶事，说是美国有一次召集了一批著名经济学家与物理学家进行对话，结果双方都对对方的数学水平表示惊讶。物理学家未曾料到经济学家竟知晓这么多高深的数学知识；而经济学家则惊诧于物理学家的数学学识竟是如此“贫乏”。
　　
　　作为一个具有强烈数理倾向的经济学学生，初见此则轶事，蓦然地有一种窃喜，没想到作为社会科学的经济学在数学的应用方面竟已超过了一贯以严谨、科学著称的物理学，但事后冷静想想却不禁又有些怀疑。众所周知，数学起源于簿记、丈量等实际工作，而其发展则是同物理学的发展分不开的，微积分的出现就是出于力学发展的需要。一个数学概念要想得到较好的接受，往往需要与一定的物理实体相对应。不可否认，数学也有其自身的发展逻辑，并且经常领先于应用的发展，但物理学始终是数学发展最重要的思想来源。但为什么会出现上述令物理学家和经济学家都感惊讶的结果呢？这就需要仔细地辨别一下数学在上述两门学科中的具体应用情况。
　　
　　在回答以上问题之前，让我们首先考察一下当前数学的主要组成部分。我认为数学可以从学习的顺序上分为初等数学和高等数学两大层次。其中初等数学主要包括一般数系的基本知识以及初等代数和几何学，另外还应包括基本的线性代数和概率统计知识。而高等数学则可分为分析学和现代数学两大类。其中分析学主要是指微积分以及相应的一些基础问题。而现代数学则主要是指抽象代数，即对群、模、环、域等基本代数结构的研究，以及点集论、拓扑学和一些前沿专题，如分形、混沌、小波分析等。现代数学可以说是数学自身发展逻辑的必然产物，是研究数学的数学，其特点是高度抽象化，较少与具体物理实体相对应，其实际应用一般不是显然的，也就是说理论往往领先于应用。
　　
　　应该说初等数学是其他所有应用的基础，是各个学科都应掌握的基础知识，而物理学对数学的更深入应用则主要集中在分析学方面，诸如复变函数、傅立叶积分、泛函分析等。 而经济学对数学的更深入的应用除了基本的微积分知识外，还包括点集论、拓扑学和凸规划等现代数学的知识。但是否因此就可以认为经济学中的数学应用已超过了物理学了呢？ 其实不尽然。诚然，经济学所涉及的数学知识的范围似乎比经典物理学广，但这只是一个广度与深度的区别，而从艰深的程度来说，并不能认为现代数学在经济学中的应用已超过 了分析学在经典物理学中的应用。事实上，现代数学的概念在现代物理学，如量子力学和相对论等方面的应用也是相当普遍的。
　　
　　现代数学的许多概念和分析学是平行发展的，并不存在谁是谁的先修科目问题。现代数学的学习从理论上说只需要初等数学的知识和良好的抽象思维能力。他更注重数学修养的培养而非实际的应用技能。适当地学习一些现代数学的知识对于进一步学习分析学将是受益菲浅的。之所以认为现代数学艰深的原因不外乎两个：一在于他的抽象性，而另一个很重要的原因是因其未被纳入常规的教学体系，也就是说人们缺乏系统学习的机会。
　　
　　中国过去由于意识形态方面的原因，将马克思主义政治经济学（或者说是前苏联的那一套政治经济学）绝对真理化了，而对西方经济学采取完全抵制的态度，偶有介绍，也只是作为批判的对象。改革开放后，客观上产生了学习西方经济学的需要。而西方经济学这几十年的发展，尽管也有一些不同的声音，但总体趋势就是形式化。这必然会对国内的传统观念产生严重的冲击。中国过去由于实行文理分科，文科学生的数学素质普遍过低，而经济学又一向被划入文科的范畴，以致于在进一步深入学习西方经济学的过程中遇到了难以逾越的障碍。
　　
　　人们在对待一个不熟悉的事物时往往容易采取两种极端的态度。第一种态度就是竭力贬低它。中国过去由于传统的政治经济学力量相对强大，权威们（既得利益集团）出于对自身地位的担忧，就采取了这种态度。那时的西方经济学被认为是庸俗的经济学，是应该批判的对象，而数学作为其分析方法则完全是为了垄断资产阶级的利益服务，被斥为是掩盖西方经济学庸俗本质的一种工具。因而不去学习其技术细节。这在很大程度上使我们对西方经济学的介绍始终停留在一个肤浅的层面，被其表面的诸多流派所迷惑，阻碍了我们对西方经济学本质思想的吸收利用，使大学的经济学系成了一个缺乏自身明确方向的专业。
　　
　　随着社会主义市场经济体制的确立，在对待西方经济学的态度方面也有所转变，庸俗的提法已很少出现，而对数学则采取了一种折衷的态度，既承认它是一种有用的分析手段， 但也反对将其过分抬高，要看到他庸俗的本质。总之数学只是一种需要时可以加以利用的手段而已（不懂得真正去爱，又怎能真正得心应手？）。一般来说，中庸之道总是没错的。 但对中国这个在经济学方面长期缺乏严密逻辑传统的国家来说，一定程度的校枉过正应该是必要的，现在在青年学子中间已经产生了强烈的数理化愿望，这在一定程度上也是出于 更牢固地确立经济学学科地位的需要。
　　
　　但文理分科的后果并不是能马上消除的，旧有的教学体系也不是能在一夜之间改变的。现在中国经济系的学生多数都缺乏足够的数学训练，而在研究生阶段也不可能系统地开设那些必要的数学课程，并且更重要的是，缺乏足够的能够教授数理经济学的教师队伍，这就使得学生们显得无所适从。作为研究生，由于数学的限制，往往只能学习一些国外本科生所用的中级教材，而一些经典的文献都难以阅读，于是第二种态度产生了，那就是对数学的过分崇敬乃至畏惧。数学在经济学中的应用被人为地夸大了。
　　
　　正如前面所分析的，数学在经济学的应用并不如通常所以为的那样艰深。事实上，即使在《美国经济评论》这样的刊物中，90%以上的文章也只是用到一些简单的数学模型。在经济学中应用最广泛的数学知识就是微积分中的极值原理，即通常所说的一阶和二阶条件，这对每个经过大学训练的人都应是不成问题的，只是由于经济系的学生平时使用数学的机会较少，因此看到满眼的积分微分符号，就会有一种本能的“畏惧”，事实上，只要硬着头皮耐心去读，一般都是能读懂的。真正令经济系学生感到头痛的是那些以前所未曾接触过的概念：如消费者行为中的非线性规划、一般均衡与博弈论中的不动点定理，分离超平面以及宏观经济学中经常会用到的随机过程、变分法等。这些概念从纯数学的角度来说其理论基础或是证明过程都是非常高深的，但对于应用目的来说，其逻辑一般都并不复杂。就拿在描述经济学的数理化程度时经常被提及的不动点定理来说，排除数学证明上所要求的严格性，其逻辑是很容易理解的：一个经济系统可以看成是一个函数，它以上一阶段的运行结果作为本阶段的输入并将本阶段的输出作为下一阶段的输入，那么所谓的一般均衡状态也就是输入等于输出，从而整个系统的运行状态保持不变的状态，而这很自然地对应了数学中的不动点定理，即在有界凸集上定义的映射到自身的连续函数f(X)中存在不动点，使得X=f(X)。因此，只要适当地开设一些分析基础的课程，或者自己静下心来学习一、两个月，很多概念都是能够澄清的，从而为今后的进一步学习打下良好的基础。
　　
　　当然，不可否认，在经济学中也确实存在一些难以在短期内掌握的概念，但这些一般都不是主流，根据经济学的基本定理，他们是边际收益递减的，并不会影响大多数内容的学习，况且，在需要时花上一定精力去掌握它们对于高层次的学习也应是必要的。另外，学习数学其价值决不仅在于实际应用，他更大的价值在于对逻辑思维和分析能力的培养。因此，学习数学应该抛开实用主义的利益导向，而将它作为基础素质的训练来学习。
　　
　　其实真正危险的倾向在于为了掩盖自身的不足或是抬高自己的身价而有意无意地过分夸大经济学中数学的高深程度。遗憾的是，这种情况已经发生，数学已成为一种装饰，一个炫耀的资本。
　　
　　数学可以成为一个进入壁垒以抬高经济学学科的地位，保护已在圈中的既得利益者。数学基础差的人可以通过夸大数学的难度来为自己开脱并赢取他人的谅解，有时甚至还能产生自豪感。而数学基础好的人则一方面可以将其作为炫耀的资本，另一方面必要时也可成为自己对经济的本质问题缺乏理解的挡箭牌——我就是在搞纯理论研究，我就是在玩数学。
　　
　　总之，数学不应被神化。要想使数学这把利器真正为我所用，就应首先将它请下神坛。
　　
　　


作者：太极螳螂　回复日期：2003-07-09　01:29:26
　　经济学里面的数学太小儿科了，怎么玩也玩不过物理学家，那个轶事我深表怀疑。学经济学必须学好数学，无论是在方法上还是观念上都有非常重要的意义。
　　


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　01:46:07
　　经济学数学小儿科？
　　老兄读的什么书呢？了解不了解最新动态呢？
　　我给你发一个书单看看，国内金融工程这个专业的书单（绝对不是国外的）
　　必修课，选修课30多门
　　球面稳定同伦群理论；稳定同伦论中的幂零性和稳定性；巴拿赫空间等距同构理论；度
　　量线性空间理论；李群及其表示；对称空间；李代数理论；偏微分方程的数值分裂方法
　　；计算复杂性理论；随机分析；测度值分枝过程与超过程；Fourier分析；小波分析；
　　近代密码学；证券市场(Ⅰ)(非线性分析方法)；证券市场(Ⅱ)(随机方法)；临界点理论
　　与变分方法；组合数学中的概率方法………………
　　实变函数与测度论：虽说学得出神入化也没什么帮助，但是不学肯定有很多槛过不去，连
　　入门的书都读不懂。
　　
　　FFT（快速弗利叶变换）：1999年有个猪头发表了一片文章，现在已经有很多人在用FFT。
　　Wavelet（小波分析）：Goldman Sachs有个猪头跑到我们学校找学生做实习生，题目就是
　　这个，后来没能成行。顺便说一句，这个家伙的Ph.D在LSE经济系拿的，应该说是真正的经
　　济学家（也是数学家）
　　
　　Banach空间：现在还没用到，有些猪头好像想引入Sobolev空间，希望这些家伙不要成功，
　　不然我TMD又要去看痛苦至极的高等偏微分。
　　
　　其他稀奇古怪的算子理论：现在也热得厉害，主要是大家发现Mallavin Calculus很有用，
　　偏偏不懂那些泛函和算子你看不懂那些论文。
　　
　　


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　01:48:44
　　北大的陈平，美国普立高金的物理学家。在北大中国经济研究中心做非线性金融市场研究，算一号人物罢。但国外经济学界和部分国内经济学家对他都不感冒。
　　呵呵～


作者：leonorayl　回复日期：2003-07-09　11:59:24
　　kaka,都不懂。文盲了


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　12:28:23
　　说实话，我懂得也是皮毛。昨天看神经网络动力学的一个非线性模型来分析股市---头都大了//


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　12:28:34
　　说实话，我懂得也是皮毛。昨天看神经网络动力学的一个非线性模型来分析股市---头都大了//


作者：少年心气　回复日期：2003-07-09　16:13:27
　　请教个问题，金融工程在国内有就业市场么，前景怎么样？我觉得并没有相对应的行业。


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　16:17:31
　　金融工程很好啊。不过做这些的人不善于声张罢。
　　很多研究机构都行啊。证券基金银行等等都有专门的研究机构的。


作者：太极螳螂　回复日期：2003-07-09　23:25:07
　　作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　01:46:07
　　　　经济学数学小儿科？
　　　　老兄读的什么书呢？了解不了解最新动态呢？
　　　　我给你发一个书单看看，国内金融工程这个专业的书单（绝对不是国外的）
　　　　必修课，选修课30多门
　　　　球面稳定同伦群理论；稳定同伦论中的幂零性和稳定性；巴拿赫空间等距同构理论；度
　　　　量线性空间理论；李群及其表示；对称空间；李代数理论；偏微分方程的数值分裂方法
　　　　；计算复杂性理论；随机分析；测度值分枝过程与超过程；Fourier分析；小波分析；
　　　　近代密码学；证券市场(Ⅰ)(非线性分析方法)；证券市场(Ⅱ)(随机方法)；临界点理论
　　　　与变分方法；组合数学中的概率方法………………
　　　　实变函数与测度论：虽说学得出神入化也没什么帮助，但是不学肯定有很多槛过不去，连入门的书都读不懂。
　　
　　——对呀，在数学领域，这些本来就是小儿科。


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　23:39:17
　　呵呵·太极螳螂兄对小儿科的定义是什么啊？
　　我也是在数学系上过的。对于理论数学专业的来说这些都是很头疼的
　　那么请问你的“非小儿科”又是指什么呢？
　　


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　23:44:19
　　顺便说一句：
　　下列的课程被认为是基础：
　　数学分析/概率论和数理统计/线性代数/动态优化/拓扑学/泛函分析/动态规划/常微分方程/随机过程/实变函数/


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-09　23:51:26
　　太极螳螂网友请你不要回帖了。
　　你似乎根本未曾读完全文就开始说话了。
　　没有争论的必要。


作者：子夜的刀　回复日期：2003-07-10　00:19:16
　　给大家将一个关于布朗运动的典故：
　　
　　在经济学方面：
　　实际上1900年在法国，庞加莱的一个名叫Louis Bachelier 1870-1946的学生， 在其论文中就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股 票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。Bachelier引入了今日称作查普曼-柯尔莫哥洛夫链的方程，并 导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知， 它对后来布 朗运动的物理学没有产生直接影响。Bachelier研究的经济问题中没有摩擦、没有斯托克斯定律，也没有阿弗伽德罗(Amedeo Avogadro,1776-1856)常数。芒德勃罗在1977年出版的专著中，特别以很多的篇幅描述了巴歇利的简历和研究成就，虽说芒德勃罗极擅长从旧纸堆中挖掘一些没有注意的“古怪”东西，但用如此长的篇幅还 不多见。
　　
　　而在物理学方面：
　　 爱因斯坦的著名论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》1905 年发表在《 物理学杂志》。爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走(random walk)均方位移( mean squared displacement)随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子: λx=[KF(]2Dt[KF)]，用现在的符号表示则有〈x2(t)〉=2Dt。1908年这一结果立即被 佩兰用来测定阿 佛加德罗常数，进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。
　　
　　
　　可见，真实的来说，布朗运动在爱意斯坦提出前五年已经被研究经济学的人认识到了。这早已经得到学术界的承认，只是不为常人知而已！而已！
　　
　　


作者：wanmm　回复日期：2003-07-10　01:26:09
　　提到股市，偶记得偶在一个做债的地方看到他们很认真地用各种模型分析，还要做专门的软件，呵呵，偶去年开始和南方基金的宝元几乎同时开始做债券，至今为止偶的收益是他们用模型作出来的业绩的7倍，就说偶的资金小好转动，他们的水平也过分低了一点，不用说偶还没有他们其他方面的优惠了。


作者：bastian　回复日期：2003-07-10　08:45:52
　　金融业里，能赚钱就是真的。
　　
　　数学模型也不是万能的，不是最能赚钱的机器，楼上的证明了这一点。不过数学模型也是一定必须的，但是你未必一定要掌握高深的数学知识，差不多会用那些模型、知道怎么去通过这些Model赚钱就行了。

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