信息由中心向外传播，空间对称性发生破缺。

http://209.85.173.132/search?q=cache:FTa_AgrjOqEJ:physics.swjtu.edu.cn/course/%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E8%BE%85%E5%AF%BC/%E7%94%B5%E5%AD%90%E6%95%99%E6%A1%88/%E7%94%B5%E5%AD%90%E6%95%99%E6%A1%88%E7%8E%B0%E4%BB%A3%E7%89%A9%E7%90%86/ch4.ppt+%5BPPT%5D+%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E4%B8%8E%E5%88%86%E5%BD%A2&hl=en&ct=clnk&cd=11&gl=us

同学们好！





第四章 自组织、混沌和分形


——复杂性研究和非线性科学简介


一、大自然的复杂性


物理系统


简单系统——自由落体、单摆

复杂系统——分子物理系统


复杂系统


大气系统——风云变幻难测

生物系统——千差万别、种类繁多

经济系统

社会系统


复杂多变，难以预测控制


大自然的复杂性





拉普拉斯的世界：


一台古希腊行星计算器


大自然的复杂性





简单系统未必简单——庞加莱三体问题：


一颗尘粒绕两颗行星的运动轨迹


大自然的复杂性





二、什么是非线性科学


非线性科学是揭示非线性系统共性，探索复

杂性的一门学问。


非线性系统的微分方程是非线性的，例如：


单摆运动方程


流体速度场方程


什么是非线性科学





§4.1 自组织现象及其研究


物理学的困惑：


牛顿力学


电磁理论


相对论


量子力学


具有时间反演不变性


物理学的困惑





分子物理热力学过程的不可逆性：

系统的演化具有时间箭头——熵增的方向。


演化的世界

静止的世界

力学系统


热力学系统


物理学的困惑





平衡态热力学：

热力学系统总是由非均匀、对称性少的状态向熵极大的、均匀的、对称性多的平衡态演化。

——退化


达尔文的进化论：

生物系统总是从简单、单一和均匀向复杂、多样和不均匀演化。

——进化


静止世界图象



演化世界图象


退化的时间箭头



进化的时间箭头


物理学的困惑





（1）粘滞现象


粘滞现象是分子热运动过程中定向动量的

输运过程。


单位时间沿z 方向通过单位面积输运的动量为


其中


为粘滞系数


一、近平衡线性区的工作概述


1、流与力 昂萨格关系


近平衡线性区的工作概述





单位时间沿z 方向通过单位面积输运的热运动能量


其中


为导热系数


（3）扩散现象


扩散现象的微观实质是分子质量的输运过程。


（2）热传导现象


热传导的微观实质是分子热运动能量的输运过程.


近平衡线性区的工作概述





单位时间沿z 方向通过单位面积输运的总质量为


其中


为扩散系数


近平衡线性区的工作概述


动量流


热量流


质量流


速度梯度


温度梯度


密度梯度





对复杂过程有


可以证明


——昂萨格关系


2、最小熵产生原理


平衡态：


熵极大


非平衡态：


近平衡线性区的工作概述


广义流


广义力





二、自组织的典型现象

——远离平衡态的非线性系统中的现象


自组织现象——某一系统中自发形成的时空有序结构或状态。


1、贝纳德对流


液体


均匀加热


T2


T1


T2


T1


>


自组织的典型现象





贝纳德对流


自组织的典型现象





2、Belousov—Zhabotinski反应


化学振荡


化学溶液颜色的周期性变化 ——时间周期


（1）化学钟


系统具有长程关联，时间对称性发生破缺。


具有自组织特征


自组织的典型现象





（2）空间构型


化学波


化学溶液的颜色随空间变化——空间周期


信息由中心向外传播，

空间对称性发生破缺。


具有自组织特征


非对称性——

生命的基本特征


自组织的典型现象






DNA的右手双螺旋结构


自组织的典型现象





3、激光


激光——同频率、同相位、同偏振方向


自然光——频率、位相、偏振方向不同


粒子数反转


受激辐射


具有自组织特征


自组织的典型现象





三、自组织结构（耗散结构）的特征


耗散结构——系统通过不断与外界进行能量与物

质交换所形成的时空有序结构。


平衡结构——不受外界影响，宏观结构不变。


1、时空有序结构


2、对称破缺——对称性降低


Benard对流：空间平移对称性破缺

B—Z反应：空间平移和时间平移对称性破缺


激光：时空对称性破缺


自组织结构的特征





3、非线性相互作用——流与力的关系为非线性


4、状态突变——分岔


Benard对流：


61508;T较小时


流


力


线性关系


61508;T较大，达到或超过临界值时，流与力的线性关系被破坏。非线性关系导致对流结果。


控制参量61548;


61508;T

反应物浓度

泵浦功率


无序 有序


自组织结构的特征





四、自组织（耗散）结构产生的条件


1、开放与开放度


开放系统的熵变为


——系统内各种过程的熵变


——系统与外界进行物质与能量交

换引起的熵变（熵流）


当


且


因


——系统熵减，

无序 有序。


自组织结构产生的条件





2、远离平衡态


普里高津：“非平衡是有序之源。”


3、非线性相互作用


系统动力学方程为非线性的。


例：


洛仑兹大气对流方程


非线性项


非线性项


4、涨落


自组织结构产生的条件





五、非线性分岔与耗散结构


自组织耗散结构与描述系统的动力学微分方程的非线性性密切相关。


（1）叉形分岔


1、分岔的基本概念


分岔——非线性系统中参数变化经过某一临界值时，系统的状态发生突变。


非线性分岔与耗散结构





(2) 霍普夫分岔


2、分岔与耗散结构


热力学平衡态


较高的对称性


耗散结构


对称性降低（破缺）


耗散结构的对称性破缺是由分岔引起的。


非线性分岔与耗散结构















热力学平衡态


失稳


分岔


非平衡定态


失稳


分岔


远离平衡态


非线性分岔与耗散结构





同学们好！





一、混沌现象


湍流


雷诺实验


§4.2 混 沌


木星大红斑


障碍物后的流体


混沌现象






喷气机尾流


燃烧的蜡烛


洛仑兹水轮


混沌现象






滴水龙头


计算机迭代


混沌现象






①什么样的系统会出现混沌现象？

②怎样判断系统出现了混沌现象？

③混沌系统状态有何特征？如何描述？


问题：


非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性方程），当其非线性程度足够高时，系统将出现混沌状态。


混沌现象





二、相空间与相图


求解非线性微分方程的困难


法国数学家庞加莱


相空间（状态空间）


相空间几何学（拓扑学）


相空间与相图


一个系统的动力学变量所张成的空间称为相空间，相空间的曲线称为相图。


相空间中一个点代表系统的一个运动状态；

相空间中一条曲线代表系统的运动状态变化过程。


相空间与相图





例1、刚性单摆的相图。


不计空气阻力，在自然坐标系
下，摆球的切向运动方程为


mg


61553;


61556;


令


得摆球的运动微分方程


相空间与相图





忽略空气阻力，摆球与地球系统机械能守恒


可解得


描述摆球运动状态的物理量61553; 和61559; 张成一个二维平面相空间，相图如下图


或写为


相空间与相图






摆球运动相图


O


讨论：


①取E0=-mglcos61553;0= -mgl, 即61553;0 =0, 61559;=0, 对应相图中的平衡点O。


相空间与相图





②当


，对应相平面上绕平


衡点的一系列闭和曲线，代表摆球在平衡位置附近的周期运动。


小角度摆动时


或


利用


得


相轨迹为椭圆，摆球做简谐振动。


相空间与相图





由于


大角度摆动时，摆球相轨迹仍为闭和曲线，但由图可见，曲线不再是椭圆，即摆球此时的运动不是简谐的。


相空间与相图





③当


时，对应摆球向


趋近的运动。在


处（鞍点）


摆球运动的三种可能


静止，保持倒立状态


由原路返回


继续向前运动


（随机性）


④当


时，对应摆球的旋转运动。


此时，运动仍有周期性，但不同于周期性摆动，其特点由相柱面可见。绕过相柱面的轨迹对应转动，未绕过相柱面的轨迹对应摆动。


相空间与相图






单摆相柱面


相空间与相图






有阻尼小角度摆动相图


运动方程


方程的解


相 图


摆角与时间的关系


相空间与相图






任意摆角的有阻尼单摆相图


相空间与相图





例2、范德玻耳电子管的振动。


相空间与相图







相图


状态变化最终稳定在一个闭和相轨迹上，状态变化具有周期性，运动状态可预测。


整理得


相空间与相图






例3、洛仑兹大气对流方程


相曲线不闭和、不相交——运动为非周期性的，而且具有不可预测的随机性。


相空间与相图






庞加莱截面


在高维相空间，为了更方便地了解复杂运动的性态（定态、周期或非周期），可取一个通过初态的截面（庞加莱截面），观察相曲线与截面交点序列，可定性了解运动状态的演化。


相空间与相图






几种可能的运动性态:


a 混沌


b 一周期

极限环


d 二周期


c 定态


相空间与相图






相空间几何与吸引子


相空间几何——考察各种可能的相空间运动类型，根据相空间运动与样板体系性能之间的一一对应关系，建立动力学系统现象的定性分类。


吸引子——动力学系统稳定后形成的相空间轨迹。


②周期振荡 ——极限环吸引子

（范德玻耳方程）


①定态——相空间的定点吸引子

（有阻尼单摆方程）


运动状态可预测


③混沌态——奇异吸引子（运动状态不可预测）

（洛仑兹方程）


相空间与相图





混沌运动的特点：


（1）非定点、非周期运动—运动具有不确定性；

（2）不确定性来自于系统自身—内禀随机性；

（3）由内禀随机性引起的不确定性运动—混沌运动；

（4）混沌运动的初值敏感依赖性—蝴蝶效应。


相空间与相图






　　系统状态演变对初值极端敏感，相图中两个任意靠近的点经过足够长时间，在吸引子上宏观的分离开，对应截然不同的状态——由于实际上对初值的测量不可能绝对精确，这种不确定性在一定条件下被放大，导致不可预测的结果——蝴蝶效应。


相空间与相图





三、混沌的数学模型


测量


①采集被观测系统某个特征量的一个数字序列


②利用差分可产生新的一阶差分序列、二阶差分序列…


③以观察次数为横轴，特征量为纵轴做图，可直观定性到把握现象变化的时间结构和变化趋势。


混沌的数学模型






数学建模


模型是对现实世界的对象或系统的某些特性用比较简单和容易理解与操作的方式进行模拟。


在测量序列的基础上，通过假设变化的结构，用序列前面的一项或几项计算任一项：


一次离散映射


许多动力学过程不是连续过程，不能用微分方程描述，因此常表示为差分方程或离散映射。实际上微分方程是差分方程的极限。高维庞加莱映象即为离散映象。因此，差分方程和离散映象的研究有重要意义。


混沌的数学模型






Logistic映射


生物种群——虫口生态模型


无约束增长——几何级数增长


约束增长


可得


混沌的数学模型





四、数值计算


非线性方程一般无解析通解，常用迭代法获得数值解。


数值计算


迭代法


迭代指重复一系列运算操作而逐次得到愈来愈接近结果的过程。


迭代函数


起始：

映射：

迭代：


重复该过程，可得差分方程数值解。






数值计算






贝诺勒变换——拉伸与折叠


数值计算







埃农（Henon）映射


马蹄形奇异吸引子


数值计算






倍周期分岔


logistic映射的分岔点依次为





分岔谱图


周期区


混沌区


数值计算






通向混沌的道路


(1) 倍周期分岔


(2) 间歇阵发道路

(3) 吕勒-塔肯斯道路


数值计算





非线性振荡电路


贝纳德对流实验(A. Libchaber)


混沌实验


数值计算





五、费根包姆常数 普适性与标度性


费根包姆常数


—具有普适性


61540; = 4.6692016091029909 · · ·


标度因子

（缩放因子）


d1


d2


d3


费根包姆常数 普适性与标度性






同学们好！





一、分形与分维的基本概念


标度对称性——系统经过放大或缩小变换后保持相似或不变的对称性。


问题的提出：海岸线有多长？


分形体——与整体以某种方式相似的各个部

分组成的客体。


分形与分维


一维长度的测量：


二维面积的测量：


§4.3 分形与分维


分形与分维的基本概念





其中， 为测量标尺，标尺越小，测量越准确，极限情况下


三维体积的测量：


D维物体：


即


——分维


分形与分维的基本概念





①科赫曲线


标尺：


分形维：


几种典型的数学分形及其分维


分形与分维的基本概念





②康托尔集合


标尺：


分形维：


分形与分维的基本概念





标尺：


分形维：


③西尔平斯基毯片


分形与分维的基本概念






分形与分维的基本概念






logistic映射分岔谱图——奇怪吸引子


具有分形结构的吸引子


分形与分维的基本概念






洛仑兹奇怪吸引子


由于状态曲线在一个有限的空间无限延伸，其几何结构必然是分形的。


实际上埃农（Henon）曾将三维洛仑兹方程简化为两维，构造了一个二维映射——埃农映射。


分形与分维的基本概念







埃农映射——马蹄形奇异吸引子


马蹄形奇异吸引子


该吸引子具有无穷嵌套自相似结。


分形与分维的基本概念






生物科学中的


二、大自然的分形


分形生长


生物体中的分形


人体血管总体积

肺的总面>积网球场


大自然的分形






地球科学中分形


海岸线


河流


地震（时间结构）


大自然的分形






人文社会科学


音乐


股票分时走势图


大自然的分形





三、分形的物理模型


扩散置限聚合（DLA）模型


计算机模拟分形生长


分形的物理模型






拉普拉斯场控制的生长


分形的物理模型







逾渗模型


分形的物理模型





四、分形语言


仿射变换与仿射集


仿射变换是一种几何变换公式。


由


取


得


通过仿射变换几何图形发生旋转或移位。


在一个变换过程中，不断重复应用若干变换公式的变换系统成为迭代函数系统。


分形语言






计算机模拟树


含有仿射变换的迭代函数系统生成的西尔平斯基衬垫


分形语言






用“迭代函数系统”所生成的蕨类植物的叶


分形语言






递归集


曼德耳布诺特集


取复平面上一点C， 从z=0开始迭代，检验点C的性态，并涂色，可得曼德耳布诺特集。


朱利亚集


选定C ，检验点z的性态，可得朱利亚集。


分形语言






曼德耳布诺特集


分形语言






朱利亚集


分形语言





五、混沌与分形的关系


共同点


①都是非线性方程所描述的非平衡过程及其结果；

②混沌运动的随机性与初始状态的涨落密切相关，分形结构的具体形状也与初始状态的涨落有关；

③混沌运动的奇怪吸引子和分形结构都具有自相似性。

实际上，混沌运动也就是具有不同时间标度的无规自相似性。这种自相似性表明两者都具有标度不变性或对称性，即它们没有特征时间或特征尺度。


混沌与分形的关系






研究混沌与分形的意义


关于决定性与随机性、必然性与偶然性


牛顿力学力学——决定论范式

统计物理——随机论范式

混沌——确定论（方程）和随机论（非周期解）相结合的综合范式。


混沌行为的发现表明，确定性与随机性的关系并非绝对对立，必然性与偶然性、确定性与随机性在描述非线性现象中有同样基本的作用和地位。


经典物理学发展的三次飞跃：


混沌与分形的关系






整体与局部


非线性科学出现前：


机械整体观——整体等于局部之和，认识了局部就等于认识了整体；

系统整体观——整体大于局部之和，认识了局部不等于认识整体。


非线性科学出现后：

整体大于局部或整体不等于局部；

混沌与分形理论进一步表明，整体既不同于局部，又等同于局部，这是一种崭新的辨证整体观。


混沌与分形的关系






简单性与复杂性


复杂性并不等同于组成系统的要素在数量上“多”，简单的根源是线性，而复杂的根源是非线性。


稳定性与非稳定性


在稳定与非稳定这一对矛盾中，非稳定性相对而言更难把握，临界点既不对应完全稳定，也不对应完全不稳定。

任何发展都是稳定与不稳定的对立统一过程，非稳定性是达到更高层次稳定性的前提。


混沌与分形的关系