分形理论:生成元中包含了整个分形图形的所有特征，蕴含着整体的全部信息，

第23卷第2期
2003年6月
河池师专学报
JOUI AL OF HECHI NORMAL COU正GE
Vo1．23 No．2
Jun．2003
●
分维、分形、混沌及其物理哲学含义
韩锋
(河池师专物理系。广西宜州546300)
[摘要] 考察分维、分形和混沌概念的发展与现状，通过对这些概念的分析，研究它们所蕴含的物理哲学含义。
[关键词] 分雏；分形；混沌；物理哲学
[中图分类号] O415，5 [文献标识码] A [文章编号] 1005—765(2003)02—0016—06
1 维数概念的发展
1．1 被含糊使用着的维数概念
维数通常被人们理解为确定空间一点所需的独立坐标数。如果相空间中的一个点有n个自由度，那么
确定该相点(系统的一个状态)则最少需要n个参数，／1,即为该相空间的维数。对于几何空间，这样的定义当
然也是适用的。在此定义的背后是这样的经验：线只有长度，因此是1维的；面有长度和宽度，因此是2维
的；体有长、宽、高，因此是3维的。
在1875m1925年间数学家们发现，长期以来对维数概念一直缺乏深人的研究，“维数”被含糊地使用
着。也就在这个时期，康托(G．Cantor)和皮亚诺(G．Peano)分别发现了：
( 条直线上的点和一个平面上的点之间是可以建立一一对应关系的；
②一个区间可以在整个正方形上实现连续映射。
前者破除了一个平面上的点似乎比一条直线上的点多的直觉，说明维数可被一一对应的变换所改变；后
者表明可以用一个单值的连续映射来升高维数。这就暴露了维数传统定义的不足。
1．2 几种维数定义
集合论和点集论建立以后，函数的一套研究方法被推广到一般集合上去。我们把从一个集合列另一个
集合既不断开又不重叠的映射称为同胚映射。
布劳威尔(J．Brouwer)于1911年在同胚空间上定义了维数，他证明了：若n≠m，则空间， 和P不是同
胚的。这意味着同胚映射不改变空间的维数。对同胚空间而言，可能存在一个相同的自然数n，可以定义一
个函数d使得d(r)= ，n就是同胚空间的那个“相同的自然数”即维数。实际上函数d是不容易找到的，
为了寻找d从而建立了维数论。
彭加勒(H．Poincar6)把维数与分割的概念联系了起来。他定义：“凡是一个被(n一1)维连续统所分割
的连续统是／／,维的。”(连续统的定义是：包含2个以上的点而且是连续的闭集。)如3维的体可被2维的面
所分割，面可以用线分割，线可以用点分割。
用复盖的方法定义维数，把对维数的研究向前推进了一大步。设有一条曲线，曲线的长可以这样测定：
以长为 的线元去复盖该曲线，求出所需线元的个数N(a)，在 _+o时此曲线的长度L=J7v( ) 则逼近于厶，
并且与 无关。我们还可以给出与该曲线的线元相关的面积和体积的定义：A=J7v( ) ，V=N(a)g。对于普
通的曲线， _+o时，A和 是趋于零的，只有长度才是有意义的度量。这种定义方法区别了长度与面积和体
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· [收稿日期] 2002—03—21
[作者简介】 韩锋(1943一)，男，物理学教授，广西师范大学兼职硕士研究生导师，主要研究方向为理论物理学和物
理哲学。
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积的不同含义。当然，我们也可以用类似的方法重新定义面积和体积。
把长度、面积、体积的概念推广，统称为体积，而把点、直线段、三角形分别称为0维球、1维球、2维球，等
等。则一个半径为8的d维球的体积就可以定义为： ．
=r(d) ， 其中r( )=仃 ／，(d／2+1)
用此定义下的球去复盖欧氏空间中的一个d维形状|s，可得形如h( )=r(d) 的表达式之和。E h(艿)称为
|s的测度 ，而d就称为该测度的维数。
1．3 分数维数(分维)
关于非整数的分数维数(简称分维)，曾被豪斯道夫(F．Hausdorf)严格地定义过，但未在物理中得到应
用。分形和混沌的研究兴起以后，人们逐渐发现，分维是描述分形的有力手段，分形的标度不变性是用分维
度量的，而混沌吸引子就具有分形的特征，它的维数就是分数的。
用一些直径 。的球(或立方体)来复盖某确定维数的对象(为简单起见，设它是一个单位的)，设所需的
球的数目为Ⅳl，若用直径 ：的球复盖，所需球的数目为Ⅳ2。显然， 越小，所需的J7v就越大。当 -+o时，
^ ∞，可以用它们的对数之比来定义该对象的维数：
d =l im
如此，对于线段，N=÷，则d=l。i．．。m =1，是1维的；对于平面，N=( )2，则d=l im =2，
是2维的；对于正立方体，J7v=(1／,-) ，则d=H =3，是3维的。都与传统维数定义的结果相同。
这样定义的维数常被称为容量维，或豪斯道夫维数。
分维的典型例子是康托尔集合。将l条线段去掉中间的1／3，
而后再去掉余下2段中间的1／3，再去掉余下4段每段中间的1／3。
一 I —· -一依次进行下去，最后余下线段的长度之极限的集合，就称为康托
· 一 一
1 康托尔集
一 一一尔集(如图)o
．
康托尔集由无穷多个点组成，这些点之间又有大量的空隙。那有限多个点是零维的，无穷多个点则不
是。假定原线段长为1，则去掉的长度为L = 1+2×(÷) +4×(÷) +8943;+2“×(÷)” +8943;= =
1，去掉的和原来的一样长，可见剩余部分的维数也不可能是1。用上述豪斯道夫维数的定义，取 =1／3复
盖集合时N=2，取 =1／9复盖集合时N=4，8943;，取8=(1／3)“复盖集合时N=2“，从而有：d=li =0．63O98943;
-2／3，约是2／3维的，介于0维和1维之间。
其他还有很多，如谢尔宾斯基(w．Sierpinsld)地毯是1．89278943;维的，谢尔宾斯基“空三角”垫片是1．58498943;维
的，谢尔宾斯基海绵是2．72688943;维的。还有科赫(H．V．Koch)雪花是1．26188943;维的，科赫长城线是1．46498943;
维的，科赫岛边界线是1．61318943;维的，等等。关于这些分维图形的精美图片和通俗解说，可参看文献[1]。
2 分形
自然界有一些很不规则的形态，看似支离破碎，却复杂而又生动。如布朗运动粒子的轨迹，曲折蜿蜒的
海岸线，变幻不定的浮云，都是些很难用现成的数学方法处理的。正如分形理论的创始人曼德勃罗特(B．B．
Mandelbrot)所说t“浮云不呈球形，山峰不是锥体，海岸线不是圆圈，树皮并不光滑，闪电从不沿直线行进。”
它们在几何上对应着一类很有特点的图形，这些图形处处连续，但却处处不可微，对它们的细致研究开创了
分形几何学这门新学科。为了给这类图形命名，曼德勃罗特在7O年代创造了一个新名词fmetal，有碎片
(fragment)、分数(fraction)和断裂(fracture)几重含义。我国科学家将它译成了一个既恰当又有中国文化内
涵的名字：分形 J。
分形最重要的特点是自相似，即局部与整体在统计意义上具有相似性。整体是局部的再现或局部是整
体的缩影。换句话说，以不同的尺度对分形进行度量，其形状是相似的。
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因此，分形具有无标度性或标度不变性，或者说这类物体无特征长度。所谓标度，也就是特征尺度，是对
事物正确描述的前提。对于任何事物，都有一个相应的标度作为其基本度量单位的尺度。比如用宏观尺度
去度量原子，就不可能分辨其内部结构质的规定性。但分形不是这样，它没有一个固定的标度，而在从小到
大的各种尺度上具有自相似性。
比如最早引起这一概念的问题：“英国的海岸线倒底有多长?”实际上，如果不断提高测量比例尺的精
度，如从1：1 000提高到l：100，由于将观测到更多的曲折细节，因而测得的海岸线的长度就会越来越长。
然而，每一级尺度上海岸线的形状与前一级尺度上海岸线的形状又是相似的。这类图形的形状在放大或缩
小这种变换(标度变换)下就具有不变性。无怪乎伯努利嘱咐后人在他的墓碑上刻上这样一句语意双关的
话：“Eadem mutata resurgo。”(“虽然改变了，我还是和原来一样!”)
分形具有自相似的无穷嵌套结构，人们常用中国的“套箱”或俄罗斯的“套娃娃”玩具做比喻，以说明这
种结构是层层相似，图案中套图案，形中有形，流中有流。一棵枝繁叶茂的大树，就是一种分形结构，从统计
意义上来说，每棵树的树叶是什么形状的，它的树冠大体上也是什么形状的。这被我国学者张颖清称为“生
物全息律州引。生物全息的另一个例子是：人耳上集中了全身的穴位，它象一个倒置的胎儿，是全身的缩影。
这已成了中医针炙中耳针的理论基础。海克尔关于“有机体的个体发育是系统发育的简短而又迅速的重
演”也可以看作是一种全息(全息重演)。而混沌现象中具有的分形结构，则可称之为“物理全息”。
通常又可把分形分为自相似分形(如科赫曲线)，自仿射分形(如自仿射地毯)，随机自相似分形(如布朗
粒子轨迹)三大类。其他还有一些如胖分形(fat fracta1)、多重分形等。
3 混沌
混沌理论的进展，无疑是20世纪末非线性科学研究最重要的成就之一。人们发现，自然界宏观领域大
量存在着一类混沌现象，完全确定性的方程，得出的却是不确定的结果。完全满足决定论方程的物理系统，
其整体特征却表现出随机特征的不可预测性。而且这种随机性是完全来自系统内部的，与外界无关。对初
始条件的敏感依赖性是混沌系统的一大特征。比如三体问题，每个星体都严格地遵照牛顿定律按确定的规
律运动，但在整体上却呈现出复杂的不稳定随机运动。地月系统中，地球和月球的受力和方程都可以精确确
定和求解，月球环绕地球的轨道可以准确给定而且是稳定的。不过这里我们忽略了太阳及其他星体对这个
理想的二体系统的影响。迈出一步，如果我们把太阳也考虑进去，二体系统成为三体系统，三体系统的牛顿
方程在数学上就不可能精确求解了。现在一般采用“摄动方法”来近似求解。人们还惊奇地发现，来自其中
任何一颗星体的引力的微小变化，都可以使得其他星体的轨道发生很大的摇摆不定。小的扰动可能产生大
的效果，这就是混沌系统对初始条件的敏感依赖性。
这种对初始条件的敏感依赖性，人们曾形象地把它称为“蝴蝶效应”。它出自美国气象学家E．N．洛仑
兹的研究：“在巴西的一只蝴蝶掮一下翅膀，所引起的微弱气流对地球大气的影响就可能放大而不是逐渐减
弱，最终在德克萨斯引起一场大风暴。”以此说明长时期大范围确切的天气预报，在原则上是不可能的。因
为影响天气变化的地球大气的温度、湿度、压强等测量值总不可能是完全精确的，而微小的偏差就有可能造
成难以预测的后果。当然，人们更关心的是长期预报的平均行为，而混沌吸引子的遍历行为又恰好保证了这
个平均值的稳定性和与初始条件的无关性。
在数学上人们通常通过逻辑斯蒂(~gistic)映射描述上述混沌现象。发现，系统演化到最后，要么趋向
于在某个值上稳定下来(吸引子)，要么出现周期性的振荡而进入混沌。以“虫口模型”为例。设有一种群的
“虫口”下代和上代没有重迭，即上代产卵孵化出下一代后自身全部死亡。若下代的虫口成正比地增长，而
虫口增多时因争食又互相残杀，其减少的数量是与虫口的平方成正比的(因为须两虫相遇)。这样，下一年
的虫口数 与上一年的虫口数 之间的关系就是
= 0一胍2=
0(1一 )
其中 是比例系数，这就是逻辑斯蒂方程。我们设定一个初始虫口 。(比如可设为0．02，可以按比例地
增大和缩小)，再适当地选择比例系数 为2．7，将会看到，反复迭代，最后 会在某个值上稳定下来。按逻
辑斯蒂方程， 明年=0．0529，翻了一番还多。重复以上过程，即再取0．O529为初始虫口，就又得到0．1353，依
次会得到0．3159，0．5835，0．6562，增长开始减慢。接着又会得到0．6092，0．6428，0．6199，0．6362，0．6249，
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出现上下摆动，但越来越接近于一个固定的数。接下来是0．6328，0．6273，0．6312，0．6285，0．6304，0．6291，0．6300，
0．6294，0．6299，0．6295，0．6297，0．6296，0．6297，0．6296，0．6296，0．6296，8943;，虫口数在生存和死亡的斗争中终于稳定．
下来了。这在相空间中表现为系综的相体积不断收缩，最后收缩为一个固定点——吸引子。这种吸引子还
是动态的：一方面运动从外向内向着吸引子靠拢，同时这些运动轨道又在随机地无规振荡，表现出排斥性。
如果选择比例系数 >3，就将会出现周期性的振荡而进入混沌，经过任何次迭代也不会再回到前一状
态，成为没有周期的混沌状态。其具体分析可参看文献[5]。
混沌现象的背后是一类无穷嵌套的自相似几何结构——分形。分形结构一般具有分数维(但也有些自
相似嵌套结构是具有整数维的)，分形的细节是随机的，但分维却保持不变。它们是彼此联系着的，有着丰
富的内容和广泛的应用，也存在着许多饶有趣味的问题。“它们具有相当的普适性，涉及由常微分方程、偏
微分方程和差分方程描述的许多数学模型和物理系统。”-6 混沌理论的出现使人们得以以新的眼光来看待
世界。
4 分维、分形和混沌的哲学启示
4．1 分维的启示— 依赖于观测者的“有效维数”
在一幅画卷上，我们能毫不迟疑地判别哪是浮云，哪是高山，而不会把它们同棉花、砖块相混淆，这是人
人都有的经验。在分维概念出现之前，没有人确切地分析过造成众多不相同的人有这样相同感觉的原因。
自然界中不同事物有不同的外部特征，维数就是对这种外部特征的定量描述。
科学家笃信大自然是一个和谐的整体。这种和谐自然也包括质与形的统一。以前人们强调透过现象抓
住本质，在这样做的同时也贬低了事物外在形式与内在本质相和谐的意义。分维概念的发现从方法论上启
示我们，从现象人手引导人们抓住本质有着更宽广的道路。
英国的海岸线究竟有多长?它当然不可能是无限长的，因为实际上不可能使测量的比例尺趋于零。口
但有一点是肯定的，如果海岸线的分维很接近1，就表明此海岸线是十分光滑的，它比1越大，就表明它有更
多的曲折细节，海岸线越不规则。
上述在测量海岸线时的平滑化过程，使我们联想到，这种观测结果与观察者(以及他的观测手段)有关
的事实，与量子力学中的测量问题和相对论中的参考系问题是一致的。试问，1个线球的维数是多少?从极
远处看，这个球是1个点，因而是0维的。从较近处看，它是1个球，球的维数是3。如果再靠近些看，我们看
到了一根根单条的扭曲、缠绕着的线，球由扭曲的线构成，因而是1维的。如果靠得很近，线又变成了具有一
定粗细的柱体，又变成3维的了。如果靠得非常近，线柱是由相互缠绕的微细纤维构成的，又再次变成1维
的了。可见，线球的“有效维数”依赖于我们的观察方式，它也是一个相对的概念。-8 我们发现维数并不象初
看起来那样直观和简单，出现了分维以后，这种情况就显得更值得研究了。
分形的分维一方面高度复杂，同时又特别简单。复杂是因为它们有无穷精致的细节和独特的数学特征，
处处连续又处处不可微，而且没有两个分形是完全相同的；然而它们又是非常简单的，因为它通过连续的迭
代操作就可以很容易地生成。
4．2分形的启示— — 超越还原论
自然界有两种基本的对称性，即伸缩(r— r)和平移(r—r+b)，但前者的研究长期以来没有得到应有
的重视。在分形上任选一个局部将它进行放大(亦即把测量的标度变小)，得到的图形和原图形是彼此相似
的。这时，原来看似光滑的部分将呈现出整体图形所具有的不规则性。也可以说，分形正是通过改变标度，
反复使用生成元而形成的。这意味着，生成元中包含了整个分形图形的所有特征，蕴含着整体的全部信息，
这是很有意义的。这启示我们，在对部分和整体的关系问题上(不仅研究几何形状，也研究一般事物的局部
和整体特征)，认识将会有新的突破。
A．托夫勒曾经评论道：“当代西方文明最高度发展的技巧之一是分析，把问题分解成它们的最小单元。
我们精于此道并为此津津乐道。但是，我们常常忘记把这些支离碎片再拼合回去。”然而，把它们拼合回去
就能完全恢复原状吗?换句话说，部分相加能完全等于整体吗?这种情形先是在牛顿力学中，后来又在分子
生物学中被人们一再应用并取得了辉煌的成果。虽然量子力学现象的整体性特征已为我们敲响了警钟，让
我们窥到了这种还原论的极限，但人们并未警觉，仍然沉浸在胜利的迷梦中而欢欣不已。
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事实上，一般系统论的创始人贝塔朗菲早就意识到，还原论是不可能完全解决生命现象这样复杂问题
的。任何最简单的生命系统也至少有3个以上的电子，我们已经知道，三体问题是不可能精确求解的(注：
量子现象中是否存在混沌现象，是正在研究中的一个问题)，无论是物理学家还是超级计算机，“都说不出第
3个电子会干些什么?”[刚贝塔朗菲在批判机械的还原论和吸收生机论合理成分的基础上，提出应将系统作
为一个整体来考虑，这在生命科学和行为科学中尤为重要。
其实，中国古代关于“天人合一’’(“Oneness of heaven and man”)的思想已将这种整体论观点表达得相
当彻底。分形理论的发现再一次表明，部分与整体有着不可分割的全息对应联系，这就超越了还原论，将整
体论推向了一个新的发展阶段。
4．3 决定论中的随机性与非决定论的确定性
— — 关于偶然性和必然性的再讨论
完全的决定论和完全的概率论都是以某种无穷过程为前提的。决定论意味着可以无限精确地预测未
来，在给定的初条件下，系统的运动轨道将是唯一确定的。而概率论则不同，它是非决定论的，对于某个随机
现象来说，即便在同样的条件下，每次出现的结果都可能不同，但它又是有着确定规律的，这就是大量随机事
件中表现出来的统计规律性。长期以来，自然科学有着决定论与概率论两套描述体系，分别对应着必然事件
和偶然事件两大类研究对象。而且一直认为，决定论体系是天经地义的，概率描述只是一种不得已而为之的
近似的补充。为了量子描述的统计性问题，玻尔和爱因斯坦进行了长达近半个世纪的争论，至今余波未平。
实际上，决定论和概率论都是建立在无限精确测量的假定基础之上的。牛顿力学要求给出精确的初始条件
或边界条件，而统计规律性则要求有一个无限长的样本序列。可是，实际的测量其精度和次数又总是有限
的。“只要把有限性作为基本原则，确定论与概率论的人为对立也就会消失。”u训而这种测量的有限性原则
又是和自然科学研究中的主体性问题密切相关的。
与非决定论的随机现象中存在确定的概率规律相对应，混沌现象显露了自然界现象中的另一个本质侧
面，即决定论系统中也会出现本质的内在随机陛。这是出人意料的，也是非常有趣的，我们朦胧地感悟到将
有一种新的范式转变的发生。完全决定论性的方程，它的解却可能由于敏感依赖初始条件而变成完全不确
定的。混沌系统中一条轨道满足决定论性的方程，但其整体特征却表现为有条件的不可预测性。系统的内
在随机性会放大而最终导致混沌的出现。决定论产生了随机性，确定性和随机性没有了不可逾越的界限，决
定论和非决定论在新的程度上达到了统一，这真是人类对偶然性和必然性相互关系认识的一大飞跃!
支配复杂性现象的数理模型可能是很简单的，而简单方程的解却可能是很复杂的，这对人们正确认识简
单性和复杂性之间的关系是一个重要的启示。在这里，复杂和复杂性指的就是混沌系统非线性动力学方程
的不可积性。由于非线性方程一般不能积分精确求解，因而就只能满足于计算吸引子和分形维数等整体特
征。是大自然本来如此呢?还是由于人们暂时没有找到合适的数学工具的权宜之计?也就是说，在自然科
学中人们公认的“简单性原则”在复杂性现象中是否仍然有效?这在认识论上是十分重要的。应该认为，复
杂性与非对称性一样也是一个发展着的、相对的概念。动力学方程的不可积性可能是复杂性现象对经典力
学现象的第3个限制(前两个是高速运动现象对经典力学的限制，以光速c为标志，以及微观现象对经典力
学的限制，以普朗克常数h为标志)u¨。它的标志很可能就是费根鲍姆常数8=4．6692016668943;。人类每承
认一项限制，人在理解和控制环境方面就变得更丰富和更理智。相信，随着科学的发展，简单性将会不断地
获得新的内涵，而使简单性原则在更高的层次上被确立为一条重要的方法论原则。
J．福特说：“秩序是完全平庸的，混沌则真正富有魅力。”L1 其语一出，振聋发聩，仔细一想，也有道理。
确实，完全的有序是不可能产生任何信息的，而表现为无确定周期有序的混沌则能给人们以丰富的选择可能
性。理解混沌，控制混沌，我们就有可能在貌似纷繁无规的大自然面前获得自由。
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索的欲望，自然也失去了学习的兴趣。如果为了某种需要迫使他们(例如交作业，考试及格等)，他们就会产
生极不愿意的任务式的被动行为，教育者和被教育者在心理上产生了极不和谐和难以统一的矛盾，直接后果
是可想而知的。
有了自信 L、,---~产生求知欲一精力投入一取得成果有成就感一产生荣誉感一自信心更足一8943;，这一循环
链可说明培养学生的自信心的重要意义。因此，我们数学教学很有必要考虑学生的心理机制，培养学生的自
信心，解决学生主动求知的原动力问题。
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Analysis and Countermeasure to the perform an ce of Students’
in the Maths Department of Norm al CoHege in Minority Area(Two)
ZHANG Chang-ji，WEI Yan-feng
(Department of Ma~emafics，Hechi Normal College，Yizhou，Guangxi 546300，China)
[Abstract] According to the question that minority 81"ea students’matriculation scores are low after college
enlarged recruiting range，expounded some theoretic basic po ints as reference from aspects such as
teachers’cognition，relation between teaching material and textbook，some teaching method reforms，cultivating
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[Key words] countermeasure；diferentiation textbook；reform ；mentality mechanism；motivity
(上接第2O页)
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