实数完全是人造的，人造实数的目的就是解决无理数,有理数列极限不再是有理数这两个问题

什么是实数 有理数 整数 自然数
悬赏分：0 - 解决时间：2008-5-28 11:01
我想知道实数,整数 有理数 自然数的定义
这方面不懂 基础不好
到底什么是实数 有理数 整数 自然数 搞不懂
问题补充：还是不太明白 谁能解答 我很笨 最好举例说明
提问者： ivwsssqdx - 秀才 二级 最佳答案
自然数（natural number）
用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。
“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。目前，我国中小学教材将0归为自然数！详情请见http://www.pep.com.cn/、www.1088.com.cn
自然数是整数，但整数不全是自然数。
例如：-1 -2 -3......是整数 而不是自然数
参考资料：http://baike.baidu.com/view/19911.htm
回答者：E卡妙 - 试用期 一级 5-26 20:33
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其他回答 共 3 条
自然数就是没有负数的整数，即0和正整数。（如0，1，2……）
整数就是没有小数位都是零的数 ，即能被1整除的数（如-1,-2,0,1,……）。
有理数是只有限位小数(可为零位)或是无限循环小数（如1，1.42,3.5,1/3,0.77777……，……）。
实数是相对于虚数而言的，是无理数和有理数的总称。
自然数是正整数
整数是能被1整除的数
有理数是整数和分数（有限小数和无限循环小数）
实数包括有理数和无理数（无限不循环小数）
无限不循环小数，叫做无理数． 注意：(1)无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．
回答者：yuehanabc - 高级经理 六级 5-25 12:47
实数是相对于虚数而言的，是无理数和有理数的总称。实数包括有理数和无理数（无限不循环小数）

有理数是只有限位小数(可为零位)或是无限循环小数（如1，1.42,3.5,1/3,0.77777……，……）。有理数是整数和分数（有限小数和无限循环小数）

整数是能被1整除的数，是没有小数位的数（如-1,-2,0,1,……）。

自然数就是没有负数的整数，即0和正整数。（如0，1，2……）
自然数是正整数
回答者：Lovelyfoofoo - 大魔法师 九级 5-25 12:49
实数范围最大
有理数第二
整数第三
自然数第四

实数几乎是你见到过的几乎所有的数字了(与之相对的虚数,含有虚数单位i,高中就会学到)
有理数:凡是能表示为分数形式的数都是有理数,比如0.333333333333333无穷...,就是1/3,就是有理数,比如根号2,不能表示为分数形式,所以根号2是无理数
整数:可以是正,负,零,比如-875,-6,0,647,88996
自然数:0,1,2,3.......

关于实数连续性和完备性等价证明中的疑惑
悬赏分：10 - 解决时间：2008-12-13 23:26
《数学分析》教材里的论证顺序是这样的
首先用未学到的级数知识证明了确界存在定理(同时用戴得金切割法也证明了确界存在定理)
也就是证明了实数的连续性
第二用确界存在定理证明了单调有界数列收敛定理
第三是用单调有界数列收敛定理证明了闭区间套定理
第四是用闭区间套定理证明了Bolzano-Weierstrass定理
最后用Bolzano-Weierstrass定理证明了柯西收敛原理，也就是实数的完备性。
这里说明了实数的连续性包含了实数的完备性

接着又想办法证明了实数的完备性包含了实数的连续性，说明实数的连续性和完备性是等价的
具体步骤如下：
1 用柯西收敛原理证明了闭区间套定理
2 用闭区间套定理证明了确界存在定理

总的论证步骤如上所述。但这里我有了一点疑问，这个论证不是明显有问题嘛。疑惑如下；
在用柯西收敛原理证明闭区间套定理，然后进一步证明确界存在定理的前提，也就是柯西收敛原理，本身是从闭区间套定理证明的Bolzano-Weierstrass定理中衍生证明那个而来的，
同时闭区间套定理其实也是从确界存在定理中衍生出的单调有界数列收敛定理中衍生证明出来的。

那这个过程其实是首先用前提证明结论，然后用结论再证明前提。然后说前提和结论是等价的。
这样一来，不是循环论证么？

或者我怎么理解，这几个定理其实都是一个假设的前提而已，是“描述”一个客观存在的公理，只是从不同角度去“描述”而已。而微积分其实就是建立在这个“假设的公理”上的一系列推理而已。那么说到底，可以把这几个定理代表的“公理”和整个微积分体系看成浑然一体的，换句话说，从这个层次上来看，整个微积分体系也不过是一个假设而已。

不知道我这样理解对么？肯定老师们指点，谢谢
问题补充：那么，我可不可以这么理解
整个过程可以理解如下：
先从戴得金切割法为出发点证明A（确界存在定理），再从A出发证明B（柯西收敛原理），然后再从B出发证明A。

所以，1，如果从戴得金切割法作为起点来看，整个过程不是循环论证。
2，如果从A作为起点来看，那么整个过程就是循环论证
3，但不管整个过程是否是循环论证，书上在这里表述的是，以命题A（确界存在定理）为前提能推出命题B（柯西收敛原理），同时以命题B为前提能推理出命题A。这里不管命题A和B是否是真命题，但是因为两个命题可以互推，所以说A和B这两个命题是等价的。

我这3个理解对么？


PS:那位说100分的仁兄，只要你能解答我的疑惑，100分就100分。我结贴的时候会追加的
提问者： 云卷云舒1981 - 助理 二级 最佳答案
你要清楚，实数完全是人造的，人造实数的目的就是解决
（1）无理数
（2）有理数列极限不再是有理数
这两个问题。

定义实数的方法有两种：
（1）戴德金切割
（2）柯西收敛原理
注意此时我们还不知道什么是实数，只能对 有理数 做上面两种定义。

这样定义出来的东西的集合，叫实数集，再用 抽象代数 和 数理逻辑 方法，证明实数集有个 子集 和 有理数集 具有完全一样的性质（指 运算性质 和 排序性质），
这个 子集 的元素叫做 有理实数，因为跟 有理数 性质完全相同，一般不加区别，也叫 “有理数”。

实数几个定理相互等价，可以互相证明。
上面定义实数的方法，实际上把实数的客观实在性归结为有理数的客观实在性，
用类似方法，从整数出发定义有理数，从自然数出发定义整数，
最终实数的客观性归结为自然数的存在性，也就是 皮亚诺自然数公理http://baike.baidu.com/view/342820.htm

如果再深究，就由自然数公理进入 公理集合论，比如ZFC公理系统。
它里面的某些公理是无法证明的，由此产生了哥德尔不完备性定理。
哥德尔第一不完备性定理的意思是说，如果一个系统包含 皮亚诺自然数公理，那在这个系统内部是不能证明自己对错的。

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(1)是对的，
（2）这个说法挺别扭的。从戴德金切割出发可以证明6个定理中任何一个，比如说A，再从A出发去证明其它5个定理，
一般数学书上之所以搞成6个定理互相证明，跟作者只想以这6个定理为起点、不过多探讨微积分以外的东西有关，
（3）对的，数理逻辑中等价连接词的定义就是两个命题同时真或同时假

to 982413，
不能说百度百科的东西就一定肤浅，从peano系统推出全部算术和实数系统的过程知道的人真的不是很多