实变函数: 如何更好的计算积分(期望) ，怎样在这个基础上定义微分(概率)

期望: the big picture, future oriented

概率: a particular point


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最近看了程其襄老师的实变函数的L积分的部分，有全新的感觉。以前一直以为是很麻烦的东西，重温才有一种很强大的感觉，而且居然不觉得那么难了，真是奇迹啊，尤其是极限理论部分，lebesgue积分控制定理很不错啊（不过还是不知道在什么地方有用）。

说点随意的。其实一直不大清楚实变函数这个名词是什么意思，像是复变函数讲的是复数，泛函分析讲的是泛函和算子，都是有名可循的，但是好像这个实变函数和实数关系不大，讲的是如何更好的计算积分，怎样在这个基础上定义微分.于是乎，在系里就有个笑话，说什么实变就是读十遍才看懂的东西。虽然的确看个有个4到5遍，但是好像对它一直有亲切感（虽然考的是比较烂）。

大概是因为有两句有意思的话吸引了我。一个是一则小幽默，什么男生与女生吵架，就像是实变函数，有理的总比不过无理的。一个是程老师在前沿中引用的苏轼的诗，说L积分是横看成岭侧成峰，很是有趣且诗意。

　　实变函数的四部分，集合论基础，测度论，积分论和微分（这个没学过，不好意思），还是觉得最有意思的东西是集合论部分，用奇特的方法计算集合里元素的个数，任何一个区间数的个数是一样的，而且是全体实数的个数，是怪怪的理论，像是刘斌老师老讲的：1和2什么区别，没得区别（真是可爱的人啊）。不过有一点有点恐怖啊，好像创造这个理论的Cantor后来疯了，住了几十年的精神病院，呜呜。

我觉得，几个比较重要的定理包括上面提到的强大的积分收敛定理。还有两个和可测函数有关的定理也是很有用的。好像这两个定理得作者都是俄国人，名字怪怪的。一个是叶果洛夫定理，讲的是收敛的函数列在一个无限趋于定义范围内是一致收敛的。一个是鲁津定理，大概是可测函数在无限趋于定义范围内是连续的。反正就是可测和连续是差不多的东东，收敛与一致收敛的范围也可以趋近,而一致收敛又比收敛多更多的性质。（经典的例子是fn(x)=X^n [0 1]）

其实实变函数本质上是对微积分（尤其是Riemman积分）的补充和完善，如果不从这个眼光看的话，会觉得真的是不知所云，什么可测集合，可测函数之类的讲了半个学期，我当时拘泥于细节，不知道到底那是干什么的．这次因为和数学分析一起看忽然就有点明白了（其实话说的有点大），全是为了积分啊，可是真是一个积分题也没有做过，只知道Dirichlet函数积分为0（I am such an idot）．

　有个地方挺奇特的，不知为什么一个函数求导数后不一定能积分．这个有点有违常识啊．

　　最近发现基础理论还是比较有趣的．以前一直以为什么都不是，全是吃饱了撑的（褒义）才去搞这些的，其实用处还是比较大的．所以在不了解什么之前不要下断言．恩，希望有人能回一下这个帖子，学数学的也好，不学数学的也好．以后要是有时间还来写点数学，哪怕只给自己See See