泛函分析 距离，范和测度

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泛函分析这玩艺根本就是块啃不动的骨头，所以唯一的办法就是炖汤来喝。骨头汤很营养的。
1，距离，范和测度
必须先从这三个定义开始进入测度论。首先是距离，距离容易理解，就是两个点之间的长度，当然我们平时所看到的长度只是距离的一种，我们还可以定义其他许多距离，只要满足距离公理。比方那一句话：世界上最远的距离不是天涯海角，而是你站在我的面前，却不知道我爱你。这个爱，很明显就是我们定义的另一种距离。下面先给出距离公理，然后再来证明爱是距离
定义：设X是一个集合，若对于X的每个元素对子x，y都有唯一指定的实数p（x，y）与之对应，并且满足：1，p（x，y）》0，且p（x，y）=0当且仅当x=y。2，p（x，y）=p（y，x）。3，p（x，y）《p（x，z）+p（z，y）
例一：爱是否为一种距离
证明：我们定义这样一个p，如果x，y相爱，则p=1，若至少有一方不爱，则p=正无穷大
于是第一条满足，第二条显然也满足。下面我们来证明第三条。（1），如果x，y相爱。那么p（x，y）=1，而p（x，z）+p（z，y）至少等于2。（2）x，y不相爱。如果z与x，y都不相爱，命题得证，如果z与x，y中有一个不相爱，命题得证，如果z与x，y都相爱，也就是说z是一个花心萝卜，命题无法证明。
于是，在这个定义的距离p下面，必须满足这样一个前提：在没有人劈腿的情况下，爱可以定义为一种距离。
但是我们如果重新定义p如下：如果至少有一方不爱，则p=2。那么尽管大家都劈腿，爱仍然可以定义为一种距离（请读者自行验证）
从例一我们看出，世界上最远的距离那句话的作者，至少他自己不是一个劈腿的人，因为如果他劈腿，要么爱不是一种距离，要么最远的距离也就是2，比天涯海角要近很多（当然这里我们并没有加上单位，如果这个2是以光年为单位。。。。。汗）
接下来是范，主要是赋范空间，就是给了一个范的空间，其中最简单的就是赋范线性空间。什么是范，很快就知道了，但是在范之前，必须先了解一下什么是线性空间：
学过线性代数的人都知道，线性就是一次。而数学中的空间，一般是按照某个算法封闭的集合。于是线性空间，就是按照一次运算封闭的一个集合，也就是这个集合中任何元素进行一次运算，结果还是在这个集合里面，就好像你结了婚以后，随便你怎么蹦跶上串下跳，只要是一次运算，你总是蹦跶不出你老婆的管制。线性空间八条公理就不多说了，有兴趣的读者可以自己翻看相关书籍，主要是加法的交换率，结合率，数乘的分配率结合律。有0元，以及每个元都有对应的负元。
例二：家庭是否构成线性空间
证明：我们令丈夫+妻子=小孩，小孩+丈夫（或妻子）=丈夫（或妻子），a丈夫=丈夫，a妻子=妻子。于是几个分配率和结合律以及交换率显然是满足的，并且每个元素都有唯一的负元与之对应。小孩就是0元，下面来说明一下0元：如果没有小孩，那么就没有0元，不能构成线性空间，如果有多余一个小孩，那么0元不唯一，同样不能构成线性空间。这就是为什么我国要实行计划生育的原因，看来是数学家搞的鬼。
下面要给出范的定义了，范就是对每一个元素我们用一个数字来进行标号，范要满足以下几条：
1，p（x）》0. 2，p（ax）=[a]p(x). 3,p(x+y)《p(x)+p(y). 4,p(x)=0时必有x=0
满足前三条叫半范数，再加上第四条才叫范数，其中那个a是一个普通的数
例三：在例二中构造一个范，使之成为一个符范线性空间
解：我们只能构造一个半范，即p（x）=0的范（请读者自行验证）。下面我们来证明这个线性空间无法赋范：
证明，反证法，如果存在范p，从第二条有p（ax）=[a]p（x），从例二我们有ax=x。于是p（ax）=p（x）=[a]p（x），如果p（x）=0则不满足第四条，如果p（x）不等于0，则不满足第二条。命题得证。
注1：一般范数我们是用x两边都加两竖来表示的，实数里面的绝对值显然就是一个范数。
注2：我们的距离也可以由范数导出，只要令d（x，y）=p（x-y）就行了。所有的赋范空间都能导出距离，但并不是所有的距离空间都可以赋范，就如我们前面给出的例一和例二就是例子。

最后是测度了，测度就是测量大小，我们平常测量的距离是一个测度，平常所说的你有多少钱是一个测度，一个学校有多少人是一个测度，至于你爱我有多深是否为一个测度，我们给出定义之后再给予证明。
定义：X是一个集合，p是X的一些子集组成的环（环的定义可以参看书，不了解的同志可以不要这个环，就当作是子集族），对于这些子集，有一个函数u使得：1，对每个A，B属于p，有uA》0。 2，u空集=0 3，u（A并B）=uA+uB，A交B为空集。于是u是一个测度
例四：你爱我有多深是否为一个测度
证明：令X={（x，y）/x为男人，y为作为女性的你}，p是所有子集的族，我们令uA=A中爱你的人的爱情范数之和。（有兴趣的读者可以自行构造一个爱情范数）。于是u是一个测度，并且，随着爱你的人数增加，你被爱的范数也会增加，这样就解释了为什么女人总是喜欢有更多的男人爱她，而男人总是想只去爱一个女人的道理，因为随着男人爱的女人的增多，他的爱情范数必须不断增加，增加范数必然导致其他负担的增重，比如心理和经济承受能力。（当然，这只是从一个方面来说明问题，感兴趣的女同志可以自行构造一个测度与范数来说明女性的专一与男人的花心）。

到这里，大家已经基本了解了泛函分析的三大基础，距离，范和测度，作业就是正文中给出的几个证明和思考。
区经锄头（引用请注明出处）