希腊哲学追求跨越时间领域的“共相”，动态背后的静态,一个仅显现于理智而不显现于感官的永恒世界

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追 忆 似 水 年 华

布莱克—舒尔斯期权定价公式倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格。





一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。




《历史哲学笔记一：历史哲学的定义》

2004年1月16日 (连载中)


读书笔记：历史哲学概述

一、“历史哲学”的定义

当代人已经理解，现今的人类，乃是广泛分布于地球之各区域，而每个区域此前都曾有过许多故事及遗迹，基于不同的界定，或多或少被理解为后人眼中的历史。

“历史哲学”这个词语，按照洛维特在〈世界历史和救赎历史〉中的见解，表示“以一个原则为导线，系统地解释世界历史，借助于这一原则，历史的事件和序列获得了关联，并且与一种终极意义联系了起来”。相对于20世纪20年代以后“分析的历史哲学”所关注的“人如何可能理解历史”而言，洛维特这种定义属于“思辩的历史哲学”，即是先验的认为历史是可以被理解的，而不去考虑“认识是否可能”的问题。可以这么说，这是一种本体论式的历史哲学。

基于这种定义，广义上说，任何关于历史的见解，只要所考虑的的是关于历史变化的规则，或是试图反思历史背后的原因时，都有可能被假冒为一种哲学从而冠以历史哲学这个名称，而当考虑的是跨越时空的人类活动的普适规律时，更是如此。（注解1）

从而，按照这种定义，基督教历史神学中，〈圣经〉、奥古斯订?约阿希姆（Joachim of Floris,1130/35-1201/02）、波里比阿的著作，均可被视为一种历史哲学。而一切试图寻求历史事件背后的规律及对规律的阐释，也均可被视为历史哲学，比如维柯、伏尔泰、孔德、布克哈特、黑格尔、马克思、汤因比、雅斯贝斯的学说。

但是，洛维特的定义意味着“历史哲学”这个词语可能仅仅是一个悖论。历史意味着后人基于观察及理解得到的过往一系列人类活动的事件，而哲学，则意味着一个统一一致原则，问题是，我们无从得以知道为什么这些事件可能会服从一个统一的原则。

对于这个问题，一种思考便是，如同哥德尔关于数论的形式一致的公理化系统中必然存在不可判定的命题的证明一样，假如存在历史哲学的话，即是如果我们能够寻找得到一个可以解释历史的普适规则时，那么这个历史哲学的原则必然不能存在于它所考察的对象-----历史------之内。这就是说，历史无法在其自身之内获得其解释原则。从而，所有关于历史规律的哲学考察及解释，均不可能被经验所解决，而只能称之为一种信仰，无论我们基于何种波普式的实证主义通过预言的实现程度来加强对这个规则的论述，信仰总是不可被证明，这是哲学和神学的特权。

从而，任何试图将此种作为实际上属于形式系统的先验判断联系并应用于真实世界，甚至进行改造世界，均只能是一种致命的自负，二十世纪的人类历史中大量的悲剧演示了这种自负所带来的悲剧。

二、历史哲学的思想渊源

西方思想文明，按照现在可能追溯的文献，来自两个渊源，一是希腊哲学，一是犹太-基督传统。

其中，西方的历史哲学发源于《圣经》，构成以上帝创世为起点，以彼岸的救赎为终点的历史哲学。而希腊文明没有历史哲学。

1、希腊的史学及哲学

历史从何开始，已经不可考证。希腊哲学大约产生于公元前6世纪。此前的希腊文明，可能并非纯粹而自足，而有其他文化的影响及来源，比如基于德国商人海因里希·谢里曼于1870年开始对特洛伊所进行的执着的考古发掘，可以发见辉煌的克里特－迈锡尼文明的遗迹。而埃及和西亚的神话乃至近东文明，也同样可能对希腊文明的形成有深刻的影响，这在瓦尔特·伯克特（Walt Burket）的《东方化革命》曾得到说明。

按照柯林武德在〈历史的观念〉中的考察，在相对可靠的历史出现之前，民间的思想传统，是作为对神的事迹记载的神话及基于此种神话以理解现实合作组织构成的神权历史学。作为准历史的神话，尽管开始可能起因于各民族对世界及自身的独特理解中，但随着各民族的往来及变迁，流传下来神话本身总带着一种谱系的性质，在某种程度上，这或许是缘于书写工具的缺乏而便于记忆的需要。（注解：《古史辩》，顾吉刚“层积的历史”曾解释过这种神话的谱系原因）

基于现在所能得到的文献，至公元前8世纪，希腊的思想传统，已经相对独立而且确定。此时，希腊有三种宗教，即奥林比斯崇拜、俄尔甫斯教派和厄琉息斯秘仪。奥林比斯的崇拜对象主要是宙斯、阿波罗和雅典娜，后两者则分别崇拜德墨特尔和狄俄尼索斯，相较于后两者的狂乱而未开化（注解2）而言，奥林比斯崇拜的宙斯神显得稍为节制。

公元前9世纪，盲诗人荷马删编了民间流传的希腊人在特罗伊战争的事迹，成为两个成型的故事，《伊里亚特》及《奥德赛》，并在公元前6世纪希腊文定型后迅速被以文字的形式记载下来。故事中除了奥林匹斯山上的宙斯神之外，也记载了特洛伊战争中，诸神一般的英雄传奇。按照柯林武德的看法，荷马的著作，不是研究，而是传说，在某种程度上，是神权的传说，而其中也有着连诸神也不能摆脱的“运命”的痕迹。

相应而言，公元前8世纪，赫西俄德所创编的《神谱》，则是典型的神话。在该书中，赫西俄德以奥林波斯神系为终极归宿，把诸神纳入了一个单一的基于血缘而构成的世系。混杂的诸神由此获得了一种系统的记忆，不同的传统被融合起来。在这个体系中的联结纽带是血缘而不是思想或者行动。在某种意义上说，赫西俄德为后来的哲学家的思想开启了一条谱系化的道路。（很有趣的是，中国历史上，在数种思想融合的过程，同样可以发现此种谱系行为，比如《老子化胡经》，以及明朝的《封神演义》）

值得注意的是，赫西俄德的书没有明确“创世”概念，而仅仅以“浑沌为万物之先”，谨慎的以为世界起源于不可知晓。同时，在他的另一本书《工作和时日》中，他提出了一种世界退化的观念，即是人类社会从黄金时代渐次退化为白银时代、青铜时代、英雄时代和黑铁时代。这一观念，后来在古罗马诗人奥维德(Publius Ovidius Naso, 前43-约后17)所著的《变形记》（Metamorphosis）中被进一步发挥。（同样，孔子“郁郁于三代”以及中国传统思想中对古昔“黄金时代”的怀念，多少可以发现类似的痕迹，但在邹衍的五德循环说提出来以后，渐次退化的观念便被循环观念所掩盖。）

此后，在前8世纪-前2世纪中颇为流行的戏剧节的各种表演及比赛中，对荷马史诗的背诵及重演，都是一种对历史及传统的记忆及延续，而同样，通过参赛的职业说书人对人物性格所进行的表演，或是诗歌中出现的戏剧性的谈话，乃至此后各种著名的希腊悲剧、希腊喜剧中对过往神话故事的再阐释，神的人性特征，比如面目和性格等的情绪化渐次显现并深化。当诸神的时代渐次隐去，人的历史便出现了。

真正意义上的古希腊历史著作，出现于公元前 430年，包括希罗多德的《历史》及他的同代人修昔底德的《伯罗奔尼撒战争史》。而稍后一点，则有色诺芬所著的《希腊史》、《长征记》（亦译《远征记》）、《居鲁士的教育》、《斯巴达政体论》、《回忆苏格拉底》、《经济论》、《论税收》等书。此期间，是希腊哲学出现的时候。

希腊哲学于公元前六世纪，出现于希腊富庶城邦的有闲阶级中，因不可抑制的好奇心（Wonder）而起，以求真爱智（注解3）为目的。（正如亚里士多德所认为的，闲暇之后，才有思想。从词源学上看，西文“学校”（school）是由希腊文“闲暇”（shule）派生而出，而进一步的，凡勃伦在《有闲阶级论》则以一种神的姿态嘲笑了这个世界）

如果将神话视做一种口述史的话，那么，可以说，作为准历史的神话，涵盖了当时人类对于自然界规律的理解。而希腊哲学则是进一步的“去神话化”。

日月运行是那时最重要而有着深刻影响的自然现象，相应的，对这种物理时间（注解4）的理解必然是循环的，因为它是天体运动的函数。这样一来，作为一种原始经验的延续和记忆，在古希腊—古罗马人的神话意识和谱系中，“自然”被理解会在每年严冬死去，而在第二年的春天再度复苏。这种理解中不会出现单一的线性观念，“过去”被融化在当前中，并在未来中再次出现。对时间的认识，和着周期性，规律性，持续性和不变性交织在一起，因着自然现象的重复出现而强化。

而基于好奇心而起的希腊哲学，所追寻的，便是自然这种变化背后的一致性，对于“认知”(cognative)和推理(reasoning)的强调，对于分类（“共名”）和演绎推理的方法的运用，使希腊哲学可以致力于追求跨越时间领域的“共相”，集中处理动态变化背后的静态问题，以理解无情而不以人意为转移的事实之间的关系及其背后的一般原则（运命）。

这种对生灭无常，本质永存的信念，使人类得以于感官事物之外，关注不依赖于实有事物的纯思辨的一般抽象关系，这就是依赖于抽象关系的逻各斯。由此，一个仅显现于理智而不显现于感官的永恒世界由此出现。

在这种概念下，存在高于变化。因为不变的存在是本质，变化的存在，只是现象。没有线性的时间，也没有“进步”的概念。因为只要遵循同样的逻各斯，将来和过去、现在，必然有同样的生灭循环。而相应的，在大多数希腊哲人的看法中，物质是永恒、非创造的，既没有开端，也没有终结，时间没有方向性，没有特殊的向度。进一步推演可以知道，所谓的“革命”，按照希腊哲学的理解的话，只是又一次周而复始的循环的新的开始而已，而不是和传统的决裂，而革命和变化，也不是世界的本质。

正如A.斯特恩在《历史哲学：起源和目的》中指出，认为希腊没有历史哲学的原因仅仅在于希腊人的循环观这种想法是一种肤浅的想法，其关键之处不但在于这种循环观，而在于时间的不可逆性。正是由于特定方向的时间，才引起了“历史”的概念。他认为，希腊人认为“变化”（becoming）低于“存在”(being),才是希腊哲学缺少明确的历史哲学的真正原因。

从这种角度来说，正如柯林武德所指出的，一旦将历史学定义为关于人类活动的学科的话，希腊哲学可以被认为是反历史的，因为在通行的希腊哲学的形而上学观点中，只有确切的永恒才是可以把握的，比如数学中的某些抽象关系。而历史，因为其瞬时性的变化，是不可能被把握的，从这种角度，也可以理解希腊哲学为什么不会产生出历史哲学。因为基于希腊哲学，历史学只不过是搜集经验的事实，只可能是质料，而不可能推导出背后的规律。这是亚里士多德为什么说诗歌要比历史学更科学的原因，因为从希腊哲学的角度看，历史只是事实，而诗歌则隐含着判断。

从这一角度，再考察希罗多德及修昔底德的著作时，可以发现，他们的著作，是一种或者亲身参与，或者旁观目击的作为事实记录的自传。相应的，这种记录，不会去讲述超越超过作者一生的历史，也不会去记述超过其活动范围的其他地方的历史。同时，这种记述，是为某种培养政治家的需要而写，所以充满大量修辞的演说和观念上的说教，而不是作为事件本身的记述。

这种做法，在公元前2世纪希腊人被罗马征服后被改变。罗马承惠于希腊文明的一切成果，但却远比希腊人注重实际而且头脑更加顽固，这种结果便是罗马没有发展出值得后世纪念的哲学，而是基于一种实质主义的形而上原则建立了罗马法。

同时，希腊的被征服，使历史不再是一种政治家的正当教育，而只是一种往事的记录。这体现在Q.费边皮克托尔(约生于公元前254)的《罗马史》，M.P.加图（老）（公元前 234～前149）,的《罗马历史源流》7卷，G. 萨卢斯特的《喀提林叛乱记》和《朱古特战争史》或者是G.J.凯撒的《高卢战记》和《内战记》等书中。

但是，与希腊文明不同，亚历山大帝对周边区域的征服扩大了罗马人的地理视野，而希腊文明的辉煌则增强了罗马人的历史视野。波利比奥斯所著的《通史》(亦称《罗马史》)讲述了罗马人的故事，但他的时间跨度是150年，这意味着其中他所未能及见的历史需要前代的记述作为补充而他则需要运用“剪刀加糨糊”的办法粘帖。而“奥古斯都时代”（即屋大维执政时期，约公元前31～公元14）的李维，则将《罗马史》视为一种地理区域上的普世的历史。

但整体上说，罗马并没有发展出历史哲学，因为事件仍然被作为事件被记录，对事件的反思，也只是局限于事件本身所覆盖的范围，而没有试图去扩展为一种长时间距离下的一种规律思考。一种表现就是希腊历史著作没有统一的纪年标准。古希腊人是用“奥林匹亚德”（即从据说是第一次举行奥林匹克竞技会的公元前776年算起，每4年为一个“奥林匹亚德”）来纪年。而古罗马人则用历届执政官的名字来纪年。这种“短视”的方式，从本质上讲，仍然来源于希腊哲学对当下存在的理解。

罗马衰落的时代，正是基督教思想崛起的时代。希腊哲学及犹太-基督教关于“时间”的不同看法，体现了其分歧所在。


注解1：基于各种规则的思考所衍生出来的各种学说，其背后，均包含着某种历史哲学。一个例子是如斯特劳斯所说，“自由主义包含着一种历史哲学”

注解2：未开化，相对于文明而言，文明的词根原义意味着驯养，在某种程度上，这意味着秩序，同时，按照尼采的理解，这也意味着某种原始力的丧失。

注解3：见陈康《论希腊哲学》。Philosophy原由φιλο(爱好)及σωφια(智能/知识)组合而成，因而哲学希腊文原义为爱智（love of wisdom）。亚里士多德在《形而上学》一 书开宗明义的第一句话就是：“求真是人的本性”。因而“求真爱智”是最纯正的古希腊哲学的精神。

注解4：这里考察的历史时间，不同于物理学上的宇宙时间，历史时间关注人的存在的理解。关于“宇宙时间”，牵涉到物理学的学说，必要时，将放在附录考察?

第六章　布莱克-舒尔斯期权定价模型





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第一节　证券价格的变化过程


一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。




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效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。
随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。




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二、布朗运动


（一）标准布朗运动
设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在时间 内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：
特征1： 和 的关系满足（6.1）：
（6.1）
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。




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标准布朗运动(2)


特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 的值相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：
（6.2）
当61664;0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： （6.3）




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（二）普通布朗运动


我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动： （6.4）
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。




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三、伊藤过程


普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程（Ito Process）：
(6.5）


其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。







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四、证券价格的变化过程


证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为 的伊藤过程来表示：


两边同除以S得：
（6.6）




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从（6.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：



可见， 也具有正态分布特征


(6.7)





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例6.1


设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。




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五、伊藤引理


若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
（6.8）
由于 （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：


(6.10)




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六、证券价格自然对数变化过程


令 ，由于
代入式（6.10）:
（6.11）

证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：




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例6.2
设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。
例6.3
请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？




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第二节 布莱克——舒尔斯期权定价模型


一、布莱克——舒尔斯微分方程
（一）布莱克——舒尔斯微分方程的推导
我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：


则： （6.12）




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假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
（6.13）


（6.14）
为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则：
(6.15)




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在 时间后：
（6.16）
将式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得：
（6.17）
在没有套利机会的条件下：


把式（6.15）和（6.17）代入上式得：




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布莱克——舒尔斯微分分程


化简为：
(6.18)


这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。




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（二）风险中性定价原理


假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。




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例子



假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
该看涨期权的价值应为0.31元




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二、布莱克——舒尔斯期权定价公式


在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：
其现值为 （6.19）
对数股票价格的分布为：
（6.20）
对式（6.19）求解：
（6.21）




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其中，




我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：
首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。




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其次， 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。
最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。




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在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（6.23）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ：
（6.22）
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。





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三、有收益资产的期权定价公式


（一）有收益资产欧式期权的定价公式
当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将
代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。




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对于欧式期货期权，其定价公式为：
（6.23）

（6.24）

其中：




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例6.4


假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。
3.05美分 。




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（二）有收益资产美式期权的定价


1．美式看涨期权
当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。




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例6.5


假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。
近似为7.2824元




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2．美式看跌期权


由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。




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第三节 布莱克——舒尔斯期权定价公式的实证研究和应用


一、布莱克——舒尔斯期权定价公式实证研究
布莱克—舒尔斯期权定价公式倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格。





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造成用布莱克——舒尔斯期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原因主要有以下几个：
1. 计算错误；
2. 期权市场价格偏离均衡；
3. 使用的错误的参数；
4、 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立在众多假定的基础上。




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二、布莱克——舒尔斯期权定价公式的应用


（一）评估组合保险成本
（二）给可转换债券定价：可转换债券是一种可由债券持有者转换成股票的债券，因此可转换债券相当于一份普通的公司债券和一份看涨期权的组合。
（三）为认股权证估值：认股权证相当于一份看涨期权

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