一般來說，所謂維度指的就是「獨立的量」。有n個維度就表示有n個獨立的量。

認識拓樸
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篇名
認識拓樸
作者
林泂志。台中一中。二年九班
劉育瑞。台中一中。二年九班
柯翔文。台中一中。二年九班
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壹●前言
之所以研究此主題的動機，是由於老師在上課時提到了拓樸學(topology)，而高
中的課程中並沒有將其列入教材，並且老師因為課堂上的時間關係，實在也無法
深入加以介紹。在我們之中又有人聽過生物領域似乎也有用到這門學問，這些原
因使我們對「何謂拓樸」更加疑惑又好奇。
在老師大略的講解中，似乎透過拓樸就可以將看似不同的兩物視為同樣的東西，
這種看法衝擊了我們原來對物體的觀點。在我們的觀念中，正方體就是正方體，
長方體就是長方體，無論如何也看不出不同形狀如何互通，實心又如何變成空
心。如果我們這樣看待物體又能帶來什麼好處或者是妙用？且這麼抽象的學問又
要如何和講求實際的生物學扯上關聯？看來這些問題都要靠我們自己去尋找答
案。雖然不確定現在的我們是否用得到這樣的學問，但既然上課有提到，那麼相
信「拓樸」應該不是一門我們完全不能了解的學問吧。
貳●正文
一、概述
拓樸指的是數學的一個分支，也可以說是拓樸學中的一個概念。在這裡先撇開開
集合的定義等等，那是學理上的說法，比較抽象。
拓樸學(topology)，簡單的說，是一種擺脫了所謂的測量(measurement)和距離
(distance)的一種幾何的數學上運用的方法。既然擺脫了計量法(metrics)的約束，
自然能夠允許形變的發生。在空間上，所有的扭曲、伸長、壓縮、壓扁或拉長，
從拓樸的角度，並不會對原先的空間造成影響。在這個前提之下，我們可以說在
拓樸之上，圓形和橢圓是一樣的，球體也相當於卵形的橢圓體。當然所謂的形變
並不包括撕裂的部份，為什麼呢？這個部份稍後再提到。它的整個架構其實包含
得非常的廣泛。其最大的好處就在於：在一個已經發生形變的狀態下，仍然保有
的某些特定的性質，而那些不變量(invariants)便是拓樸所要研究的重點。
究竟什麼是拓樸學呢？就是一個無法分辨圈餅跟咖啡杯的人，有人這樣說。
有別於一般傳統的幾何學容易讓我們聯想到可測量的量，諸如角度、距離、空間
等等，在拓樸學則是著重於其連續性(continuity)以及相對位置(relative position)
的關係。例如最常聽到的點集拓樸(Point-set topology)，或稱一般性的拓樸(General
topology)在處理一個圖形的時候，常將幾何的圖形視為許多點的集合，整個的集
合就形成一個空間；而組合拓樸(Combinatorial topology)和代數拓樸(Algebraic
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topology)則將圖形視為無數極小的組成結構分子(smaller building blocks)的集合。
二、拓樸學發展歷史
拓樸學的發展其實可說是歷史悠久了。在19 世紀中的時候，常被視為是代數學
(algebra)或是解析幾何學(analytic geometry)的分支。但是到了今天，拓樸學已經
從中獨立出來，成為數學中一門獨立的學問了。
拓樸學的起源，是在實數軸上對點集的研究、以及流形(manifold)、度量空間及
泛函分析等等。這裡泛函分析指的是解析學的範疇之一；度量空間則是一集合，
並且其中所有元素之間距離可定。因為不是主題故不多提。
拓樸學是數學上的一個分支。一開始是叫做analysis situs，由Leibniz 提出。拓
樸這個字最早是在1847年德國被Johann Benedict Listing引進，這裡指的拓樸是
topologie，有別於英文的topology。然而在此之前十幾年中，Listing已經一直在
使用這個字了。英文的這一個字直到1930年才被Solomon Lefschetz引進，用以
取代先前的analysis situs。
三、基本概念
拓樸學主要研究的內容，在於透過同胚(homeomorphism)的轉變之後留下來不變
的性質。由於這些轉變一般能夠透過橡膠的操作達到類似的效果，所以拓樸學又
稱為橡膠幾何(rubber-sheet geometry)。其應用範圍之廣泛，小從電腦網路、生物
學到粒子物理學甚或是蛋白質組成的幾何形式中都可見到拓樸學的蹤跡。拓樸學
能夠告訴我們一個點和其他點之間的相對位置關係，但是它並沒有辦法處理粗糙
或光滑表面以及距離的問題。在這個前提之下不只是圓和橢圓一樣，我們甚至可
以說球體和正方體也是同胚。或是徒手畫一個地圖也可以是簡單拓樸的運用。
四、歐幾里得空間與拓樸
拓樸所定義的空間最常被拿來與歐幾里得空間比較。事實上，最簡單的拓樸空間
就是我們所熟知的歐幾里得空間(Euclidean spaces)。一般來說，所謂維度指的就
是「獨立的量」。有n個維度就表示有n個獨立的量。直線屬於一維，平面是二
維，而三維就是我們熟悉的，立體的空間。
五、流形
簡單的說，是具有部分歐幾里得空間性質的空間。流形在數學中是研究可微性的
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要角之一。其概念就是類似用無數個極小的平直單位連接而成的面。歐幾里得平
面以及地球這種類似球體，還有古典物理學的許多平面和空間，都是屬於這樣的
範疇。舉地球為例，地球我們可以將它看成是一個球體，雖然如此，我們仍會有
一種地球表面是平面錯覺。這就可以很清楚的解釋流形的概念了。在這個例子
中，就是在球體的表面上，當取一塊表面積趨近於零的時候，球體的表面就會相
當於一個平面，縱使球體應該沒有一個地方是平的。
另外，流形應該要視為一個理想的柔軟表面，柔軟到牽動一個地方就會影響到全
部。並且由於它組成的小結構體是堅硬的，而且小到可以到微分上使用，因此在
物理及數學上都非常重要。流形的種類有很多，拓樸流形就是一種簡單的流形。
而微分流型不但符合拓樸的要求且適用於微積分。
特殊的流形的特性，常用使用數字或幾何的表示方法表達，以便分別這些流形。
像是拓樸學的不變量就提供了一種分類流形的方法。流形可以是有限的或是無限
延伸的，例如圓形就是一種有限的流形，而且是一維的。但是一條直線則是一個
無限延伸的流形。同樣的區分法也可以用在不同維度的各空間上。有些由二維組
成的流形可以使用一種稱為尤拉數(Euler number)的不變量將其分類。把一個完
整的表面分割成三角形，無論怎麼分割，只要沒有一個頂點落再另一個三角形的
任一邊上，則同形式的流形就會有同一個尤拉數。在封閉的表面中，尤拉數的整
數部份會小於或等於2。同樣的道理也可以用來說明為什麼咖啡杯和甜甜圈會是
一樣的東西，並且，形變中的撕裂會對這些性質造成改變，因此不被允許。
拓樸學是運用適當的不變性來了解一個流形的外貌，以及如何被轉換成另一個流
形。許多這方面的研究會著重於那些難區分的流形之間更微小的不變量。並且由
於更高維度的流形是不可能被看見的，所以不變量就更顯的重要了。
六、拓樸的種類
由於此部分涉及許多高中未接觸到的部分，故只簡單介紹，就不再深入探討。
01. 點集拓樸學(point-set topology)
又稱為一般拓樸學(general topology)，一般所稱拓樸學僅止於此。主要是討論連
續變換的問題，所有的拓樸學都是以此為基礎。是一種抽象的數學處理方式。
02.組合拓樸學(combinatorial topology)
用代數中的組合學來處理拓樸的問題，就是組合拓樸。
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03.代數拓樸學(algebraic topology)
引進代數，使用代數的抽象概念來研究拓樸空間的拓樸。目標是取拓樸空間加以
分類，此部份舊稱組合拓樸。
04.微分拓樸學(differential topology)
這是一種處理微分流行上可微函數的數學領域，是在研究微分方程時被提出的。
在物理學的相對論上有非常廣泛的應用。而微分幾何就是在流形上的微積分。
05.幾何拓樸學(geometric topology)
幾何拓樸學引進幾何的觀念到拓樸上來，幾乎可以說是同等於研究低維度如2
維、3維、4維的拓樸學。在數學中主要是研究流形及嵌入。扭結理論和辮子群
就是其中最具代表的主題，一般說到拓樸學常舉的例子如橡皮筋也是此種拓樸學
的範疇之一。
参●結論
拓樸學近來已經成為主流的數學研究主題之一，跟從前附屬在其他種類的數學底
下的情形已經有很大的不同。John L. Kelly在寫General Topology一書的時候，
在序裡面清楚地表示他原本想把書命名為「年輕分析學家的必備知識」，由此可
見拓樸的重要性。今天的拓樸學是歸類在純粹數學而非應用數學，雖然如此，這
種理論的東西除了用來解決拓樸自身的問題以外，數學其他的領域也常常用到這
種拓樸的方法來解決問題，如數論、微分方程等等，並且對於科學也產生了很大
的影響，尤其是在理論科學方面。例如在關於微分幾何的部分，這種理論對相對
論也有著非常重要的影響力，也就是說，其重要性是不容許被忽略的。而且就現
在看來，拓樸的發展性似乎並不只如此。或許在不久的將來，拓樸也能夠一躍而
成為數學和科學之間的橋樑之一。