证券价格的变化过程: 衍生证券的定价与标的资产的预期收益率μ是无关的

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几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率μ是无关的。



Black-Scholes期权定价模型



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Black-Scholes期权定价模型的基本思路


期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化也是一个相应的随机过程。
金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所遵循的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。


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为什么要研究证券价格所遵循的随机过程?


期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先必须研究证券价格。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。


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随机过程


随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。
随机过程的分类
离散时间、离散变量
离散时间、连续变量
连续时间、离散变量
连续时间、连续变量


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几种随机过程


标准布朗运动（维纳过程 ）
起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量微小分子撞击下的的小粒子运动的描述。
设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在Δt时间内的变化，遵循标准布朗运动的Δz具有两种特征：
特征1：
其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。

特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt ，Δz的值相互独立。
特征的理解
特征1：
特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。


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标准布朗运动（续）


考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：
z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量
又可被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/ Δt 。
很显然，这是n个相互独立的正态分布的和：


因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N Δt =T，标准差为 。
为何定义为：
当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。
相应的一个结果就是：标准差的单位变为
连续时间的标准布朗运动：
当Δt 61664;0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动


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普通布朗运动


变量x遵循普通布朗运动：
其中，a和b均为常数，z遵循标准布朗运动。
这里的a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量x均值的变化值。
这里的b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。
这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为 ,方差为b2T.


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Ito过程和Ito引理


伊藤过程（Ito Process）：
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到


其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤过程。

Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：


其中，z遵循一个标准布朗运动。由于a 和b都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为

方差率为




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证券价格的变化过程


目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
基本假设：证券价格所遵循的随机过程：



其中，S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率），σ2 表示证券收益率单位时间的方差，σ表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的伊藤过程。也被称为几何布朗运动


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为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？


一般认同的“弱式效率市场假说”：
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性质，符合弱式假说。
投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格。
几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。这比较符合现实。


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百分比收益率与连续复利收益率


百分比收益率：
连续复利收益率:
百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：
有限责任原则：
金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有限责任（投资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在－1和＋∞ 之间变化，不符合正态分布假定。
对数收益率（－∞ ，＋∞ ）：更适合于建立正态分布的金融资产行为模型。
多期收益率问题：
即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是单期百分比收益率的乘积，n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量。从而产生悖论。
多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。
交叉汇率问题：
如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的收益率难以直接计算。
如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。


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几何布朗运动的深入分析


在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为：
可见，在短时间内， 具有正态分布特征



其均值为 ，标准差为 ，方差为 。


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几何布朗运动的深入分析（2）


但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分布的性质：
多期收益率的乘积问题
因此，尽管σ是短期内股票价格百分比收益率的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标准差却不再是 。股票价格的年波动率并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。


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几何布朗运动的深入分析（3）


如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的随机过程：
这个随机过程的特征：
普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。
在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态分布，均值为 ，方差为 。标准差仍然可以表示为 ，和时间长度平方根成正比。


从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个结论:


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（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。


令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：


这意味着：
进一步从正态分布的性质可以得到


也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明ST服从对数正态分布。


这正好与μ作为预期收益率的定义相符。


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（2）股票价格对数收益率服从正态分布


由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成比例。
将t与T之间的连续复利年收益率定义为η，则


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结论


几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程。


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参数的理解


μ：
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率μ是无关的。
较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。
σ：
是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差
因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。
一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而不采用日历天数。


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小结


我们可以用几何布朗运动来描述股票价格的运动：符合弱式有效、对数正态分布的市场现实，以及投资者对收益率而非价格的关注。



根据Ito引理，可以得到衍生证券所遵循的随机过程。
股票价格遵循几何布朗运动，可以得到未来的某个时刻股票价格服从对数正态分布的结论


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Black-Scholes微分方程：基本思路


思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。



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Black-Scholes微分方程：假设


假设：
证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数；
允许卖空；
没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；
在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；
不存在无风险套利机会；
证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
欧式期权，股票期权，看涨期权


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股票价格和期权价格服从的随机过程



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Black-Scholes微分方程


推导过程
根据（1）和（2），在一个很小的时间间隔里S和f的变化值分别为



为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则：


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在 时间后：


将 代入，可得：


在没有套利机会的条件下：


从而得到：



这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它事实上适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
值得强调的是：上述投资组合只是在极短的时间内才是无风险的。 会不断地发生变化。


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BS公式的一个重要结论
——风险中性定价原理


从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。


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风险中性定价原理


所谓风险中性，即无论实际风险如何，投资者都只要求无风险利率回报。
风险中性假设的结果：我们进入了一个风险中性世界
所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率
所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适合于现实世界。


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An Example


假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11Δ－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：
11Δ－0.5=9
Δ =0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。


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在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：
2.25e-0.1×0.25=2.19
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此：
10×0.25-f＝2.19; f＝0.31
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。


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从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求：
10=e-0.1×0.25×[11p+9(1-p)]
P=62.66%。
又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：
10=e-0.15×0.25×[11p+9(1-p)]
P=69.11%。
可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。


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前文的两个重要结论


股票价格服从对数正态分布
风险中性定价原理


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black－Scholes期权定价公式


金融产品今天的价值，应该等于未来收入的贴现： （3）
其中，由于风险中性定价， E是风险中性世界中的期望值。所有的利率都使用无风险利率：包括期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率μ。
要求解这个方程，关键在于到期的股票价格ST，我们知道它服从对数正态分布，且其中所有的利率应用无风险利率，因此，


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对式（3）的右边求值是一个积分过程，求得：





N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率）。
这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式


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首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。

因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。




BS公式的理解



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其次， 是复制交易策略中股票的数量（求导），SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。
数学等式的金融工程含义
看涨期权空头的套期保值结果


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最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。
资产或无价值看涨期权：如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额，因此该期权的价值为e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)
（标准）现金或无价值看涨期权:如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付1元， 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为1份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-t) N(d2)。


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在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ：
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权无法得到精确的解析公式，而只能运用数值方法和近似方法得到。



BS定价模型的基本推广



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有收益资产的欧式期权定价公式


基本理解：在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。σ表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用前面公式分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
因此，当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替前面公式的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将Se－q（T-t）代替前面公式中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。


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欧式股指期权、欧式外汇期权都可以看成支付连续复利红利率的资产期权
欧式期货期权定价公式为：






其中：


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例1


假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。
3.05美分 。
外汇买卖计算的诀窍


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有收益资产美式期权的定价


有收益资产美式期权都有提前执行的可能性，因此只能运用数值方法计算期权价格。但是由于有收益的美式看涨期权提前执行的可能性较小，可以采用近似的解析定价方法。
当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。


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例2


假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。
近似为7.2824元


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2．美式看跌期权


由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。


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布莱克——舒尔斯期权定价公式的实证研究


精度：理论价格与实际价格的比较
存在一定偏差，但仍然是解释期权价格动态的最佳模型之一。
倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；
高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格。
改变波动率的估计的方式会提高布莱克——舒尔斯期权定价公式在预测实际价格时的表现。
造成用布莱克——舒尔斯期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原因主要有以下几个：
计算错误；
期权市场价格偏离均衡；
使用的错误的参数；
布莱克——舒尔斯期权定价公式建立在众多假定的基础上。



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布莱克——舒尔斯期权定价公式的应用


评估组合保险成本
事先确定所能承受的最大损失，之后估算这一保险所需要的成本
给可转换债券定价
为认股权证估值


μ是瞬态期望漂移率，