郭大侠 几何 数学家在某种意义上说就是在为自然界立法

公理和假设

作者：郭大侠

在我们学习的几何体系中,有许多的定理和公理。公理不需要证明，而定理都是可以证明的，都是由其它公理和定理推导而来。中学几何都是属于欧几里德几何体系的。欧几里德几何是建立在五条“假设”基础上的，也就是教科书中所说的“公理”，它们是：


公理1. 连接两点可作一条直线。
公理2. 直线的两端可以无限延长。
公理3. 给定一个中心和一个半径可作一圆。
公理4. 任何直角都相等。
公理5. 过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相平行。
对这五条公理的怀疑，产生了科学的重大发现。而我们的教科书依然把它们视为不可否认的公理，就显得有悖于科学发展的事实。为发展中国的素质教育，是否把教科书中所有公理的字样都换成“假设”，才更符合科学精神。
一. 爬虫的困惑
如下的三幅图可以说明，局部的观察对探知事物的本质是有局限性的。
图1 爬虫的世界

如图1，一维爬虫在管子里由A点爬到B点，爬虫就认为ACB是最短距离，这在平面上的二维爬虫看来显然是错误的。如图2所示，爬虫在二维平面上运动时会认为ACB就是最短距离，这在三维空间中的人看起来便是错误的。我们人所能感觉到的是三维空间，我们在三维空间中所认为的最短距离，难道在四维空间中就不是错误的么？图3所示，三维空间在四维空间中的弯曲（四维空间无法画出，此处仅为示意）。由此可推广到五维、六维直至n空间，每一次推广我们就对自然界有了更深刻的认识。因为我们是三维的生物，当我们在耻笑爬虫的浅薄时，却不知道有四微生物在嘲笑我们。
在这里我们看到局部不可理解的知识，放到一个更高维的系统中，就可以得到解释。而古人对事物不能解释时，不是采取科学分析的方法来解决问题，而采取的是宗教。宗教教义不可变更，如有违反，则有灭顶之灾，宗教是不承认自己是错误的，因而是封闭的。科学正好相反，科学始终都是以新的理论替代旧有的理论，不断否定自己，因而是开放的。然而在科学界也往往形成人为的禁锢，当新理论对旧理论提出威胁时，就会有科学悲剧发生。当我们使用教科书向学生传授科学知识的时候，使用的方法就有些类似宗教的信条，书中的理论是不可以怀疑的，这就形成了一种变形的宗教，这在本质上是与科学精神相违背的。
二. 几何
如果要证明一命题的真伪，通常采用逻辑推理，即因果论证的方式，对一个命题寻找原因，再对这个原因继续寻找原因，这通常会导致推理永无穷尽或循环论证。循环论证通常会出现这样的逻辑证明，即“我想要去睡觉”，论证了一圈最后却发现，想要睡觉的原因就是想要去睡觉[1]。欧氏几何的每个定理都是由其它命题推导而来的，如果要证明某个命题的正确性，就必须寻找原因，就这个原因继续寻找它的原因，但不能无穷无尽，必须要在某处停下来，即认为这是不需要再证明的。欧几里德在什么定方停下来的呢？这就是欧氏几何的五条公理。
欧几里德认为它们是不需要证明的，这符合人们的日常习惯。关于最后一条公理，人们一直认为不应该是公理，而应该从其它公理推导而来，对第五公理的证明持续了近千年，均宣告失败。这个问题直到罗巴契夫斯基在1826年得到解决，他认为平行公理本身独立于其它公理，是不可证明的，进而他认为这仅是一种人为假设而已，既然是假设，当然可以假设成其它形式。他修改的平行公理如下：
“过直线外一点有无数条直线和已知直线平行”。
他仅做了这样一个小改动，一个伟大的时代开始了。
罗巴契夫斯基创立了非欧几何学[2]。在他的几何学中充满了莫名其妙的推论，如“三角形内角之和大于180度”等，当时人们无法接受，罗巴契夫斯基是在围攻和漫骂声中死去的。
另外一位德国数学家黎曼，也修改了一下第五公理，他的修改如下：
“经过直线外一点没有和已知直线平行的直线，即所有直线都相交”
黎曼创立了“黎曼几何学”。在这个几何学里“三角形内角之和小于180度”。
只要你愿意，可以对上面的几条公理，随意修改，这样就会有无数个几何体系存在，那么哪种几何是正确的呢？令人惊叹的是它们都是一样的，没有优劣之分。
这样一个人为硬造的几何学有什么用呢？它与我们生活的空间是如此的格格不入。
如果在远古时代，有个人说“地球是球形的”，其他人一定会攻击他，因为多数人都认为世界是“天圆地方”的。而在现在的人看来，古时的人是多么可笑。当你质疑新几何的同时，就犯了和古人一样的错误。当你质问罗巴契夫斯基和黎曼的时候，他们本人可能也无言以对，他们只是以一种深刻敏锐的超常直觉感觉到有更深刻，更神秘的世界尚未被发现，他们是新世界的探索者，他们本人只能单枪匹马，向世俗发起挑战。
“新几何到底有什么用？”现在的回答是：“他们的新几何学是爱因斯坦相对论的数学基础。”这样的回答一定会使您对新几何学刮目相看，但当年的罗巴契夫斯基和黎曼就没有这样幸运了。他们本人也不会想到，他们仅仅改了一个假设，却导致了人们对时空观的重新认识。
其实质上，新几何就是站在四维空间来看待三维空间的。我们仅从三维空间的角度思考问题，所以就无法理解从四维空间中是怎样看待同一问题的。这就象前面的那幅画中所描述的生活在管子中的一维爬虫，无法理解二维爬虫所生活的世界一样。我们在有限的知识空间思考问题，只能就是一种井底之蛙。
非欧几何仅仅是自己建立一堆假设，在这假设之上进行逻辑推理，而不必考虑这个逻辑理论的用途。这样数学就成了科学家的一种游戏，他们就象在制定游戏规则，当我们下棋的时候不必问规则的好坏，只要按规则办事就可以了。这在数学史上，屡见不鲜。每一次的假设都把科学发现向前推进了一大步。如i2= -1，无论如何冥思苦想在现实生活中也找不到i是一个什么数，它仅是科学家的一种人为规定而已，至于怎样应用，那是后人的事。
三．为自然界立法
现在纯粹数学家甚至放弃了点、线、面的概念，而只用符号和一些简单的规则构建他们自己的理论，如“给定两个x，有且只有唯一的y包含它们”至于x，y是什么是使用者自己的事。有的使用者愿意理解成x是点，y是直线，有的人会把x理解成钱币，把y理解成钱包。对于前者这个假设正确，对于后者就成了“任意给定两个钱币有且只有一个钱包包含它们”显然不正确，但我们只能说在某个特环境下正确与否，而不能责怪规则的好坏。这就象我们不必要求微软的员工遵守中国公司的规则一样。
我们的数学家在某种意义上说就是在为自然界立法。我们认识自然界，采用两种方式即“归纳”和“演绎”，数学家所作的假设实质上是属于演绎范畴的。“归纳”是从实验观察出发，总结出规律。而“演绎”是从逻辑理论出发，来与自然界相印证。客观世界只有一个，而我们怎样观察它却有无穷多种，这就好比金碧辉煌的北京紫禁城，我们可以从地面、空中、内部各个部分去观察。如果只限于一种，那就永远是“不识庐山真面目”。
四．新教科书
我们的教材到底应该是什么样的，在我所遇到的博士、专家、学者、教授中，是没有一个人知道“非欧几何”的，即使学数学专业的人士也不晓得非欧几何中“假设”的重大意义。近百年来，中国人在学科建设，开拓新知识领域方面成效不大，这不能不与我们所用的教学课本有关，也就是与我们对科学的态度有关。
所以现行初中几何，应该把所有“公理”字样改成“假设”，修改如下：
假设1. 连接两点可作一条直线。
假设2. 直线的两端可以无限延长。
假设3. 给定一个中心和一个半径可作一圆。
假设4. 任何直角都相等。
假设5. 过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线相平行。
那么这样的教材是不是会引起恐慌和混乱呢？
首先将“公理”改成“假设”，本身是经过科学证明的，我们将其视为不言自明的公理本身就不正确，所以应该修改。
其次，即使没有证据证明它们正确与否，改成“假设”也能激发学生的好奇心和探索欲。
教师的任务是引导学生探索和发现，而我们的学校，更加类似培养具有熟练技术的高级工人的职工学校，学生只学习现有的知识，根本没有具有独立个性的发现精神。中国提倡素质教育首先要从教材改起。