两类力学量:与空间运动有关, 无关:如自旋、电荷,无坐标表象，不能写成微分算符形式

第三章
和
第五章







第三章 角动量


两类力学量：
1）与空间运动有关 如动量 p , 轨道角动量 L = r X p

2）与空间运动无关。如自旋、电荷。


对易关系从何而来？


从角动量的定义 —— 转动变换的生成元 推出对易关系


角动量的分量不可对易 是由于 空间绕不同轴转动不可对易


只能用对易关系在抽象希尔伯特空间中求解本征值方程


无坐标表象，不能写成微分算符形式。










由空间转动的性质得到转动算符的对易关系 （经典力学）


由转动算符的对易关系得到角动量的对易关系 （量子力学 ）


原子转动


描述原子状态的态矢发生相应的改变 --- 在希尔伯特空间中。


--- 在几何空间中，


Rδ


=


Uδ|a> = |a>δ


从这一对应关系决定 Uδ


的对易关系


R1


R2


U1


U2


R1R2 - R2 R1 = R3


U1U2 - U2 U1 = U3


Uδ = e-i/hFδ










从对易关系出发，在抽象希尔伯特空间中求解本征值方程


在抽象希尔伯特空间中 求解本征值方程的一般步骤


两个典型例子：角动量 和 谐振子


出发点：










狄拉克矩阵代数


对于自旋1/2的粒子，


一切角动量所共有的性质

（差常数因子）


狄拉克矩阵所独有的性质


狄拉克矩阵


tr







A 任意 展开系数为复数；


泡利矩阵作为展开基


泡利矩阵和单位矩阵是 4 个 2X2 厄米矩阵，可以展开 2X2 矩阵 A


求展开系数用迹为零性质：


tr


tr


A 厄米 展开系数为实数。






旋量空中的矢量算符


矢量在坐标转动时有一定变化规律：


对于绕 z 轴转θ角


但泡利矩阵 在坐标转动时不变，它们是矢量吗？







泡利矩阵本身不是矢量，它在旋量态中的平均值是矢量


旋量空间的矢量算符 的条件







自旋 1/2 的密度矩阵与极化矢量


自旋 1/2 的态还可以用极化矢量 P 描述







3.4-3.5 略







第五章 测不准关系、谐振子、相干态


相干态是非厄米算符的本征态

是定态的相干叠加态

是最接近经典的量子态







谐振子







出发点：


太复杂，不便于求解。


设法将右边化为实数。


引进非厄米算符


消灭算符


产生算符







测不准关系







测不准原理


测不准关系


在旧量子论中是原理


在量子力学中是定理


定理的出发点是对易关系


海森堡不等式


是微观粒子波动性的体现，

不同状态中有不同的△x ,△p，其乘积均≥h/2

取等号时波动性最弱，最接近粒子性。







最小测不准 --- 最接近经典


=


由此得到最小测不准态的方程


最小测不准条件：


其解为


振幅为高斯形的波包







将不同动量的态相干叠加，得到波包。


波包是由不同单色平面波叠加而成的态


单色平面波是动量的本征态，


是弥散在全空间的波，全空间所有地方几率相等。


波包是波和粒子之间的桥梁


最小测不准态是最接近于经典的波包


局限在有限空间体积中的波包







相 干 态







我们熟悉的态


状态 a


状态 a ,b 的线性叠加


希尔伯特空间中的矢量


厄米算符 (F，H) 的本征态 (|f>, |n>)


也是希尔伯特空间中的矢量







统计物理中应用的态


统计系综


用密度矩阵描述


正则系综，玻尔兹曼分布

是系统处于 n 态的几率


希尔伯特空

间中的并矢


ρ作为并矢的叠加，不再是希尔伯特空间中的对象。


希尔伯特空间是线性空间，其中的矢量可以线性叠加


并矢不是线性的。







态的两种叠加


几率


密度矩阵的叠加是量子态的经典叠加

是混合态


量子干涉


几率


无量子干涉


密度矩阵的叠加


希尔伯特空间是线性空间，只允许矢量线性叠加


希尔伯特空间中的并矢


不是希尔伯特空间中的对象


量子态的叠加


是希尔伯特空间中的矢量







相干态是非厄米算符 (湮灭算符 ) 的本征态


相 干 态


相干态是纯量子态


相干态是不同定态的相干叠加


相干态是最接近经典的量子态


是最小测不准波包


相干态可以作为展开任意量子态的基


反过来，不同定态的相干叠加不一定是相干态


定态的非相干叠加







作为展开任意态矢的基


本征值 En , f 为实数


作为非厄米算符本征态的相干态


厄米算符本征态的性质


湮灭算符本征态的性质


归一化


完备性


本征值α为复数


归一化


超完备性


能否展开任意态矢？


渐近正交性


当


正交性


和


一一对应


展开式不唯一，


不一一对应


和


1维积分


2维积分







办法：加进一个指数衰减因子。


和


一一对应。


如何让展开式唯一？


代替


用







是一个全纯函数。


它和态矢 一一对应，

构成量子态的全纯表象。


展开点均匀分布在全复平面


展开点集中分布在复平面中心附近


不唯一的展开


有唯一性的展开







相干态更接近于经典


相干态的物理性质


相干态是最小测不准态


最小测不准态方程


算符


^


相干态是湮灭算符的本征态







相干态的波包函数是


谐振子的相干态是

中心以频率ω振动的高斯型波包

更接近于经典谐振子