量子力学思考题

量子力学思考题

1、以下说法是否正确：

（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；

（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。

解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。

（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。

2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？

解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。

3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。

解答：设和是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由和的线性叠加来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由确定，中出现有和的干涉项，和的模对相对相位对概率分布具有重要作用。

4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果和是体系的可能态，则它们的线性叠加也是体系的一个可能态”。

（1）是否可能出现；

（2）对其中的与是任意与无关的复数，但可能是时间的函数。这种理解正确吗？

解答：（1）可能，这时与按薛定谔方程的要求随时间变化。

（2）如按这种理解

已知和是体系的可能态，它们应满足波方程式



如果和的线性叠加也是体系的可能态，就必须满足波方程式 ，然而，


可见，只有当时，才有。

因此，中，与应是任意复常数，而不是时间的复函数。如上式中态不含时间，则有。

5、（1）波函数与、是否描述同一态？

（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？

这里是复常数，是实常数。

解答：（1）与、描述的相对概率分布完全相同，如对空间和两点的相对概率

，故与、均描述同一态。

（2）由于任意复数，以及

显然，只有当复数，即，且时，

均描述同一态。

6、量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力学统计规律的客观基础是什么？

解答：经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动，而大量分子组成的体系存在着统计规律。例如，对个别分子不存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均平动动能的量度。

与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。

在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义的，也是没有必要的。

7、量子力学为什么要用算符表示力学量？表示力学量的算符为什么必须是线性厄密的？

解答：用算符表示力学量，是量子体系所固有的波粒二象性所要求的，这正是量子力学处理方法上的基本特点之一。我们知道，表示量子态的波函数是一种概率波，因此，即是在一确定的量子态中，也并非各力学量都有完全确定值，而是一般的表现为不同数值的统计分布，这就注定了经典力学量的表示方法（可由运动状态完全决定）不再使用，因此需要寻求新的表示方法。

下面从力学量的平均值的表示式出发，说明引入算符的必要性。

如果体系处于中，则它的位置平均值为



类似地，它的动量的平均值也可表示为



若要求出上述积分，必须将p表示为x的函数，然而这是做不到的，因为按不确定关系P(x)的表示是无意义的，因此不能直接在坐标表象中用上式求动量平均值。我们可先在动量表象中求出动量平均值，然后再转换到坐标表象中去。



利用有



作代换，并对积分得（推广到三维）



可见，要在坐标表象中计算动量平均值，那么动量矢量恰与算符相当。实际上，任何一个力学量在非自身表象中计算平均值时，都与相应的算符相当，自然会引入算符表示力学量的概念。

用算符表示力学量问题还可以从另一个角度来说明。我们知道，在量子力学中，力学量之间的关系从其数值是否能同时确定来考虑，有相互对易与不对易两种，而经典力学量之间都是对易的，因此经典力学量的表示方法不能适用于量子力学，然而数学运算中算符与算符之间一般并不满足交换律，也就是存在不对易情况，因此用算符表示力学量是适当的。

力学量必须用线性厄密算符表示，这是由量子态叠加原理所要求的；任何力学量的实际测量值必须是实数，因此它的本征值也必为实数，这就决定了力学量必须由厄密算符来表示。

8、力学量之间的对易关系有何物理意义？

解答：力学量之间的对易关系，是量子力学中极为重要的关系。它相当于旧量子论中的量子化条件，具有深刻的物理含义。对易关系表明，经典因果性不是普遍成立的，并指出各类力学量能够同时确定的条件（相互对易），体现了量子力学的基本特点。与不确定原理一样，力学量之间的对易关系也是来源于物质的波粒二象性。从纯理论的角度说，它也可以作为量子力学的基本出发点。此外，对于有的力学量，对易关系反映了它的基本特征，如，就可作为角动量的定义。

9、什么是力学量的完全集？它有何特征？

解答：设有一组彼此独立而又相互对易的力学量（），它们的共同本征函数系为，如果给定一组量子数就可以确定体系的一个可能态，那么，就称（）为体系的一个力学量完全集。它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。

10、何谓定态? 它有何特征？

解答：定态就是概率密度和概率流密度不随时间而变化的状态。若势场恒定，则体系可以处于定态。

定态具有以下特征:

（1）定态波函数时空坐标可以分离，，其中是哈密顿量的本征函数，而为相应的本征值；

（2）不显含时间的任何力学量，对于定态的平均值不随时间而变化，各种可能值出现的概率分布也不随时间而变化。

注意，通常用表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写粒子状态的波函数都是含时的。

11、（1）任意定态的叠加一定是定态。理由如下：

定态的线性叠加

态中平均值与无关，所以叠加态是定态。

（2）体系的哈密顿量不显含时间时，波动方程的解都是定态解。以上说法正确吗？

解答：（1）能量不同的定态的叠加态中，不具有确定的能量值，尽管与无关，但位置概率密度依赖于时间，这表明任意定态的叠加不再具有定态的特征，是非定态。

（2）由于波动方程是线性的，体系中不同定态叠加而成的非定态仍是波动方程的解。因此，只能说定态解（不显含时间）是体系含时波动方程的解，但不能说该体系的含时波动方程的解都是定态解。由此可以看出，由于定态是能量的本征态，本征值方程中明显出现，体系中不同能量的本征态的线性叠加不可能再是原本征方程的解，而这种叠加态正是实际存在的最一般的可能态。

12、什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明。

解答：当粒子被势场约束在特定的区域内运动，即在无限远处波函数等于零的态叫束缚态。

束缚态的能级是分立的。例如，一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化的能级。但束缚

态不一定是定态，例如限制在一维盒子中的粒子，最一般的可能态是一系列分立的定态叠加而

成的波包，这种叠加态是没有确定能量的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，但定态也

可能有非束缚态，例如在散射中，粒子并不局限于有限区域，但粒子处于能量本征态，这时粒

子处于非束缚态，或者说粒子处于散射定态（简称为散射态）。

13、不确定关系如何体现微观粒子的普遍本质——波粒二象性？

解答：对于微观粒子使用“波粒二象性”的术语，这本身既反映了经典物理概念的局限性，又反映了我们语言的局限性。我们可以认为，物质兼具粒子性和波动性，但确切地说，它们既不是经典波，也不是经典粒子，经典物理中粒子和波的概念只有经过修正才能被量子理论借用，不确定性关系就反映了这种修正，它给出了这两个概念能够被有效借用的限度，如给出了用粒子图像描述物质的局限性。

14、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。

解答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。具体说，如果力学量的本征函数为，相应本征值为。任意态矢可展开为


态矢在表象的表示为展开系数组成的一列矩阵



其意义是：在态中，力学量取值的几率为，与坐标表象波函数的意义相类似。

力学量用厄密矩阵表示



可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。

用矩阵表示力学量，理由如下：

（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。设，则

简记为；

（2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；

（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。

15、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?

解答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值



本征矢为单一元素列矩阵

………

16、设，分别在坐标和动量表象中写出的矩阵元。

解答：（1）坐标表象基矢为







（2）动量表象基矢为







17、试将坐标表象与动量表象加以比较，再由坐标表象的定态薛定谔方程直接写出其在动量表象的表达式。

解答：坐标表象与动量表象是一对共轭表象，表示形式十分类似

表象 表象

：

：

本征态：

本征态：

一般波函数在表象的表示与在表象的表示之间的关系为



可见，只要令有关表达式中，便可由一个表象转到另一个表象；两个表象波函数在傅立叶变换中互为镜像。

定态S-eq在动量表象的表示



18、已知一维谐振子在坐标表象的能量本征函数，不用计算，直接写出其在动量表象的能量本征函数。

解答：一维谐振子的哈密顿量为



其中 可见，对于和是对称的，差别在于和不同，因而，和的形式应当完全一样。

已知

故有

19、写出能量表象的薛定谔方程表达式。

解答：薛定谔方程在表象的表示为



对于能量表象



所以能量表象的薛定谔方程表达式为

20、狄拉克符号中，引入了右矢，为什么又引入左矢，右矢和左矢能够相加吗？

解答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数和的内积

，和的内积记为，是对应于的左矢，属于伴随空间的

一个矢量。由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。

21、（1） （2）

（3）如是的本征矢，则

（4）算符的物理意义是什么？公式成立的条件是什么？

算符的物理意义在于，它作用于任何态矢上得到该态矢在基矢方向的投影

矢量，；且，故称

为投影算符，是投影数值。公式成立的条件是基矢集组成正

交、归一、完备系，任意态矢均可按唯一展开，由于

为任意态矢，故得到，此式可作为完全集的定义式，称为封闭性

关系。

22、简述定态微扰论的基本思想。

解答：量子力学体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 时，若可以把不显函时间的分为大、小两部分 ，其中 ，即的本征值和本征函数是可以精确求解的，或已有确定的结果。

满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数（），将微扰写成 ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以的幂级数展开



与称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幂次称为一级修正、二级修正、…。

23、非简并定态微扰论的适用条件是什么？

解答：非简并定态微扰论的适用条件为，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔较大。

24、证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。

解答：能量的二级修正，若为基态能量，当然其数值为最小，因而在求和中的任一项，故永为负值。

25、简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简并能级情况可用非简并态微扰处理？

解答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数

一般说来是不能完全确定的。对于度简并能级如选择的个独立的已使对角化，

即，此时，对应的零级近似波函数为，虽然能级是

简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。

26、若总哈密顿量在表象中为非对角矩阵，物理上意味着什么？若在表象中为对角矩阵，又意味着什么？

解答：在表象不是对角矩阵，表示二者不对易，显然和亦不对易，无共同本征态，

这时需要另求的本征态。若在表象中为对角矩阵，说明二者对易，这时和亦对易，

即的本征态是它们的共同本征态，使求解大为简化。

27、量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同?

解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。

28、自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？

解答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。

（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。此外，二者的旋磁比不同。

29、电子的本征态常被写为，；它们的含义是什么？

解答：的本征态是自旋波函数的特例。由于在的本征态中，本征值仅有与量子数对应，分别记为，；是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正交完备基矢，以此为基矢的表象为表象。任一自旋态在表象中可展开为。

30、对于自旋为1/2的粒子，是否存在态，在其中？

解答：首先令在态中，

设，得； 再由

由于无法同时满足，所以，对于自旋为1/2的粒子，使态是不存在的。

31、微观粒子的全同性原理表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状态不因交换任意两个粒子而改变”。问：

（1）“物理状态”是指宏观态还是微观态？

（2）“交换任意两个粒子”的准确含义是什么？

（3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？

解答：

（1）物理状态不变是指体系的微观态和宏观态都不因全同粒子间的交换而改变，全同性原理中强调的是微观态（量子态）的不变；

（2）交换任意两个粒子是指在描述全同粒子体系状态的波函数中交换两个粒子的包括自旋在内的全部坐标；

（3）实质相同。所以，全同性原理往往也被称为不可区分（分辨）原理。

1、二维空间哈密顿算符在能量表象中的矩阵表示为



其中为实数。

（1）用微扰公式求能量至二级修正；

（2）求能量精确解。

解：（1）首先看的矩阵元




即在自身表象为对角矩阵，本问题可写为

于是可得微扰矩阵元

所以



同理可得





（2）设的本征矢为，则本征方程为

即有

、有非零解的条件是

由此可得关于本征值的二次方程

故本征值为

将根号整理展开得



所以（10分）

六、假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场 沿轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：，这里，（）为电子的磁矩。

（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：；

（2）假设时，电子自旋指向轴正向，即，求时，自旋的平均值；

（3）求时，电子自旋指向轴负向，即的几率是多少？


解：（1）因不考虑电子轨道运动，；这里，是玻尔磁子。

所以哈密顿为：，薛定谔方程为





（2）在表象中求解，自旋波函数可表示为：

，，

，，。

设时，电子的自旋指向轴正向，即

所以

时刻




所以：

（3）假设t时刻，的几率为，则的几率为，

，所以：



3、（20分）中子和反中子的质量都是，它们的态矢和可以看成是一个自由哈密顿量的简并态： 设有某种相互作用能使中子与反中子互相转变： 其中，。试求时刻的一个中子在时刻变为反中子的几率。



解：选取表象，基矢为 则在表象的矩阵元





（5分）

定态方程 即

求解可得

（5分）

从而可写出

已知 （中子态）

则

（5分）

所以









由此可见时刻的几率为 （5分）


六、（30分）无限高势阱中的粒子

质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：


（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（）求系统能量本征值和归一化波函数；

（2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。

（3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；

（4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数。

解：（1）定态薛定谔方程：

分离变量：，

；；


，

基态：，基态波函数：

（6分）

（2）系统基态能量：，简并度：1

第一激发态能量：，简并度：3 （6分）

（3）电子是费米子，波函数应是反对称的：


由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；

（8分）

（4）玻色子可占据相同态，基态：，基态波函数：

（8分）


五、（20分）中子和反中子的质量都是，它们的态矢和可以看成是一个自由哈密顿量的简并态： 设有某种相互作用能使中子与反中子互相转变： 其中，。试求时刻的一个中子在时刻变为反中子的几率。



解：选取表象，基矢为 则在表象的矩阵元





（5分）

定态方程 即

求解可得

（5分）

从而可写出

已知 （中子态）

则

（5分）

所以









由此可见时刻的几率为 （5分）


四、（30分）无限高势阱中的粒子

质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动，粒子所受势能由下式给出：


（1）列出定态薛定谔方程，用分离变量法（）求系统能量本征值和归一化波函数；

（2）求系统基态能量、第一激发态能量，及基态与第一激发态简并度。

（3）假设有两个电子在方盒中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：要考虑电子自旋）；

（4）假设有两个玻色子在方盒中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数。

解：（1）定态薛定谔方程：

分离变量：，

；；


，

基态：，基态波函数：



（2）系统基态能量：，简并度：1

第一激发态能量：，简并度：3

（3）电子是费米子，波函数应是反对称的：


由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；



（4）玻色子可占据相同态，基态：，基态波函数：